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2024-2025 学年湖北省恩施州高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 3 35 5 =( )
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
2 2
2.计算 → 0 (2+ ) 2 =( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
3 1.已知函数 ( ) = + 2 (0 < < )，则 ( )( )
A. 3 1极大值为 2 + 3，无极小值 B.极小值为2 +

3，无极大值
C. 1 3 极大值为2 + 3，无极小值 D.极小值为 2 + 3，无极大值
4.已知 ≥ 1， ( ) = ( ) = 1 1 1 1， ， ( ) = 2 ( )三个函数图象如图所示，则 ( )， ( )， ( )的
图象依次为图中的( )
A. 1， 2， 3
B. 3， 2， 1
C. 2， 3， 1
D. 1， 3， 2
5 2.学校有 5 名男教师，3 名女教师，现在要随机选择 3 名教师参加会议，下列事件中概率等于7的是( )
A.至少有 1 名女教师 B.有 1 名或 2 名女教师
C.有 2 名或 3 名女教师 D.恰有 2 名女教师
6.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度及测量技术的原因，测得 个数 1， 2， 3， ， ( 1 ≤ 2 ≤
3 ≤ ≤
1
)，则使这 个数据的方差 ( ) =
2
=1 ( ) 最小的 为( )
A. = 2 B. C. 1 1 =1 D. =1
7.已知定义在 上的函数 ( )， ′( )是其导函数，若 ′( ) + 8 是偶函数， ′( ) 3 2 1 是奇函数，
当 (0) = 4 时，关于 的不等式 ( ) ≥ 0 的解集为( )
A. ( ∞,4] B. [4, + ∞) C. ( ∞,4] ∪ [4, + ∞) D. [ 4,4]
8.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷
雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6 块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷
雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为( )
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A. 144 B. 240 C. 336 D. 456
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .一个距地心距离为 ，质量为 的人造卫星，与地球之间的万有引力 由公式 = 2 给出，其中 为地球
质量， 为引力常量，则( )
A. 2 关于 的瞬时变化率为 3 B. 关于 的瞬时变化率为
C. 关于 的瞬时变化率为 D. 关于 的瞬时变化率为 2
10.已知盒子中有 12 个样品，6 个不同的正品和 6 个不同的次品，现从中逐个抽取 5 个样品.方案一：有放
回地抽样，记取得次品个数为 ；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为 ，则( )
A. ( = 0) < ( = 0) B.当 = 2 或 3 时， ( = )最大
C. ( ) = ( ) D. 1两种方案中第三次抽到次品的概率均为2
11.已知三次函数 ( ) = 3 + 2 ( > 0, , ∈ )，则( )
A. (1) = 0
B.若 ( ) = 0 有三个不同的实数根，则| | ≥ 2
C.若 ( 0) = 0
1
，则 ( ) = 00

D.若 ( ) = 0 有三个不同的正实数根，则 的取值范围是( 3
3, 0)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.233除以 7 的余数是______．
13.设随机变量 ～ (1, 2)， ( ≤ ) + ( ≤ 2 ) = 1，则实数 的值为______．
14 ≥ 2 2.若 ，不等式( 2 )( ) ≤ 0 恒成立，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知(1 + 2 ) 的展开式中所有二项式系数之和为 512．
(1)求 的值；
(2)求展开式中第 1 项的系数与第 3 项的系数的比值．
16.(本小题 15 分)
某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验数据：
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步频 (单位：步/ ) 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32
步长 (单位： ) 90 95 99 115
(1)若步频和步长近似为线性相关关系，当 = 101 时，5 2 = 0.451，5 =1 =1 = 150.56，根据表中数
据，求出 关于 的回归直线方程．


附：回归直线方程 = + = =1
中 , = ． =1 2 2

(2)记 = = ，其中 为观测值， 1为预测值， 为对应( , )的残差，根据表中数据，

若得出 关于 的经验回归方程为 = 600 + ，且计算出在样本点(0.30,99)处的残差为 1.8，求实数 的值．
17.(本小题 15 分)
已知曲线 1： ( ) = + ，曲线 2： ( ) = ，直线 = 与曲线 1， 2分别交于 ， 两点，曲
线 1在点 处的切线为 1，曲线 2在点 处的切线为 2，设直线 1与 2的交点为 ．
(1)若∠ 为直角，求实数 的值；
(2)求点 到直线 = 的距离．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ，其中 ∈ ， 为自然对数的底数．
(1)当 = 时，求函数 ( )的单调区间；
(2)若函数 ( )存在极小值点 0，且 ( 0) ≥ 0，求实数 的取值范围；
(3)若函数 ( ) = ( ) + 有两个零点 1， 2，求证： 1 + 2 > 2．
19.(本小题 17 分)
甲乙两人进行象棋比赛，每局胜者得 1 分，负者得 0 分；平局两人均不计分.按照规则，当一方的得分比另
2 2 1
一方多 2 分时即获胜，比赛结束.已知每局中，甲获胜概率为5，乙获胜概率为5，平局的概率为5，且每局互
不影响，相互独立．
(1)求甲在进行了 3 局后获胜的概率；
(2)若进行 局后，记甲领先 1 分的概率为 ，甲乙持平的概率为 ，求证：存在实数 ，使得{ }为
等比数列；
(3)记甲乙两人进行 局后恰好分出胜负的概率为 ，求 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.23
14.{ 24 } ∪ [
2
2 , + ∞)
15.(1)由题意可得，2 = 512 = 29，解得 = 9；
(2)由(1)，二项式(1 + 2 )9展开式的通项为 +1 = 2 9 , = 0,1, , 9，
可得 3 = 4 2 2 7 7 7 7 79 , 1 = 8 = 2 9 = 128 9 ，
128 7
所以第 1 项的系数与第 3 项的系数的比值为 92 = 32．4 9
16. (1) 1 1根据题意，可得 = 5
5
=1 = 0.3， = 5
5
=1 = 100，
5
又由5 2 = 0.451 5 =1 5 150.56 5×0.3×100 =1 ， =1 = 150.56，可得 = 5 2 2 = 0.451 5×0.32 = 560， =1 5

