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2024-2025 学年贵州省遵义市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3,4,5}， = {0,1,2}，则 ∩ =( )
A. {0,1,2} B. {1,2} C. {3,4,5} D. {0,1,2,3,4,5}
2 1. 1 =( )
A. 1+ 12 2 B. 1 + C. 1 D.
1 12 2
3 .已知 = 3，0 < < 2，则 =( )
A. 3 10 B. 10 C. 10 D. 3 1010 10 10 10
4.样本数据 2，7，9，13，18，24，30 的 25%分位数是( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 24
5.被誉为中国现代数学之父的华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”在数学的学习和研

究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征.例如：函数 ( ) = +
图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
6.已知向量| | = 1， = ( , )，且满足| + | = | |，则| + 2 | =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
7.在矩形 中， = 3，点 满足 = 1 + 3
( ∈ )，则 =( )
A. 23 B. 1 C. 3 D. 9
2
8.已知函数 ( ) = + 2 + 2, ≤ 01 + , > 0 ，若函数 ( ) = ( ) 恰有 3 个零点，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞,1] B. (1,2] C. [1,2] D. (2, + ∞) ∪ {1}
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角 的终边经过点 ( 3, 1)，则( )
A. = 12 B. = 3
C. sin( + ) = 32 2 D. cos( ) =
1
2
10.若正实数 ， 满足 + = 1，则( )
A. 1有最大值2 B. + 有最大值 2
C. 1 + 2
2 2 1
的最小值是 3 + 2 2 D. +2+ +1的最小值是4
11.现有 6 个分别标有数字 1，2，3，4，5，6 的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取 1 个球，
记事件甲：第一次取出的球的数字是 3，事件乙：第二次取出的球的数字是 6，事件丙：两次取出的球的数
字之和是 8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是 3，则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互对立 D.丙与丁互斥
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 2 3.不等式 1 > 0 的解集为______．
13.已知 = 3，tan( ) = 2 + ，则sin cos = ______．
14 △ 11 1.已知 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 cos( ) = 12 , cos( + ) = 6，且 = 6，
则△ 外接圆的面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

已知函数 ( ) = sin(2 + 6 )．
(1)求函数 ( )的最小正周期和对称轴；
(2)已知函数 ( ) = ( ) 2 ，求函数 ( )的单调递增区间．
16.(本小题 15 分)
为响应国家“体重管理年”三年行动的号召，某单位开展健步走活动，现统计该单位 400 名员工 5 月 4 日
至 5 月 10 日的步数信息.其中甲、乙两位员工这 7 天的步数折线图如图 1 所示：
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(1)求从这 7 天中随机选取一天，该天甲比乙的步数多的概率；
(2)整理这 400 名员工 7 天的健步走数据，得到频率分布直方图如图 2 所示.现将该单位员工每天的步数从
多到少进行排名，已知某天甲与乙的步数排名分别为第 283 名和第 130 名，试判断这是哪一天的数据，并
说明理由．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，角 、 、 对应的边分别为 、 、 ，若 + = 2 ．
(1)求角 ；
(2)若 = 2， △ = 3，求△ 的周长．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3( 2 + 1)，( ∈ )．
(1)若 = 0，证明： ( )为偶函数；
(2)( )若 0 ≤ ≤ 1，求函数 ( )的最小值；
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(ⅱ)设 ( ) = 9 2 × 3 ，若对于任意 1 ∈ (0,1)，存在 2 ∈ [ 1,1]，使得不等式 ( 1) ≥ ( 2)成立，求
的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知平面向量 = (4 , 1)， = (1, )， 、 的夹角为 ．
(1)若 // ，求 的值．
(2)已知 ( ) = | | | | 5 ， ∈ ( 12 , 12 )．
( )求 ( )的解析式；
( )若 ( ) ( ) = 1 2 4 ，证明：不等式 ( ) + 2( ) + ( ) > ( ) 1 恒成立．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( ∞,1) ∪ ( 32 , + ∞)
13.0
14.4
15.(1)由题意得 ( )的最小正周期 = 2 | | =
2
2 = ，

令 2 + 6 = + 2 , ∈ ，解得 =
+ , ∈ ( ) = 2 6 ，所以 的对称轴为 2 + 6 , ∈ ．
(2) ( ) = sin(2 + 3 1 3 1 6 ) 2 = 2 2 + 2 2 2 = 2 2 2 2 = sin(2 6 )，

