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浙江省杭州市文澜中学2024-2025学年九年级下学期第九次月考考试数学试卷
1．（2025·杭州模拟） 如图表示某天我国城市的最低气温，这些城市中气温最高是（　　）
A．武汉 B．广州 C．北京 D．哈尔滨
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-20<-10<5<10，
∴气温最高是广州，
故答案为：B.
【分析】比较4个数的大小关系，即可得出结果.
2．（2025·杭州模拟）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的平面图形是3列小正方形，从左至右第1列有1个，第2列有2个，第3列有2个，
故答案为：D．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．（2025·杭州模拟） 截止近日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房累计约达15400000000元，数据15400000000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：15400000000=1.54×1010，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．（2025·杭州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，原计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、平方差公式的运算法则逐项判断解题即可.
5．（2025·杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点O为位似中心，的位似图形为，位似比为，
而，
∴，即．
故答案为：B．
【分析】利用位似图形的性质求解即可。
6．（2025·杭州模拟） 如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵点A，B，C在☉O上，CD垂直平分AB于点D，AB=8dm，
∴，
设圆形标志牌的半径为rdm，
在Rt△OAD中，DC=2dm，OA2=AD2+OD2，
∴r2=42+(r-2)2
解得：r=5，
故答案为：A.
【分析】利用垂径定理、勾股定理解答即可.
7．（2025·杭州模拟） 《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：解方程组的解为
设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
把x=3代入，得
解得：y=4，
把y=4代入3x+y=a得，9+4=13
∴a=13，
故答案为：C.
【分析】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x=3代入，求得a的值便可.
8．（2025·杭州模拟） 如图在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点E，交延长线于点.若，，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作图可知，BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，故A正确；
∵∠AEB=∠CBE，∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=3，
∵DE=2，
∴BC=AD=AE+DE=5，
故B正确；
∵AB//DF，
∴△ABE∽△DFE，
∴
故C正确；
∵AE=3，DE=2，
∴DE≠AE，
故D错误，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE，故A正确；根据等腰三角形的性质得到AE=AB=3，求得BC=AD=AE+DE=5，故B正确；根据相似三角形的性质得到，故C正确；由AE=3，DE=2，得到DE≠AE，故D错误.
9．（2025·杭州模拟） 已知点 A（x1，y1），B（x1+m，y1+2）两点在反比例函数y=的图象上．则下列判断正确的是（　　）
A．若k>0，则m<0
B．若k<0，则m可能小于0也可能大于0
C．若k>0，点A，B在同一象限，则m>0
D．若k<0，点A，B在不同象限，则m>0
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：当k>0时，y随x的增大而减小，不知道y1的值在哪个象限，无法判断m<0，故A错误；
当k<0时，点A（x1，y1）与B(x1+m，y1+2)可以在同一象限，也可以不在同一象限，则m可能小于0也可能大于0，故B正确；
当k>0时，点A，B在同一象限，则y随x的增大而减小，所以m<0，故C错误；
当k<0时，点A，B在不同象限，则m<0，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意，判断当k>0和k<0时，反比例函数y=的增减性，确定m的取值范围.
10．（2025·杭州模拟） 如图，在等腰直角三角形中，是上一点，，连接，，交的垂线于点．连接，交于，若设，在的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
在等腰Rt△ABC中，AB=AC，BC=8，
∴，
∵CF=x，CE=y，
∴HF=CH-CF=4-x，
∵AH⊥BC，CE⊥BC，
∴AH//CE，
∴△AHF∽△ECF，
∴
∴
∴4x=4y-xy，
∴4(y-x)=xy，
∴
∴
∴在D的运动过程中，代数式的值不变，始终等于
故答案为：D.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰直角三角形性质得AH=BH=CH=4，则HE=CH-CE=4-x，证明△AHF和△ECF相似得，则，据此即可得出答案.
11．（2025·杭州模拟）因式分解：x2-1=　 　.
【答案】（x+1）（x-1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-1=（x+1）（x-1）
故答案为：（x+1）（x-1）
【分析】观察此多项式没有公因式，只含两项，且符合平方差公式的结构特点，因此利用平方差公式分解因式。
12．（2025·杭州模拟） 计算：　 　.
