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河南省驻马店市上蔡县2024-2025学年八年级下学期第三次月考数学试题
一、单选题
1．如图，已知矩形，对角线，交于点，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．中国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是芯片工艺的量产，这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．已知用科学记数法表示为，则用小数表示为（ ）
A． B． C． D．
3．将某一次函数的图象向下平移2个单位长度得到直线，该函数的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，菱形的两条对角线相交于点，若，则菱形的面积是（ ）
A．10.5 B．20 C．21 D．10
5．已知点是反比例函数的图象上一点，则下列各点中也在该函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
6．2025年2月7日在哈尔滨举行的亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．若代数式和的值相等，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．-3 D．-2
8．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．对于函数随的增大而减小
B．关于的不等式的解集为
C．
D．函数的图象不经过第四象限
10．如图，在菱形中，顶点均在坐标轴上，且，以为边构造等边三角形．将和菱形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，第一次旋转结束时点的对应点记为，第二次旋转结束时记为，……，依次类推，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．请写出一个使分式有意义的x的值： ．
12．数学家发现一个有趣的现象：由于行走习惯或身体结构等原因，人在走路时一只脚伸出的步子总要比另一只脚伸出的步子长，设步差为，就是这小小的，导致这个人会走出一个半径为的圆．经过大量的数据研究，得到关于的函数关系为．当小明的步差约为 时，他会走出半径约为的圆．
13．如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，图中阴影部分的面积之和为36，则的长为 ．
14．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如上所示的关系图，则（4）处可以填写的条件是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若轴，是轴上一点，的面积为，则的值为 ．
三、解答题
16．先化简，再求值：，其中．
17．如图所示，在矩形中，对角线，交于点，在的延长线长取一点，使．求证：是等腰三角形．
18．如图，在四边形中，，用尺规作，的平分线．下面是小柯的做法：
小柯：如图所示，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，那么就是的平分线；同理，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，那么就是的平分线．
(1)说明是的平分线的理由；
(2)若四边形是平行四边形，当时，求的长．
19．某水果经销商从种植户购进甲、乙两种水果进行销售．种植户对乙种水果按25元/千克的价格出售、设经销商购进甲种水果千克、付款元，与之间的函数关系如图所示．
(1)求当和时，与之间的函数关系式；
(2)若经销商用2620元购进甲、乙两种水果共100千克，且购进甲种水果的质量大于50千克．求该经销商购进甲、乙两种水果各多少千克．
20．如图，在中，F是的中点，E是线段延长线上一动点，连接，，过点B作，与线段的延长线交于点D，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，则在点E运动的过程中：
①当四边形是菱形时，求的值；
②当 时，四边形是矩形．
21．综合与实践：探究奶茶甜度．
【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解）
【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．
(1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？
(2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？
22．已知反比例函数，正比例函数．当时，；当时，．
(1)求a，b的值；
(2)当时，求x的值；
(3)当时，直接写出x的取值范围．
23．直线与坐标轴分别交于点，以为边在轴的右侧作正方形．
(1)求点的坐标；
(2)若是轴正半轴上一动点，点在的右侧，且，．
①如图，点的坐标为，求点的坐标；（用含的代数式表示）
②点是否恒为某一函数图象上的点？若是，请直接写出该函数表达式；若不是，请说明理由．
参考答案
1．B
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴A、C、D正确，不符合题意，
对角线不一定垂直，错误，符合题意；
故选：B．
2．A
解：，
故选：．
3．B
∵将某一次函数的图象向下平移2个单位长度得到直线，
