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2024-2025 学年荔城区八年级下学期期末质量检测
数学试题
一．选择题
1．下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（　　）
A．-3 B．0 C．π D．7
2．若y关于x的函数y=-4x+m是正比例函数，则m应满足的条件是（　　）
A．m＝1 B．m＝0 C．m≠1 D．m≠0
3．在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：4，6，7，7，8，这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．6，7 B．7，6 C．7，7 D．7，8
4．如图，某数学兴趣小组想测量湖面AB的宽度，在湖面外任意取点O，先连接OA和OB,接着分别取AO和OB的中点C，D，测得CD的长为4m，则AB的宽度为（　　）
A．12m B．8m C．6m D．4m
5．下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．c2=a2+b2
C．∠A+∠B＝∠C D．
6．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线相等的四边形是平行四边形
7．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF经过点O，交AD于点E，交BC于点F，若AB=4，BC=5，OE=2.5，则四边形CDEF的周长为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
8．某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．为了了解其沸点，小聪先在锅中倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（s）与油温（°C）对应关系如下表：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
当加热到110s时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（　　）
A．210℃ B．220℃ C．230℃ D．240℃
9．如图，小浙同学用长度相等的四根木条制作了可活动的四边形学具，改变其内角度数，四边形ABCD可变为四边形A’B’C’D’,若∠ABC=90°，∠A’B’C’=60°,则的值为（　　）
B． C． D．
10．某校开展数学文化节，向同学们征集文化节LOGO，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计。如图，分别以Rt△ABC的边AB，BC，AC为直径向外画半圆。若要求△ABC的面积，只要知道（　　）
月形图形AECD的面积
月形图形BGCF的面积
月形图案BGCF的面积与月形团AECD的面积之差
月形图案BGCF的面积与月形团AECD的面积之和
二．填空题
11．将直线y＝2x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为
12．命题“如果两个实数相等，则它们的平方相等”的逆命题是　 　 命题（填“真”或“假”）
13．在学校运动会调高比赛中，新手的表现通常不太稳定，小李对五轮比赛后甲、乙两位选手的比赛成绩进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则根据图中信息判断可能是新手的是 （填“甲”或“乙”）
第13题图 第14题图
14．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝mx+n（m≠0）相交于点A（-3，2），则关于x的不等式kx+b15．我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式。即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝
那么三角形的面积S=。若△ABC的三边长分别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出△ABC的面积为
16．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC2_BD2=40，过点B作BE⊥AD于点E，若AE=2，则AD=
三．解答题
17．计算：÷—×
18．如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE.
求证：四边形AECF是平行四边形.
19．已知关于x的一次函数y＝（3k﹣1）x+6k﹣2
（1）若y随x的增大而增大，求k的取值范围；
（2）若该一次函数与正比例函数y= -x的图象交于P点（m，3），求k的值。
20．2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
（1）如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想，求笔记本电脑屏幕宽度AO的长；
（2）小组成员调整张角大小继续探索，当张角调整为某个特定角∠A’OB时（点A’是点A的对应点），用眼舒适度较为理想。调整后，此时顶部边缘A’与A的水平距离CD=6，求此时顶部边缘A’处离桌面的高度A’D的长。
21．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，为引导青少年提升国家安全意识和素养，学校开展“国家安全，青春挺膺”为主题的知识竞赛。参加知识竞赛的学生分为甲、乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图标。已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足b=2a
请根据所给的信息，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表
成绩（分） 70 80 90 100
人数 3 a b 5
（1）a= ，b= ；
（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；
（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．
22．2025年6月，全国各地持续高温催生“清凉消费”热潮，空调、冰箱等制冷家电需求激增，某商城为积极响应群众迫切需求，切实保障市场供应，计划批量采购冰箱和空调。已知每台冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城购进6台冰箱和10台空调刚好花费28000元．
（1）求每台冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）已知冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，现商城准备购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，则该商城购进冰箱、空调各多少台才能获得最大利润？最大利润为多少？
23．阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
作矩形的最大内接菱形的方法 顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形EHGF（如图1），则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形AECF则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF，与AD边交于点E，与BC边交于F，连接AF，CE则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形。 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形．
任务：
（1）图一菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为
（2）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）若在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值。
24．定义：一次函数y=2kx+2b是一次函数y=kx+b的“2倍函数”，已知直线l1的解析式为y=x-2，直线l2是直线l1的“2倍函数”。
（1）请直接写出l2的解析式；
（2）如图1，直线l1与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2与y轴交于点C.