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】题目是两个分式相减，分母相同，可以直接合并分子，然后约分.
13．（2025·杭州模拟） 某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道，8条赛道的编号分别为1到8．若小张第一个抽签，她随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有8种等可能的结果，其中抽到6号赛道的结果只有1种，
∴
故答案为：.
【分析】直接利用概率公式进行计算即可.
14．（2025·杭州模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=　 　.
【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=25°，弧BC=弧BC
∴∠DOC=2∠A=50°，
∴∠D=90°-50°=40°；
故答案为：40°.
【分析】连接OC，由切线的性质得∠OCD=90°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠DOC=50°，然后根据直角三角形的两锐角互余可求解.
15．（2025·杭州模拟） 如图，在等边三角形中，D为边上一点，E为边上一点，且，若，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过E点作EH⊥BC于H点，如图，设CD=x，则AB=BC=4+x，
∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC，∠B=∠C=60°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
即∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
而∠ADE=60°，
∴∠CDE=∠BAD.
∴△CDE∽△BAD，
∴，即
解得x= 4，
经检验x=4为原方程的解，
即CD=4，
在Rt△CEH中，∵∠C=60°，
∴，
∴，
∴△CDE的面积
故答案为：.
【分析】过E点作EH⊥BC于H点，如图，设CD=x，则AB=BC=4+x，先根据等边三角形的性质得到AB=BC，∠B=∠C=60°，再利用三角形外角性质证明∠CDE=∠BAD，则可判断△CDE∽△BAD，根据相似三角形的性质得到，解方程得到CD=4，接着在Rt△CEH中利用∠C=60°可计算出，然后根据三角形的面积公式计算△CDE的面积.
16．（2025·杭州模拟） 如图，在正方形纸片中，点E是的中点.将沿折叠，使点A落在点F处，连结.
（1）延长交于点G，则　 　；
（2）若再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上.若记和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则　 　.
【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1)设AE=DE=a，则正方形ABCD长为2a，
∴，
由折叠可知BE⊥AF，
∴∠EAF=∠AEB=90°
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠ABE，
又∵∠BAE=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△FAD
∴
∵DF//BE，AD//BC，
∴四边形BGDE平行四边形，
∴，
∴
故答案为：.
(2)设DH与EF于点M，GH与BF于点N，如图，
由(1)可知四边形BGDE平行四边形，
∴DE=BG，∠HBG=∠EDF，
∵E是AD中点，AD=BC，
∴G是BC中点，
∴AE=DE=BG=CG，
由折叠可知AE=EF，EG=CG，
∴DE=EF=GH=BG，
∴∠EDF=∠EFD，∠HBG=∠BHG，
∴∠EDF=∠EFD=∠HBG=∠BHG
在△EDF和△GBH中，
∴△EDF≌△GBH(AAS)，
∴DF=BH，
∴EH=CF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EF//GH，
又∵BH//DF，
∴四边形BFDH是平行四边形，
∴DH//BF，
∴四边形MFNH是平行四边形，
由折叠可知∠DHG=∠C=90°
∴四边形MFNH是矩形，
设CG=a，则CD=2a，S2=4a2，GH=CG=a，
由(1)可知
∵FM//HG，
∴，，
∴，
∴，，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】(1)设AE=DE=a，则正方形ABCD长为2a，再证△ABE∽△FAD，然后根据相似三角形对应边成比例求出DF的长度，由AD//BG、DG//BE，得到四边形BGDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DG，然后代入计算即可；
(2)先证△EDF≌△GBH，可得BH=DF，故EH=FG，进而得到四边形GFEH是平行四边形，四边形BFDH是平行四边形，故HG//EF，从而可知四边形MFNH是平行四边形，又根据折叠可知∠GHD=∠C=90°，所以四边形MFNH是矩形，设CG=a，则CD=2a，S2=4a2，再根据平行线等分线段成比例定理，计算出HE、HM，进而计算出S1最后求比即可.
17．（2025·杭州模拟） 计算：．
【答案】解：原式=2+3-1
=4
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、算术平方根的定义进行计算即可.
18．（2025·杭州模拟） 解不等式组：.
【答案】解：
解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x<4，
∴原不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】解不等式组需要分别求出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分.
