资源简介

2024-2025 学年广西玉林市七校联考高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 39 = 9，则 的值为( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 3 或 6

2.已知函数 ( ) = ( ) ( )在 0处的导数为 2，则 → 0 0 0 =( )
A. 2 B. 2 C. 1 12 D. 2
3.已知随机变量 的分布列：
1 0 1
1 1 1
2 3 6
满足 = + 3， ( ) = 53，则 的值为( )
A. 4 B. 4 C. 2 D. 2
4.从 4 名女生、6 名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取 5 名学生组成课外小组，则不同的抽取方法
种数为( )
A. 1440 B. 120 C. 60 D. 24
5.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，若 ( ) = 3 ′(2) + + 32 ，则 ′(2) =( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 12 2
6.某党支部有 10 名党员，7 男 3 女，为迎接建党 100 周年，从中选取 2 人做汇报演出，若 表示选中的女
党员数，则 ( < 2) =( )
A. 7 B. 8 C. 1415 15 15 D. 1
7.(2 + 1)( 1 )5的展开式中 2 项的系数为( )
A. 10 B. 20 C. 10 D. 20
8.已知函数 ( ) = 1, ≤ 0| |, > 0 ，若 ( ) = ( ) 至少有三个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
A. (0, ) B. (0, ] C. (0, 1 ) D. (0,
1
]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校高一年级数学课外活动小组中有男生 7 人，女生 3 人，则下列说法正确的是( )
第 1页，共 7页
A.从中选 2 人，1 人做正组长，1 人做副组长，共有 100 种不同的选法
B.从中选 2 人参加数学竞赛，其中男、女生各 1 人，共有 21 种不同的选法
C.从中选 1 人参加数学竞赛，共有 10 种不同的选法
D.若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的 1 个队，共有 100 种不同的报名方法
10.如图所示是 = ( )的导数 = ′( )的图象，下列结论中正确的有( )
A. ( )在区间( 3,1)上是增函数
B. = 1 是 ( )的极小值点
C. ( )在区间(2,4)上是减函数，在区间( 1,2)上是增函数
D. = 2 是 ( )的极小值点
11.甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为 6%，乙、丙加工的次
品率均为 5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的 25%、30%、45%，
从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有( )
A.该零件出自于甲加工的概率为 0.25
B.该零件是次品的概率为 0.0525
C. 3若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为7
D.若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为 2：2：3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如果随机变量 ～ ( , )，且 (2 ) = 24， ( ) = 8，则 = ______．
13.若点 是曲线 = 2 上任一点，则点 到直线 2 = 0 的最小距离是______．
14.在秋冬季节，疾病 1的发病率为 2%，病人中 40%表现出症状 ，疾病 2的发病率为 5%，病人中 18%
表现出症状 ，疾病 3的发病率为 0.5%，病人中 60%表现出症状 .则任意一位病人有症状 的概率为
______. (症状 只在患有疾病 1， 2， 3时出现)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
3 月 11 日，2024 年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群
第 2页，共 7页
众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采.某地计划在来年的侗族大歌节
安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这 5 种活动的举办顺序．
(1)共有多少种不同的安排方案？
(2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案？
(3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案？
16.(本小题 15 分)
( + 2在 8 2 ) 的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第 + 1 项是有理项，求 的取值集合；
(3)系数最大的项是第几项．
17.(本小题 15 分)
( ) = 1已知函数 2
2 2 ．
(1)若 = 3，求 ( )的增区间；
(2)若 < 0，且函数 ( )存在单调递减区间，求 的取值范围；
(3)若 = 1 12且关于 的方程 ( ) = 2 + 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
某工厂有甲、乙两个车间生产同一种零件，如表记录了随机抽取的上一年的 10 个工作日两个车间生产的零
件个数：
甲车间 62 63 43 74 73 70 59 70 43 66
乙车间 39 45 50 36 23 20 23 38 51 39
(Ⅰ)从记录的这 10 个工作日中随机抽取 1 天，求甲车间生产的零件个数小于 50 的概率；
(Ⅱ)用频率估计概率，若从未来的工作日里随机抽取 3 天(假设每次抽取的结果互不影响)，记 为乙车间生
产零件的个数超过甲车间的天数，求 的分布列和数学期望；
(Ⅲ)从记录的这 10 个工作日中随机抽取 1 天，用“ = 0”表示甲车间生产的零件个数在区间[40, )内，用
“ = 1”表示甲车间生产的零件个数在区间[ , 80]内.请写出一个实数 的值使得方差 取到最大值. (结论
不需要证明)
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln( + 1) 2．
第 3页，共 7页
(1)当 = 4 时，求曲线 ( )在(0, (0))处的切线方程；
(2)若 ( )存在极大值，且极大值不大于 3 2，求实数 的取值范围．
第 4页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.13
13. 2
14.0.02
15.解：(1)安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这 5 种活动的举办顺序，
共有 55 = 120 种不同的安排方案；
(2)若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，则从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，
则共有 1 44 4 = 96 种不同的安排方案；
(3)若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，则将这两项活动捆绑，看作一项活动，
内部全排列，然后和其余活动全排列，
则共有 2 42 4 = 48 种不同的安排方案．
16. 2 5解：(1) 8 4 +1 = 8( ) ( 2 ) = 82 2 ， = 0，1…8，
二项式系数最大的项为中间项，即第 5 项，
20
所以二项式系数最大的项为 5 = 4 482
4 2 = 1120 6；
2 5
(2) +1 = 8( )8 ( ) =
4
82 2 , = 0,1 8，
当 4 52 为整数时为有理项，
即 = 0，2，4，6，8，
第 5页，共 7页
则 的取值集合为{0,2,4,6,8}；
(3)设第 + 1 项的系数最大，
2 ≥ 18 8 2 1则 +1 +1，解得 5 ≤ ≤ 6， 82 ≥ 8 2
故系数最大的项为第 6 项和第 7 项．
17.解：(1) ( )的定义域是(0, + ∞)，
= 3 时， ′( ) = 1 3 2 = (3 1)( +1) ，
( ) > 0 0 < < 1令 ′ ，得 3，
∴函数 ( ) 1的增区间是(0, 3 ].