①直线l3：y=mx（m≠0）上有一点P且在第一象限，若直线l2，直线l3与x轴无法围成三角形，OP=AC，求点P的坐标；
(
l
2
) (
l
1
)②若点D是y轴上一个动点，当∠OAD=∠BAC时，求直线AD的解析式。
图1 备用图
25．如图1，在正方形ABCD中，AB=6，点P为线段BC上一个动点，连接AP，线段AP的垂直平分线交AP,对角线BD于点E，F，连接BE.
（1）求证：∠BEP=2∠BAE；
（2）如图2，连接AF，PF.
①若，求的值；
②设BP=x,△AEF的面积为S1，△BEF的面积为S2，试探究S1＋S2的变化情况，请从以下结论中选择一个正确的并证明；
（i）S1＋S2随x的增大而增大；
（ii）S1＋S2随x的增大而减少；
（iii）S1＋S2为定值.
图1 图2 备用图
2024-2025 学年荔城区八年级下学期期末质量检测
参考答案
1-5：DBCBA 6-10:CCCAD
10 . 解：记AB=b，AC=b，BC=a，SΔABC=ab，以AB为的直径的半圆面积S1=π（c）2× = πc2
以AC为直径的半圆面积S2=π（b）2× = πb2，以BC为直径的半圆面积S3=π（a）2× = πa2
∵a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
∴S2+S3—(阴影AECD+阴影BGCF)=S1—SΔABC
∴阴影AECD+阴影BGCF=SΔABC，
故选D
11 . y = 2x + 2 12 . 假 13 . 乙 14. x＜-3 15. 4 16 . 5
解：过点A 做AF垂直BC交BC延长线于点F，
设AD为x，BE为y，则DE为x-2
∵AD=BC
∴BC=x ，CF=x+2
∵AD// BC ∴BE=AF=y
∴AC2=AF2+CF2=y2+（x+2）2 ，BD2=DE2+BE2=(x-2)2+y2
∵AC2—BD2=40
∴y2+（x+2）2 —(x-2)2—y2=40 解得x=5
即AD=5
17 ．解：原式 = — = 2 — 4 = -2
18．证明：在平行四边形 ABCD 中
∵AD ∥ BC，AB ∥ CD
∴ AF ∥ CE
∵ AF = CE
∴ 四边形 AECF 是平行四边形
19．解：（1）∵ y = (3k —1)x + 6k —2 且y 随 x 的增大而增大
∴ 3k —1＞0
（2）∵ y = -x 过P(m，3)
∴ m = -3即P(- 3，3)
∵y = (3k -1)x + 6k- 2 与y = -x 的图象交于点 P(- 3，3)
∴(3k -1) × (-3)+ 6k- 2 = 3
解：（1）∵∠ AOB = 150°
∴ ∠AOC = 30°
在 RtΔAOC中，
∵ AC = 10cm
∴ AO = 2AC = 20cm
∴笔记本电脑屏幕宽度 AO 为 20cm.
在 RtΔAOC中，根据勾股定理得
∵CD=6cm
∴ DO = 4-cm
∵ AO = A' O = 20 cm 且 A' D 丄 BC
在RtΔA' OD中根据勾股定理得
∴此时顶部边缘A' 处离桌面的高度A'D 的长为4 cm.
21 ．解：（1） a = 4，b = 8
（2）不正确． 正确的算法： 甲组 20 名学生竞赛成绩的平均分是：
根据扇形统计图可知 ，乙组学生竞赛成绩为70分，80分， 90分，100分的人数占乙组总人数的百分比分别为 40% ，25% ，25% ，10% ．
所以乙组 20 名学生竞赛成绩的平均分是：70× 40% +80× 25% +90× 25% +100× 10% = 80.5（分）
因为 87.5＞80.5 ，所以甲组竞赛成绩较好．
22．解：（1）设每台冰箱的进价为 x 元，每台空调的进价为(x -400)元，
由题意得， 6x +10(x -400)＝28000解得 x＝2000
x -400＝1600
答：每台电冰箱进价为 2000 元，每台空调进价为 1600 元.