19．（2025·杭州模拟） 《少年急救官生命教育安全课》以视频课的形式开播.某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，绘制成如下不完整的统计图表.
各组观看视频课时长频数分布表
组别 　 频数
A 5
B 12
C
D 15
E 8
各组观看视频课的时长扇形统计图
请根据以上信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数有　 　人.
（2）扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数是　 　.
（3）若该校有1800名学生，估计该校学生观看视频课时长超过的人数.
【答案】（1）60
（2）
（3）解：（人）
∴估计该校学生观看视频课时长超过的人数为人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)D组所对的圆心角为90°，占比25%，
本次调查的学生人数是15÷25%=60（人）.
故答案为：60.
(2)∵m=60-5-12-15-8=20.
∴C组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：120°.
【分析】(1)由D组频数及其所占比例可得调查的学生人数；
(2)用360°乘以C组频数占总数量的比例即可；
(3)用总人数乘以样本中观看视频课时长超过1.5h的人数所占比例即可.
20．（2025·杭州模拟） 如图，在中，，点，分别为边、的中点，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：点、分别为边、的中点，
．
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：点、分别为边、的中点，，
．
四边形是平行四边形，
．
，
，
，
，
，
在中，，
的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)证明DE是△ABC的中位线，得DE//AC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)由三角形中位线定理得DE//AC，AC=2DE=2，再由平行四边形的性质得EF=AC=2，进而由锐角三角函数定义得BC=3AC=6，然后由勾股定理求出BF的长即可.
21．（2025·杭州模拟） 如图是某种固定式遮阳棚的实物图，某校数学兴趣小组对其进行实际测量，绘制了其横截面示意图，并得到以下数据：遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米．
（1）求遮阳棚外端点离地面的高度；
（2）若在某天的日照时间内，此处太阳光线与地面的夹角范围为至之间（包含和），求日照时间内阴影的最小值与最大值．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点A作AG⊥BC于点G，作AF⊥CD于点F，
∴四边形AGCF是矩形，
∴AG=CF，GC=AF，
在Rt△ABG中，AB=3米，BC=3.5，∠BAG=20°，
∴BG=AB·sin∠GAB=3sin20°≈3×0.34=1.02(米)
∴AF=GC=BC-BG=3.5-1.02=2.48(米)
答：遮阳棚外端A点离地面的高度约为2.48米.
（2）解：在Rt△ABG中，AB=3米，∠BAG=20°，
CF=AG=ABcos∠GAB=ABcos20°≈3×0.94=2.82(米)
在Rt△ABG中，AF=2.48米，
当∠AEF=70°时，∠EAF=20°，
∴EF=AF·tan∠EAF≈2.48×0.36≈0.89(米)
∴CE=2.82-0.89=1.93≈1.9(米)，
当∠AEE=45°时，∠EAF=45°，
∴EF=AF=2.48米，
∴CE=2.82-2.48 =0.34≈0.3(米)
答：阴影的最小值为米，最大值为米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)过点A作AG⊥BC于点G，作AF⊥CD于点F，根据矩形的性质得到AG=CF，GC=AF，解直角三角形即可得到结论；
(2)在Rt△ABG中，AB=3米，∠BAG=20°，根据三角函数的定义得到CF=2.82(米)，在Rt△ABG中，AF=2.48米，当∠AEF=70°时，∠EAF=20°，求得CE≈1.9(米)，当∠AEF=45°时，∠EAF=45°，进而即可得出结论.
22．（2025·杭州模拟）万物复苏，生机盎然，正是踏春好时节．“向晖中学”组织部分同学乘车前往市的“工业遗址文化乐园”开展研学活动．活动当天，学生乘坐甲、乙两车从学校出发驶往乐园．已知学校到乐园的路程是千米，甲车在途中加油用时小时，加油后继续前行并与乙车同时到达乐园．甲、乙两车离学校的路程千米与行驶时间小时的部分函数图象如图．
（1）求乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式；
（2）求甲车加油后的速度是多少千米小时？
（3）当甲、乙两车之间的路程相差千米时，求行驶的时间．（请直接写出答案）
【答案】（1）解：设，把代入得：，解得，
∴乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式为；
（2）解：把代入，得，解得，
∴乙车到达市需要小时，
∴甲车加油后的速度为千米/小时；
（3）解：甲车加油前的速度为千米/小时，
当两车出发后相距千米时，则，
解得；
当甲车加油时与乙车相距千米时，则或，
解得或；
当甲车加油后与乙车相距千米时，则，
解得；
综上，当甲、乙两车之间的路程相差千米时，行驶的时间为小时或或小时．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（）根据待定系数法求函数解析式即可；
（）求出乙车到达市时间，然后根据速度=路程÷时间解题；
（）分为两车出发后相距千米，甲车加油时与乙车相距千米和甲车加油后与乙车相距千米三种情况，根据路程差列一元一次方程解答即可.