则 = 100 560 × 0.3 = 68，所以回归直线方程为 = 560 68；

(2)根据题意可知，99 = 99 (600 × 0.3 + ) = 1.8，解得 = 79.2，

= 15 = 0.3 = 90+95+99+ +115 399+ 因为 5 =1 ， 5 = 5 ，
399+
可得 5 = 600 × 3 79.2，解得 = 105．
17.(1)因为 ( ) = + ， ( ) = ，
所以 ′( ) = ， ′( ) = + ，
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则 1 =
， 2 =
+ ，
根据题意可知 1 2 = ( ) (
+ ) = 1，
所以 1 + ( 2 2 ) = 0，
= 1 ln 5 1解得 2 2 ；
(2)由(1)知 1 = ， 2 = + ，
由 > 0，知 1 ≠ 2，所以直线 1与 2必相交，
又由 1： ( + ) = ( )( )， 2： ( ) = ( + )( )，
联立两直线方程解得 = + 1， = 2 ，
即 ( + 1,2 )，
所以点 到直线 = 的距离为 = ( + 1) = 1．
18.(1)当 = 时，函数 ( ) = ，
可知函数 ( ) 的定义域为(0, + ∞)，且导函数 ′( ) = ，
设函数 ( ) = ，那么导函数 ′( ) =
+ 2 > 0，
可知函数 ( )在(0, + ∞)单调递增，且 (1) = 0，
当 > 1 时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0；当 0 < < 1 时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，
因此函数 ( )的单调递增区间为(1, + ∞)，单调递减区间为(0,1)．
(2)

根据题意可知： ( )的定义域为(0, + ∞)，且导函数 ′( ) = = ，
设函数 ( ) = ，那么导函数 ′( ) = ( + 1) > 0，可知函数 ( )在(0, + ∞)单调递增，
由于 ( )存在极小值点 0，因此函数 ( )在(0, + ∞)存在零点 0，
即 ( 0) = 0 0 = 0，可得 = 0 0．
那么 ( ) = 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 ≥ 0，可得 1 0 0 0 ≥ 0，
设函数 ( ) = 1 ， > 0，且 (1) = 0，
当 ∈ (1, + ∞)，1 < 0， < 0，则 ( ) < 0；
当 ∈ (0,1)，1 > 0， > 0，则 ( ) > 0，
可得 0 < 0 ≤ 1，0 < ≤ ，
因此 ∈ (0, ]．
(3) ( ) = ( ) + = 0 +1 1令函数 ，可得 = ，
+1 +1
根据题意可得： 1 =
2
，1 2
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( ) = +1构建函数 , > 0，则 ( 1) = ( 2)，
设 1 < 2，可得导函数 ′( ) = 2 ，
令 ′( ) < 0，解得 > 1；令 ′( ) > 0，解得 0 < < 1，
可知函数 ( )在(1, + ∞) 1上单调递减，在(0,1)上单调递增，且 ( ) = 0，
1
可得 < 1 < 1 < 2，
1
构建函数 ( ) = ( ) (2 )， ∈ ( , 1)，
2
那么导函数 ′( ) = ( ) + (2 ) = ln(2 ) > ln(2 )′ ′ 2 (2 )2 2 2 =
ln[ ( 1) +1]
2 > 0，
1
可知 ( )在( , 1)上单调递增，那么 ( ) < (1) = 0，即 ( ) < (2 )，
则 ( 2) = ( 1) < (2 1)，且 2 1 > 1，
又由于 ( )在(1, + ∞)上单调递减，所以 2 > 2 1，即 1 + 2 > 2．
19.(1)甲在第 3 局后胜出的得分情况为 2：0，
1 2 8
概率为 = 2 × 25 × ( 5 ) = 125；
(2)证明：进行第 局后，设乙领先 1 分的概率为 ，根据对称性有 = ，
2 1从而 +1 = 5 + 5 ，
1 2 2 +1 = 5 + 5 + 5 =
1
5 +
4
5 ，
1 2 4 1 2 4 +1 +1 = ( 5 5 ) + ( 5 5 ) = ( 5 5 )( + 1 2 )，
= 4 因此 1 2 ，解得 =± 2，
因此当 =± 2时，{ }
1 2
是公比为5 5的等比数列；
(3)由(2) 1 2 2 1 2 2可知，当 = 2， 1 1 = 5 5 ，公比为5 5 ，
1 2 2
因此 2 = ( 5 )
①，
当 = 2 1 2 2 1 2 2， 1 1 = 5+ 5 ，公比为5 + 5 ，
1+2 2
因此 + 2 = ( 5 ) ②，
② 2 1+2 2①可得 = 4 (( 5 ) (
1 2 2
5 ) )，
要使得 局后恰好分出胜负，那么 ≥ 2，
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= 2则 5 1 +
2
5
4
1 = 5 1，
2 1+2 2 1 2 2
因此 1 = 5 (( 5 ) ( )
1
5 )， ≥ 2．
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