（2）设购进冰箱 a 台，利润为y 元， 由题意可得，
y＝（2100-2000）a +（1750-1600）×（100-a）＝ -50a +15000∵购进空调数量不超过冰箱数量的 3 倍
解得 25 ≤ a ≤ 100 且 a 为 整数 : k = -50＜0
∴y随 a的增大而减小
∴当 a＝25 时，y 取得最大值，此时 ymax＝ -50× 25 +15000＝13750元 ，
100-a＝75台
答：当购进冰箱 25 台，空调 75 台获利最大，最大利润为 13750 元．
23 解：（1）
（2）
如图所示，四边形 AFCE 即为所求；
（3）方法一：由折叠可知四边形 EFGH 是菱形， S菱形矩形
方法二：如图，
∵ ∠AFB =∠ CFN，∠B = ∠N = 90°，AB = CN
∴ ΔABF ≌ ΔCNF（AAS) ，
∴ AF = CF ，
设 AF = CF = x ，
∵在 RtΔABF中， AB2+ BF 2= AF2 ，
∴ 62+（18 — x）2 = x2
∴ x = 10
∵ AN ∥ CM, AD∥BC 且 AF ∥ CF
∴四边形 AFCE 为菱形
∴ S菱形AECF = 6 × 10 = 60
方法三：同理方法二， S菱形AECF = 60 ，
∵ 54＜60
∴此矩形的内接菱形的面积最大值为 60
24.（1） y = 2x - 4
（2）① ∵ l2，l3 ，x 轴无法围成三角形
∴ l2 // l3 ，即OP // AC
又∵OP = AC
∵四边形 OCAP 为平行四边形
∴AP/OC，AP =OC
∵y = 2x — 4与y轴交于点C
∴C(0，-4)
∴AP = OC = 4
又∵P 在第一象限∴P(2,4)
②（I）若 D 在y 轴负半轴上
∵直线 l1：y = x - 2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A ，B ∴ A（2,0）B（0，- 2）
∴ ΔABO是等腰直角三角形
∴∠ OAD＋∠DAB =∠ DAB＋∠BAC = 45 °过点 C 作 CE⊥ l2 交 AD 于点 E
∴ △ ACE 是等腰直角三角形即 AC = CE,∠ ACE = 90°
过点 C 作 x 轴的平行线l3
过点 E 作EN⊥l3 交l3于点 N 过点 A 作 AM⊥ l3 交l3 于点 M
∵∠CAM +∠ ACM = 90° 又∵∠ ACM +∠ ECN = 90°
∴∠CAM = ∠ ECN
∵EC = AC ，∠ ENC = ∠ CMA = 90°
∴ ΔENC ≌ ΔCMA（AAS）
∴ EN = CM = 2 ，NC = AM = 4
又∵点 E 在第四象限
∴ E（- 4,-2）
设直线 AD为y=kx+b
∵ A(2,0)，E（- 4,-2）在直线 AD 上
（II）若D'在 y 轴正半轴上则D 与D'关于 x 轴对称: D（0，- ）
, 同理可求直线 AD'的函数解析式为：
综上，直线 AD 的函数解析式为 y = x - 或 y = - x +
25.解：（1）∵EF 是线段 AP 的垂直平分线 ∴ AE = PE
∵四边形 ABCD 是正方形
∴∠ ABP＝90。
在RtΔABP中
∴∠ EAB = ∠ ABE
∴∠ BEP = ∠ EAB +∠ ABE = 2∠ BAE
（2）解：连接 FC,过点 F 作 FM⊥BC 交 BC 于点 M
在正方形 ABCD 中: ∠ADB = ∠CDB = 45°， AD = DC
又∵ DF = DF
∴ ΔADF ≌ ΔCDF（SAS）
∴ AF = FC
∵EF 是线段 AP 的垂直平分线
∴ AF = PF
∴ PF = FC
∴ PM = MC
∴ BM = 4
在等腰RtΔBFM中和等腰RtΔBCD中
BF = 4 ， BD = 6-
∴ DF = 2
（3）选③证明：过点 E 作 EN⊥BC 交 BC 于点 N 由（1）得 AE = EP = BE
∵ PB = x ，
过点 F 作 FR⊥AB 交 AB 于点 R
过点 E 作 ET⊥AB 交 AB 于点 T
易证得四边形 FRBM 为正方形, 四边形 ETBN 为矩形
∴ ET = BN , FR = BM
∴S1 + S2 = SΔAFB - SΔAEB
= 9
∴ S1 + S2 = 9保持不变

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