（1）解：设，把代入得：，
解得，
∴乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式为；
（2）解：把代入，得，
解得，
∴乙车到达市需要小时，
∴甲车加油后的速度为千米/小时；
（3）解：甲车加油前的速度为千米/小时，
当两车出发后相距千米时，则，
解得；
当甲车加油时与乙车相距千米时，则或，
解得或；
当甲车加油后与乙车相距千米时，则，
解得；
综上，当甲、乙两车之间的路程相差千米时，行驶的时间为小时或或小时．
23．（2025·杭州模拟）二次函数的图象经过点，点．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）若存在实数，使得，且，求的取值范围；
（3）当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值．
【答案】（1）解：若，
则，顶点坐标；
（2）解：把代入得：，
把代入得：．
，
，
，
，
；
（3）解：∵二次函数的对称轴为，
当时，随着的值增大，的值先减小再增大，
∴点在抛物线对称轴的左侧，
点在抛物线对称轴的右侧．
∴当时，的最小值是．
若，即的最大值是，
，
解得：（舍去）．
若，即的最大值是，
，
解得：（舍去）．
综上，的值是或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)当 时，把二次函数化为顶点式即可；
(2)先计算 用m表示，进而可得 分别代入得出关于m的不等式组，解不等式即可；
(3)根据当 时， x的值增大， y的值先减小再增大，可得点. 抛物线对称轴直线x=n 的左侧， 点. 抛物线对称轴直线x =m的右侧.当x =m时， y的最小值 是 然后分两种情况讨论y的最大值，由该二次函数的最大值与最小值的和为 列出方程求解.
24．（2025·杭州模拟） 如图，是的两条弦，于点，连结交于点，连结，设．
（1）　 　（用含的代数式表示）；
（2）若，
①当时，求的值；
②若，，求的值．
【答案】（1）
（2）解：①如图，连接BD，
∵AC=AC，AD=AD，
∴∠ADC=∠ABC，∠ACD=∠ABD，
由(1)得∠ACD=∠OCB=90°-α，
∴∠ACD=∠OCB=90°-α，
∵CO//AD，
∴∠ADC=∠DCO，
∴∠ABC=∠DCO，
∴∠ABC+∠ABD=∠OCB+∠DCO，即∠BCD=∠DBC，
∴CD=BD，
∵AB⊥CD，∠CDB=∠CAB=α=45°，
∴，
∴
②如图，如图，连接BD，
由(1)可得：∠ACD=∠OCB=90°-α，
又∵∠CBA=∠CDA，
∴△ACD∽△MBC，
∴
同理①可得：CD=BD，∠CDB=∠CAB=α，
设，DH=x，则BC=2a，，
∵AB⊥CD，
∴BH2=BC2-CH2=BD2-DH2，
∴，
解得：，即，
∴
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：(1)如图所示，连接OB，
∵所对的圆周角为∠CAB=α，所对的圆心角为∠COB，
∴∠COB=2∠CAB=2α，
∵OB=OC，
∴
故答案为：90°-α.
【分析】(1)如图所示，连接OB，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB=2α，根据等边对等角得到∠OCB=∠OBC，由三角形内角和定理即可求解；
(2)①连接BD，利用平行线和圆周角倒角证明∠BCD=∠DBC，得CD=BD，再利用，得出结论；
②由(1)可得：∠ACD=∠OCB=90°-α.进而可证△ACD∽△MBC，得出，
同理①可得：CD=BD，∠CDB=∠CAB=α，设，DH=x，则BC=2a，，利用双勾股定理模型可得，进而即可得出结论.