设 2 2 ≤ 2 6 ≤ 2 + 2， ∈ ，解得

6 + ≤ ≤

3 + ， ∈ ，
可得 ( )的单调递增区间为[ 6 + ,

3 + ], ∈ ．
16.(1)由折线图可知，只有第 5 日和第 9 日，甲比乙的步数多，
0.06×0.25 2
所以所求概率为 0.0525 = 7；
(2)因为步数在[0,5000)的有 400 × 0.02 × 5 = 40 人，
同理在[5000,10000)的有 400 × 0.03 × 5 = 60 人，
在[10000,15000)的有 400 × 0.04 × 5 = 80 人，
在[15000,20000)的有 400 × 0.06 × 5 = 120 人，
在[20000,25000)的有 400 × 0.04 × 5 = 80 人，
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在[25000,30000]的有 400 × 0.01 × 5 = 20 人，
又这一天甲的步数的排名是 283 名，乙的步数排名是 130 名，
所以甲的步数在区间[10000,15000)，乙的步数在区间[15000,20000)，
根据折线图可知，5 月 6 日的数据符合，所以这一天是 5 月 6 日．
17.(1)因为 + = 2 ．
由正弦定理可知， + = 2 ，
即 sin( + ) = 2 = ，
1
所以 = 2，则 = 3；
(2) 1△ = 2 = 3，得 = 4，
由余弦定理可知， 2 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
即 4 = ( + )2 12，所以 + = 4，则 + + = 6，
所以△ 的周长为 6．
18.(1)证明： = 0 时，函数 ( ) = ( 23 + 1)，定义域为 ，且 ( ) = ( )，
因此 ( )是偶函数；
(2)(ⅰ)当 = 0 时， (0) = 0，
2
当 0 < ≤ 1 时， 2 + 1 > 0 +1 1 1，得 < = + ， + 在(0,1]单调递减，
最小值 = 1 时取得为 2，因此 < 2，
二次函数 = 2 + 1 的对称轴是 = 2 < 1，

当2 ≤ 0 时，即 ≤ 0 时， =
2 + 1 单调递增，最小值是 (0) = 1，因此 ( )的最小值是log31 = 0
2
当 0 < 2 < 1 时，即 0 < < 2， =
2 + 1 的最小值是 ( 2 ) = 1 4，
2
那么函数 ( )的最小值是 3(1

4 )，
2
综上可知，0 < < 2 时，函数 ( )的最小值是 3(1

4 )，当 ≤ 0 时，函数 ( )的最小值是 0．
(ⅱ)根据题意可知， ( 1) ≥ ( 2) ，
( ) = 9 2 × 3 ， ∈ [ 1,1]，设3 = ∈ [ 13 , 3]，则 ( ) =
2 2 = ( 1)2 1，
函数 ( )的最小值是 (1) = 1，
由(ⅰ)可知，当 ≤ 0 时， ( )的最小值是 0，0 ≥ 1，成立，
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2 2
当 0 < < 2 时， ( ) 的最小值是 3(1 4 )，则 3(1 4 ) ≥ 1
2 1 2 6
则 1 4 ≥ 3， 3 ≤ ≤
2 6
3 ，则 0 < ≤
2 6
3 ，
2 6
综上可知， ∈ ( ∞, 3 ]．
19.(1)已知平面向量 = (4 , 1)， = (1, cos )，
若 // ，
根据两向量平行的性质：若 = ( 1, 1)，
= ( 2, 2)， // ，
= 0 11 2 2 1 ，可得：4 × 1 × 1 = 0，即 2 2 = 1， 2 = 2，
由 2 = 1 5 2，可得 2 = 2 + 6或 2 = 2 + 6， ∈ ，
解得 = + 5 12或 = + 12， ∈ ，
5
综上， 的值为 + 12或 + 12， ∈ ；

(2)( ) ( ) = | | | | = | | | | 1 cos2 = | | | | 1 ( )2| | | | = | |
2 | |2 ( )2
= (16 2 + 1)(1 + cos2 ) (4 + )2
= 16 2 2 8 + 1
= (4 1)2 = (2 2 1)2，
5 5
因为 ∈ ( 12 , 12 )，所以 2 ∈ ( 6 , 6 )，1 < 2 2 ≤ 2，
所以 ( ) = 2 2 1．
( )证明：因为 ( ) ( ) = 1 2 4 = 1 2(1 2 22 ) = 4 22 1，
2
所以 ( ) = 4 2 12 2 1 = 2 2 + 1，
所以 ( ) + 2( ) + ( ) ( ) + 1 = ( ) + 2( ) + 2 2 1 2 2 1 + 1
= ( ) + 2( ) 1，
因为 1 < 2 2 ≤ 2，所以 ( ) = 2 2 1 > 0，
所以 ( ) > 1， 2( ) > 0，
所以 ( ) + 2( ) 1 > 0，
即 ( ) + 2( ) + ( ) ( ) + 1 > 0，
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所以不等式 ( ) + 2( ) + ( ) > ( ) 1 恒成立．
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