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2024-2025 学年天津一中高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.集合 = { ∈ |0 < < 3}的子集的个数是( )
A. 16 B. 8 C. 7 D. 4
2.命题：“ ∈ ， ∈ ，使得 ≥ 2”的否定是( )
A. ∈ ， ∈ ，使得 < 2 B. ∈ ， ∈ ，使得 < 2
C. ∈ ， ∈ ，使得 < 2 D.以上结论都不正确
3.(1 2 )8展开式中第 4 项的二项式系数为( )
A. 448 B. 1120 C. 56 D. 70
4 3
2
.函数 ( ) = + 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.化简(log 262) + log62 log63 + 2 3 6 626 的值为( )
A. log62 B. log63 C. log63 D. 1
6.下列说法中正确的是( )
A.“ 与 是对立事件”是“ 与 互为互斥事件”的必要不充分条件
B. 1 8已知随机变量 服从二项分布 (4, 3 )，则 ( ) = 9
C.已知随机变量 服从正态分布 (4, 2)且 ( ≤ 6) = 0.85，则 (2 < ≤ 4) = 0.35
D.已知随机变量 的方差为 ( )，则 (2 3) = 4 ( ) 3
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7.《哪吒之魔童闹海》在内地市场的票房突破了 154 亿大关，成为全球单一电影市场票房的最高纪录.一款
哪吒变脸玩具深受大家喜爱，某商家统计了最近 5 个月销量，如表所示：若 与 线性相关，且线性回归方

程为 = 0.6 + ，则下列说法不正确的是( )
时间 1 2 3 4 5
销售量 /万只 5 4.5 4 3.5 2.5
A.由题中数据可知，变量 与 负相关