1 / 1浙江省杭州市文澜中学2024-2025学年九年级下学期第九次月考考试数学试卷
1．（2025·杭州模拟） 如图表示某天我国城市的最低气温，这些城市中气温最高是（　　）
A．武汉 B．广州 C．北京 D．哈尔滨
2．（2025·杭州模拟）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·杭州模拟） 截止近日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房累计约达15400000000元，数据15400000000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·杭州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·杭州模拟） 如图，点A，B，C在上，垂直平分于点．现测得，则圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·杭州模拟） 《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·杭州模拟） 如图在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点E，交延长线于点.若，，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·杭州模拟） 已知点 A（x1，y1），B（x1+m，y1+2）两点在反比例函数y=的图象上．则下列判断正确的是（　　）
A．若k>0，则m<0
B．若k<0，则m可能小于0也可能大于0
C．若k>0，点A，B在同一象限，则m>0
D．若k<0，点A，B在不同象限，则m>0
10．（2025·杭州模拟） 如图，在等腰直角三角形中，是上一点，，连接，，交的垂线于点．连接，交于，若设，在的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·杭州模拟）因式分解：x2-1=　 　.
12．（2025·杭州模拟） 计算：　 　.
13．（2025·杭州模拟） 某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道，8条赛道的编号分别为1到8．若小张第一个抽签，她随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是　 　．
14．（2025·杭州模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=　 　.
15．（2025·杭州模拟） 如图，在等边三角形中，D为边上一点，E为边上一点，且，若，则的面积为　 　．
16．（2025·杭州模拟） 如图，在正方形纸片中，点E是的中点.将沿折叠，使点A落在点F处，连结.
（1）延长交于点G，则　 　；
（2）若再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上.若记和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则　 　.
17．（2025·杭州模拟） 计算：．
18．（2025·杭州模拟） 解不等式组：.
19．（2025·杭州模拟） 《少年急救官生命教育安全课》以视频课的形式开播.某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，绘制成如下不完整的统计图表.
各组观看视频课时长频数分布表
组别 　 频数
A 5
B 12
C
D 15
E 8
各组观看视频课的时长扇形统计图
请根据以上信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数有　 　人.
（2）扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数是　 　.
（3）若该校有1800名学生，估计该校学生观看视频课时长超过的人数.
20．（2025·杭州模拟） 如图，在中，，点，分别为边、的中点，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
21．（2025·杭州模拟） 如图是某种固定式遮阳棚的实物图，某校数学兴趣小组对其进行实际测量，绘制了其横截面示意图，并得到以下数据：遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米．
（1）求遮阳棚外端点离地面的高度；
（2）若在某天的日照时间内，此处太阳光线与地面的夹角范围为至之间（包含和），求日照时间内阴影的最小值与最大值．（结果精确到，参考数据：，，）
22．（2025·杭州模拟）万物复苏，生机盎然，正是踏春好时节．“向晖中学”组织部分同学乘车前往市的“工业遗址文化乐园”开展研学活动．活动当天，学生乘坐甲、乙两车从学校出发驶往乐园．已知学校到乐园的路程是千米，甲车在途中加油用时小时，加油后继续前行并与乙车同时到达乐园．甲、乙两车离学校的路程千米与行驶时间小时的部分函数图象如图．
（1）求乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式；
（2）求甲车加油后的速度是多少千米小时？
（3）当甲、乙两车之间的路程相差千米时，求行驶的时间．（请直接写出答案）
23．（2025·杭州模拟）二次函数的图象经过点，点．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）若存在实数，使得，且，求的取值范围；
（3）当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值．
24．（2025·杭州模拟） 如图，是的两条弦，于点，连结交于点，连结，设．
（1）　 　（用含的代数式表示）；
（2）若，
①当时，求的值；
②若，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-20<-10<5<10，
∴气温最高是广州，
故答案为：B.
【分析】比较4个数的大小关系，即可得出结果.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的平面图形是3列小正方形，从左至右第1列有1个，第2列有2个，第3列有2个，
故答案为：D．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：15400000000=1.54×1010，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，原计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、平方差公式的运算法则逐项判断解题即可.