(2) ( ) = 1′ 2，
由函数 ( )存在单调递减区间，知 ′( ) < 0 在(0, + ∞)上有解，
∴ 1 2 < 0，即 >
1
2
2
，
1 2而 2 = (
1 2
1) 1 ≥ 1，
∴ > 1，又 < 0，
∴ 1 < < 0．
(3) = 1 1 2 12时， ( ) = + 4 2 ，则 ( ) = 2 + 即为 = +
1 24
3
2 ，
令 ( ) = + 1 2 34 2 (1 ≤ ≤ 4) ( ) =
1 + 1 3，则 ′ 2 2 =
( 1)( 2)
2 ，
当 1 < < 2 时， ′( ) < 0， ( )递减；当 2 < < 4 时， ′( ) > 0， ( )递增．
∴ ( ) = (2) = 2 2，
5
又 (1) = 4， (4) = 4 2， (1) < (4)，
∴ 2 2 < ≤ 5 54，即实数 的取值范围是 2 2 < ≤ 4．
18.解：( )设事件 为“甲车间生产的零件个数小于 50”
2 1
由表中数据可知甲车间在这 10 个工作日中有 2 个工作日生产零件个数小于 50，故 ( ) = 10 = 5；
( ) 1由题意可知，从未来的工作日里随机抽取 1 天，乙车间生产零件的个数超过甲车间的天数的概率为5，
的可能取值为 0，1，2，3，
第 6页，共 7页
0 1 2 3
64 48 12 1
125 125 125 125
( = 0) = ( 4 )3 = 64 ( = 1) = 1 1 ( 4 )2 = 48 ( = 2) = 2( 1 )2 4 = 12 1 3 15 125， 3 5 5 125， 3 5 5 125， ( = 3) = ( 5 ) = 125，
随机变量 的分布列为：
( ) = 0 × 64 + 1 × 48125 125 + 2 ×
12 1 3
125 + 3 × 125 = 5；
( ) = 64．
19.解：(1)当 = 4 时， ( ) = ln( + 1) 4 16 1，故 ′( ) = +1 4，
所以 ′(0) = 3，又 (0) = 16，
所以曲线 ( )在(0, (0))处的切线方程为 + 16 = 3( 0)，即 3 + + 16 = 0．
(2)由题意得， + 1 > 0，故函数 ( )的定义域为( 1, + ∞)，
因为 ( ) = ln( + 1) 2 1 ( +1)+1，所以 ′( ) = +1 = +1 ，
当 ≤ 0 时， ( + 1) + 1 > 0， ′( ) > 0， ( )在( 1, + ∞)上为增函数， ( )无极值．
当 > 0 时，由 ′( ) = 0 = 1，得 1 > 1，
1
当 ∈ ( 1, 1)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ ( 1 1, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
1 1 1
所以当 = 1 时， ( )有极大值，极大值为 ( 1) = ln(
2
) 1 + ，
ln( 1所以 ) 1 +
2 ≤ 3 2，即 2 + 2 2 ≥ 0，
2
令 ( ) = 2 + 2 2( > 0) 1 2 +1，则 ′( ) = 2 1 + = ，
因为 2 2 + 1 = 2( 1 2 74 ) + 8 > 0，所以 ′( ) > 0，
所以 ( )在(0, + ∞)上为增函数，
因为 (2) = 22 2 + 2 2 2 = 0，
所以要使 ( ) ≥ 0，则 ≥ 2，
所以实数 的取值范围是[2, + ∞)．
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