B.线性回归方程 = 0.6 + 中 = 5.7
C.当 = 5 时，残差为 0.2
D.可以预测当 = 6 时销量约为 2.1 万只
8.已知定义在 上的函数 ( )，满足 ( + 1)为偶函数，若对于任意不等实数 1， 2 ∈ [1, + ∞)，不等式( 1
2)( ( 1) ( 2)) < 0 恒成立，则不等式 (2 ) > ( 1)的解集为( )
A. { | 13 < < 1} B. { | < 1 >
1
，或 3 }
C. { | 1 < < 12 } D. { | 1 < < 1}
9 { 1 2 .记 1, 2, 3}表示 1， 2， 3这 3 个数中最大的数.已知 ， ， 都是正实数， = { , + , }，
则 的最小值为( )
A. 3 B. 2 C. 3 3 D. 3 2
10.若 ∈ (1, + ∞)时，关于 的不等式 1 ≤ 0 恒成立，则 的取值范围为( )
A. ( ∞, 1 ] B. ( ∞, ] C. (0,
1 1
] D. ( , ]
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
2 , > 0
11.已知函数 ( ) = 2( 1 ) 1, ≤ 0，则 ( ( 2 )) = ．4
12.函数 ( ) = 的图象在 = 处的切线方程为______．
13.已知二项式( 1 )
8( > 0)的展开式中， 5的系数为 28，则 2的系数为______．
14.某同学在高中的 10 次数学考试中的成绩分别是 98，103，105，111，112，112，118，124，126，138，
则它的第六十百分位数是______．
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15.大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核.每个项目有一次补
考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核.若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都
1 2
是2，专业技能考核合格和补考合格的概率都是3，每一次考试是否合格互不影响.则大学生甲不被淘汰的概
率是______；若大学生甲不放弃每次考试的机会， 表示他参加补考的次数，则 的数学期望是______．
16.如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色(其中一种为黄色)对
图中四个区域 ， ， ， 进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四
个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有______种；若不使用黄色，则四个区
域中所有相邻区域都不同色的染色方法有______种.
三、解答题：本题共 4 小题，共 46 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 11 分)
学校将举行以“爱我中华”为主题的辩论赛，高二年级某班准备在 5 名男辩手和 4 名女辩手中选出 4 名同
学组成辩论队参赛，在选出的辩论队员中既有男队员又有女队员的条件下，回答下列问题：
(1)女队员甲必须入选的概率是多少？
(2)设辩论队中男队员的人数为 ，求 的分布列和期望．
18.(本小题 11 分)
如图所示，在三棱锥 中， ⊥平面 ， = 3， ⊥ ， = 2 = 2， = 32， = ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)求平面 与平面 的夹角正弦值．
19.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = + 1， ( ) = 2 1．
(1)若 ∈ ，求不等式 ( ) + ( ) < 0 的解集；
(2)若 ∈ ，对 1 ∈ [1,2]， 2 ∈ [4,5]，使得 ( 1) + ( 2) = ( 1) + + 8 成立，求 的取值范围．
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20.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = 22 + 1( ∈ )．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)设函数 ( )有两个不同的零点 1， 2，
(ⅰ)求实数 的取值范围：
(ⅱ) 2若 1， 2满足| 1 2| ≥ 2 ，求实数 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.8
12. =
13.70
14.115
15.2 33 4
16.144 84
3 1 2 2 1
17.(1)记事件 + 为女队员甲必须入选，由古典概型计算公式可得 ( ) = 5 3 5+ 3 5 11
4 4 4
=
9 5 4 24
．
(2)随机变量 的可能取值为 1，2，3，
3 1
( = 3) = 5 44 =
40 = 1，
9
4
5
4
4 120 3
( = 2) =
2 2
5 4 = 60 1
49
4 4
5 4 120
= 2，
1 3
( = 1) = 5 4 20 1
4 4 4
= = ，
9 5 4 120 6
故 的分布列为：
1 2 3
1 1 1
6 2 3
数学期望 ( ) = 1 × 1 1 1 136+ 2 × 2 + 3 × 3 = 6．
18.(1)证明：如图，取 的中点 ，连接 ，
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因为 = ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ，所以 / / ，
易得△ ～△ ，
3
因为 = 2 = 2， = 2，
= 所以 =
2
3，解得 = 1，即 = = ，
所以 ⊥ ，
又 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2) 3解：由(1)得 ⊥平面 ， = 2 , = 2，
所以点 到平面 3 3 3的距离是点 到平面 的距离的2倍，即2 = 2 2．
(3)解：如图，分别以 , , 为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ( 32 , 0,0), (0,0,3), (1,1,0), (0,0,0), (0,2,0)，
因为 ⊥平面 ，
所以 = ( 1,1,0)为平面 的一个法向量，
又 = ( 32 , 0,3),
= ( 12 , 1,0)，
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= 3 + 3 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 2 ，
= 12 + = 0
取 = 1，则 = 2， = 1，所以 = (2,1,1)，

设平面 | | 1 3与平面 的夹角为 ，则 = |cos , | = = = ，
| || | 2× 6 6
所以 = 1 cos2 = 336 ，
33所以平面 与平面 的夹角正弦值是 6 ．
19.解：(1)令 ( ) = ( ) + ( )
= 2 + + 1 = ( + 1)( + 1) = 0，
解得 = 1 或 1 ，
①当 < 2 时，则有 1 < 1 ，
∴不等式的解集为{ | 1 < < 1 }；
②当 = 2 时，则有 1 = 1 ，
∴不等式的解集为 ；
③当 > 2 时，则有 1 > 1 ，
∴不等式的解集为{ |1 < < 1}，
综上所述：当 < 2 时，不等式的解集为{ | 1 < < 1 }；
当 = 2 时，不等式的解集为 ；
当 > 2 时，不等式的解集为{ |1 < < 1}；
(2)由 ( 1) + ( 2) = ( 1) + + 8，
代入整理得： 2 = 21 1 + 6，
2
令 ( ) = 2 + 6 = ( )22 + 6

4，

①当2 ≤ 1，即 ≤ 2 时，对任意 1 ∈ [1,2]，
( 1) ∈ [7 , 10 2 ] [4,5]，
≤ 2 ≤ 2
∴ 7 ≥ 4 ，即 ≤ 3，
10 2 ≤ 5 ≥ 52
∴此时不等式组无解；
3
②当 1 < 2 ≤ 2，
即 2 < ≤ 3 时，对任意 1 ∈ [1,2]，
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2
( 1) ∈ [6