5．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点O为位似中心，的位似图形为，位似比为，
而，
∴，即．
故答案为：B．
【分析】利用位似图形的性质求解即可。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵点A，B，C在☉O上，CD垂直平分AB于点D，AB=8dm，
∴，
设圆形标志牌的半径为rdm，
在Rt△OAD中，DC=2dm，OA2=AD2+OD2，
∴r2=42+(r-2)2
解得：r=5，
故答案为：A.
【分析】利用垂径定理、勾股定理解答即可.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：解方程组的解为
设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
把x=3代入，得
解得：y=4，
把y=4代入3x+y=a得，9+4=13
∴a=13，
故答案为：C.
【分析】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x=3代入，求得a的值便可.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作图可知，BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，故A正确；
∵∠AEB=∠CBE，∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=3，
∵DE=2，
∴BC=AD=AE+DE=5，
故B正确；
∵AB//DF，
∴△ABE∽△DFE，
∴
故C正确；
∵AE=3，DE=2，
∴DE≠AE，
故D错误，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE，故A正确；根据等腰三角形的性质得到AE=AB=3，求得BC=AD=AE+DE=5，故B正确；根据相似三角形的性质得到，故C正确；由AE=3，DE=2，得到DE≠AE，故D错误.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：当k>0时，y随x的增大而减小，不知道y1的值在哪个象限，无法判断m<0，故A错误；
当k<0时，点A（x1，y1）与B(x1+m，y1+2)可以在同一象限，也可以不在同一象限，则m可能小于0也可能大于0，故B正确；
当k>0时，点A，B在同一象限，则y随x的增大而减小，所以m<0，故C错误；
当k<0时，点A，B在不同象限，则m<0，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意，判断当k>0和k<0时，反比例函数y=的增减性，确定m的取值范围.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
在等腰Rt△ABC中，AB=AC，BC=8，
∴，
∵CF=x，CE=y，
∴HF=CH-CF=4-x，
∵AH⊥BC，CE⊥BC，
∴AH//CE，
∴△AHF∽△ECF，
∴
∴
∴4x=4y-xy，
∴4(y-x)=xy，
∴
∴
∴在D的运动过程中，代数式的值不变，始终等于
故答案为：D.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰直角三角形性质得AH=BH=CH=4，则HE=CH-CE=4-x，证明△AHF和△ECF相似得，则，据此即可得出答案.
11．【答案】（x+1）（x-1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-1=（x+1）（x-1）
故答案为：（x+1）（x-1）
【分析】观察此多项式没有公因式，只含两项，且符合平方差公式的结构特点，因此利用平方差公式分解因式。
12．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】题目是两个分式相减，分母相同，可以直接合并分子，然后约分.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有8种等可能的结果，其中抽到6号赛道的结果只有1种，
∴
故答案为：.
【分析】直接利用概率公式进行计算即可.
14．【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=25°，弧BC=弧BC
∴∠DOC=2∠A=50°，
∴∠D=90°-50°=40°；
故答案为：40°.
【分析】连接OC，由切线的性质得∠OCD=90°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠DOC=50°，然后根据直角三角形的两锐角互余可求解.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过E点作EH⊥BC于H点，如图，设CD=x，则AB=BC=4+x，
∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC，∠B=∠C=60°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
即∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
而∠ADE=60°，
∴∠CDE=∠BAD.
∴△CDE∽△BAD，
∴，即
解得x= 4，
经检验x=4为原方程的解，
即CD=4，
在Rt△CEH中，∵∠C=60°，
∴，
∴，
∴△CDE的面积
故答案为：.
【分析】过E点作EH⊥BC于H点，如图，设CD=x，则AB=BC=4+x，先根据等边三角形的性质得到AB=BC，∠B=∠C=60°，再利用三角形外角性质证明∠CDE=∠BAD，则可判断△CDE∽△BAD，根据相似三角形的性质得到，解方程得到CD=4，接着在Rt△CEH中利用∠C=60°可计算出，然后根据三角形的面积公式计算△CDE的面积.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1)设AE=DE=a，则正方形ABCD长为2a，
∴，
由折叠可知BE⊥AF，
∴∠EAF=∠AEB=90°
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠ABE，
又∵∠BAE=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△FAD
∴
∵DF//BE，AD//BC，
∴四边形BGDE平行四边形，
∴，
∴
故答案为：.