∴将的图象向上平移2个单位长度得到原一次函数解析式，此时解析式为，
故选：B．
4．D
解：∵菱形的两条对角线相交于点，若，
∴菱形的面积是，
故选：D．
5．C
解：∵反比例函数解析式，且过，
∴，
∴反比例函数解析式为，
、当时，，此点不在该反比例函数的图象上，不符合题意；
、当时，，此点不在该反比例函数的图象上，不符合题意；
、当时，，此点在该反比例函数的图象上，符合题意；
、当时，，此点不在该反比例函数的图象上，不符合题意；
故选：．
6．A
解：∵的坐标为，点的坐标为，
∴如图，
由图可得：点的坐标为．
故选：A．
7．B
解：由题意得方程：，
整理得：，
两边同乘，消去分母得：，
解得：，
验证：当时，分母，
则的值为3．
故选：B．
8．C
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
故选：C．
9．C
解：∵经过第一、二、三象限，所以D选项不符合题意；
∴随的增大而增大，所以A选项不符合题意，
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为，
∴时，，
即关于的不等式的解集为，所以B选项不符合题意；
当时，，
即，
∴，所以C选项符合题意．
故选：C．
10．B
解：如图，连接，过作轴于点，
∵在菱形中， ，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形
∴，，
∴，
∴；
由旋转知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，；
∵点在第一象限，且是顺时针旋转，
∴点在第四象限，
∴，
由题意，当旋转到时，则与关于原点对称，
旋转到时，与关于原点对称，旋转到，
∴点的位置，每4次旋转一个循环，
∵，
∴点的坐标与点的坐标相同为
故选：B．
11．1（答案不唯一）
解：∵分式有意义，
∴，即，
∵，
∴x的取值范围是，
∴x可以取1（答案不唯一），
故答案为：1（答案不唯一）．
12．0.02
解：将代入得：
（米），
∴当小明的步差约为时，他会走出半径约为的圆，
故答案为：0.02．
13．
解：∵四边形是矩形，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴
故答案为：．
14．或
解：∵四边形是菱形，且，
∴四边形是正方形；
∵四边形是菱形，且，
∴四边形是正方形，
∴（4）处可以填写的条件是或，
故答案为：或．
15．
解：如图，连接，设与轴交于点，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
故答案为：．
16．，
解：
，
∵
∴原式．
17．见解析
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点E在的延长线上，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形．
18．(1)见解析
(2)3
（1）证明：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
19．(1)当时，；当时，
(2)经销商购进甲种水果60千克，乙种水果40千克
（1）解：当时，设函数为
∵图象经过点，
∴，
解得：，
∴；
当时，设函数为，
∵图象经过点，，
∴，
解得：，
∴．
综上，当时，；
当时，．
（2）设经销商购进甲种水果千克，则购进乙种千克，
∵，结合（1），可得：
，
解得，
∴甲种水果是60千克，乙种水果是40千克．
答：该经销商购进甲种水果60千克，乙种水果40千克．
20．(1)见解析
(2)①6；②3
（1）证明：∵，
∴，
∵F是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①∵，
∴，
∵四边形是菱形， ，
∴，，
∴是等边三角形，
∴；
②由（1）得，四边形是平行四边形，
当，四边形是矩形，
此时，∵，
∴，
∴，
∴当时，四边形是矩形，
故答案为：3．
21．(1)再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样
(2)店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度
（1）解：当时，七分糖奶茶的含糖量为克；
全糖奶茶的甜度为，
设往七分糖奶茶中再加入x克糖能跟全糖奶茶甜度一样，此时七分糖奶茶加入糖后含糖量为克，奶茶总质量克，其甜度为，
根据甜度相等得：
解得，
经检验，是原方程的根，
答：再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样；
（2）解：五分糖奶茶的甜度为；
三分糖奶茶的含糖量为克，加入克糖后，含糖量变为克，奶茶总质量为克，此时甜度为；
∵，
∴，
所以，店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度．
22．(1)，
(2)
(3)或
（1）解：∵当时，，
∴，
∴反比例函数，
∵当时，，
∴，
又∵当时，，
∴把，代入得，，
解得，
∴正比例函数，
∵把，代入得，；
（2）解：当时，，
解得，
（3）解：∵，
∴，
由图可得，当时，或．
23．(1)
(2)①②
（1）解：∵，
∴，
解得，
∴；
（2）解：①过点E作轴交于F点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②点E恒为某一函数图象上的点，理由如下：
∵，
∴设，
∴，
∴．

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