4 , 10 2 ] [4,5]，
2 < ≤ 3
2
∴ 6 ，4 ≥ 4
10 2 5
5
解得2 ≤ ≤ 2 2；
3
③当2 <

2 < 2，
即 3 < < 4 时，对任意 1 ∈ [1,2]，
2
( 1) ∈ [6 4 , 7 ] [4,5]，
3 < < 4 3 < < 4
2
∴ 6 ，即 ，4 ≥ 4 2 2 ≤ ≤ 2 2
7 ≤ 5 ≥ 2
∴此时不等式组无解；

④当2 ≥ 2，即 ≥ 4 时，对任意 1 ∈ [1,2]，
( 1) ∈ [10 2 , 7 ] [4,5]．
4 ≥ 4
∴ 7 ≤ 5 ，即 ≥ 2，
10 2 ≥ 4 ≤ 3
∴此时不等式组无解．
5
综上，实数 的取值范围是[ 2 , 2 2]．
2
20.解：(1)函数 ( ) = 2 1 1 2 + 1 的定义域为(0, + ∞)，求导得 ′( ) = = ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0 恒成立，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
> 0 ( ) > 0 ∈ (0, 1 ) ( ) < 0 ∈ ( 1当 时，由 ′ ，得 ，由 ′ ，得 , + ∞)，
即函数 ( ) 1 1在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减，
所以当 ≤ 0 时， ( )的递增区间是(0, + ∞)，无递减区间；
当 > 0 时， ( )的递增区间是(0, 1 1 )，递减区间是( , + ∞)．
(2)(ⅰ)由 ( ) = 0 +1 +1 1 2 ，得2 = 2 ，令 ( ) = 2 ，求导得 ′( ) = 3 ，
当 ∈ (0, 1 )时， ′( ) > 0 ∈ (
1
，当 , + ∞)时， ′( ) < 0，
则函数 ( ) 1 1在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减， ( )
1
= ( ) = 2，
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而当 > 1 时， ( ) > 0 1恒成立，且 ( ) = 0，
由 ( ) = +1有两个零点，即方程2 2 有两个不等的正根，亦即直线 =

2与 ( )的图象有两个公共点，

因此 0 < 2 < 2，即 0 < < ，
所以实数 的取值范围是 0 < < ．
(ⅱ)由 ( 1) = (
+1 +1 1 1
2) = 0，得2 =
1
2 =
2
2 ，且 < 1 < < 2，1 2

不妨设 = 2 ( > 1)，将 2 =
1+1 = 2+11代入
1 2 2
，
1 2
得 2( 1 + 1) = + 1 + 1，即 1 + 1 =

2 1，
(1 1 2 )
令 ( ) = 2 1 , > 1
2 1
，求导得 ′( ) = ( 2 1)2 ，令 ( ) = 1 2 2 , > 1，
2
求导得 ′( ) = 2 2 = 2(1 ) 3 3 < 0，则函数 ( )在(1, + ∞)上单调递减，
有 ( ) < (1) = 0，即 ′( ) < 0，函数 ( )在(1, + ∞)上单调递减，
| | ≥ 2 ln 2 = ≥ 2由 1 2 2 ，得 2 ，则 ≥ 2，1
因此函数 ( )在( 2, + ∞)上单调递减，即 ( ) ≤ ( 2) = ln 2，
于是 1 + 1 ≤ ln 2 ≤
2 1 2，有 1 ，则 1 ∈ ( , ],
1+1 +1 1 2又2 = 2 ，令 ( ) = 2 ， ∈ ( , ],1
由(ⅰ)知， ( ) 1 1 2 1 1 2在(0, )上递增，而 < < ，因此 ( )在( , ]上递增，
( 1 ) < ( ) ≤ ( 2 )
2 2 2 2
则 ，即 0 < 2 ≤ 4 ，解得 0 < ≤ 2 ，
2 2
所以 的最大值是 2 ．
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