(2)设DH与EF于点M，GH与BF于点N，如图，
由(1)可知四边形BGDE平行四边形，
∴DE=BG，∠HBG=∠EDF，
∵E是AD中点，AD=BC，
∴G是BC中点，
∴AE=DE=BG=CG，
由折叠可知AE=EF，EG=CG，
∴DE=EF=GH=BG，
∴∠EDF=∠EFD，∠HBG=∠BHG，
∴∠EDF=∠EFD=∠HBG=∠BHG
在△EDF和△GBH中，
∴△EDF≌△GBH(AAS)，
∴DF=BH，
∴EH=CF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EF//GH，
又∵BH//DF，
∴四边形BFDH是平行四边形，
∴DH//BF，
∴四边形MFNH是平行四边形，
由折叠可知∠DHG=∠C=90°
∴四边形MFNH是矩形，
设CG=a，则CD=2a，S2=4a2，GH=CG=a，
由(1)可知
∵FM//HG，
∴，，
∴，
∴，，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】(1)设AE=DE=a，则正方形ABCD长为2a，再证△ABE∽△FAD，然后根据相似三角形对应边成比例求出DF的长度，由AD//BG、DG//BE，得到四边形BGDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DG，然后代入计算即可；
(2)先证△EDF≌△GBH，可得BH=DF，故EH=FG，进而得到四边形GFEH是平行四边形，四边形BFDH是平行四边形，故HG//EF，从而可知四边形MFNH是平行四边形，又根据折叠可知∠GHD=∠C=90°，所以四边形MFNH是矩形，设CG=a，则CD=2a，S2=4a2，再根据平行线等分线段成比例定理，计算出HE、HM，进而计算出S1最后求比即可.
17．【答案】解：原式=2+3-1
=4
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、算术平方根的定义进行计算即可.
18．【答案】解：
解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x<4，
∴原不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】解不等式组需要分别求出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分.
19．【答案】（1）60
（2）
（3）解：（人）
∴估计该校学生观看视频课时长超过的人数为人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)D组所对的圆心角为90°，占比25%，
本次调查的学生人数是15÷25%=60（人）.
故答案为：60.
(2)∵m=60-5-12-15-8=20.
∴C组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：120°.
【分析】(1)由D组频数及其所占比例可得调查的学生人数；
(2)用360°乘以C组频数占总数量的比例即可；
(3)用总人数乘以样本中观看视频课时长超过1.5h的人数所占比例即可.
20．【答案】（1）证明：点、分别为边、的中点，
．
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：点、分别为边、的中点，，
．
四边形是平行四边形，
．
，
，
，
，
，
在中，，
的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)证明DE是△ABC的中位线，得DE//AC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)由三角形中位线定理得DE//AC，AC=2DE=2，再由平行四边形的性质得EF=AC=2，进而由锐角三角函数定义得BC=3AC=6，然后由勾股定理求出BF的长即可.
21．【答案】（1）解：过点A作AG⊥BC于点G，作AF⊥CD于点F，
∴四边形AGCF是矩形，
∴AG=CF，GC=AF，
在Rt△ABG中，AB=3米，BC=3.5，∠BAG=20°，
∴BG=AB·sin∠GAB=3sin20°≈3×0.34=1.02(米)
∴AF=GC=BC-BG=3.5-1.02=2.48(米)
答：遮阳棚外端A点离地面的高度约为2.48米.
（2）解：在Rt△ABG中，AB=3米，∠BAG=20°，
CF=AG=ABcos∠GAB=ABcos20°≈3×0.94=2.82(米)
在Rt△ABG中，AF=2.48米，
当∠AEF=70°时，∠EAF=20°，
∴EF=AF·tan∠EAF≈2.48×0.36≈0.89(米)
∴CE=2.82-0.89=1.93≈1.9(米)，
当∠AEE=45°时，∠EAF=45°，
∴EF=AF=2.48米，
∴CE=2.82-2.48 =0.34≈0.3(米)
答：阴影的最小值为米，最大值为米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)过点A作AG⊥BC于点G，作AF⊥CD于点F，根据矩形的性质得到AG=CF，GC=AF，解直角三角形即可得到结论；
(2)在Rt△ABG中，AB=3米，∠BAG=20°，根据三角函数的定义得到CF=2.82(米)，在Rt△ABG中，AF=2.48米，当∠AEF=70°时，∠EAF=20°，求得CE≈1.9(米)，当∠AEF=45°时，∠EAF=45°，进而即可得出结论.
22．【答案】（1）解：设，把代入得：，解得，
∴乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式为；
（2）解：把代入，得，解得，
∴乙车到达市需要小时，
∴甲车加油后的速度为千米/小时；
（3）解：甲车加油前的速度为千米/小时，
当两车出发后相距千米时，则，
解得；
当甲车加油时与乙车相距千米时，则或，
解得或；
当甲车加油后与乙车相距千米时，则，
解得；
综上，当甲、乙两车之间的路程相差千米时，行驶的时间为小时或或小时．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（）根据待定系数法求函数解析式即可；
（）求出乙车到达市时间，然后根据速度=路程÷时间解题；
（）分为两车出发后相距千米，甲车加油时与乙车相距千米和甲车加油后与乙车相距千米三种情况，根据路程差列一元一次方程解答即可.
（1）解：设，把代入得：，
解得，
∴乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式为；
（2）解：把代入，得，
解得，
∴乙车到达市需要小时，
∴甲车加油后的速度为千米/小时；
（3）解：甲车加油前的速度为千米/小时，
当两车出发后相距千米时，则，
解得；
当甲车加油时与乙车相距千米时，则或，
解得或；
当甲车加油后与乙车相距千米时，则，
解得；
综上，当甲、乙两车之间的路程相差千米时，行驶的时间为小时或或小时．
23．【答案】（1）解：若，
则，顶点坐标；
（2）解：把代入得：，
把代入得：．
，
，
，
，
；
（3）解：∵二次函数的对称轴为，
当时，随着的值增大，的值先减小再增大，
∴点在抛物线对称轴的左侧，
点在抛物线对称轴的右侧．
∴当时，的最小值是．
若，即的最大值是，
，
解得：（舍去）．
若，即的最大值是，
，
解得：（舍去）．
综上，的值是或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)当 时，把二次函数化为顶点式即可；
(2)先计算 用m表示，进而可得 分别代入得出关于m的不等式组，解不等式即可；
(3)根据当 时， x的值增大， y的值先减小再增大，可得点. 抛物线对称轴直线x=n 的左侧， 点. 抛物线对称轴直线x =m的右侧.当x =m时， y的最小值 是 然后分两种情况讨论y的最大值，由该二次函数的最大值与最小值的和为 列出方程求解.
24．【答案】（1）
（2）解：①如图，连接BD，
∵AC=AC，AD=AD，
∴∠ADC=∠ABC，∠ACD=∠ABD，
由(1)得∠ACD=∠OCB=90°-α，
∴∠ACD=∠OCB=90°-α，
∵CO//AD，
∴∠ADC=∠DCO，
∴∠ABC=∠DCO，
∴∠ABC+∠ABD=∠OCB+∠DCO，即∠BCD=∠DBC，
∴CD=BD，
∵AB⊥CD，∠CDB=∠CAB=α=45°，
∴，
∴
②如图，如图，连接BD，
由(1)可得：∠ACD=∠OCB=90°-α，
又∵∠CBA=∠CDA，
∴△ACD∽△MBC，
∴
同理①可得：CD=BD，∠CDB=∠CAB=α，
设，DH=x，则BC=2a，，
∵AB⊥CD，
∴BH2=BC2-CH2=BD2-DH2，
∴，
解得：，即，
∴
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：(1)如图所示，连接OB，
∵所对的圆周角为∠CAB=α，所对的圆心角为∠COB，
∴∠COB=2∠CAB=2α，
∵OB=OC，
∴
故答案为：90°-α.
【分析】(1)如图所示，连接OB，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB=2α，根据等边对等角得到∠OCB=∠OBC，由三角形内角和定理即可求解；
(2)①连接BD，利用平行线和圆周角倒角证明∠BCD=∠DBC，得CD=BD，再利用，得出结论；
②由(1)可得：∠ACD=∠OCB=90°-α.进而可证△ACD∽△MBC，得出，
同理①可得：CD=BD，∠CDB=∠CAB=α，设，DH=x，则BC=2a，，利用双勾股定理模型可得，进而即可得出结论.
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