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2024-2025 学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 = 1 + 3 ( 为虚数单位)，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
2.某校高一有 1000 名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本
阅读，其中有 400 人选《三国演义》，250 人选《水浒传》，250 人选《西游记》，100 人选《红楼梦》，
若采用分层抽样的方法随机抽取 100 名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取
的人数为( )
A. 25 B. 30 C. 35 D. 50
3.已知平面向量 = ( 3,4)， = (1,2)，则向量 在向量 上的投影向量是( )
A. ( 3 , 45 5 ) B. (
3 5 , 4 55 5 ) C. (
1 , 2 5 2 55 5 ) D. ( 5 , 5 )
4.已知四棱锥 的高为 2，其底面 水平放置时的斜二测画法直
观图 ′ ′ ′ ′为平行四边形，如图所示，已知 ′ ′ = ′ ′ = 3，
′ ′ = ′ ′ = 1，则四棱锥 的体积为( )
A. 2 B. 4 C. 3 2 D. 12
5.若点 是△ 的外心， = 6，则 + =( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
6.已知△ 的三条边长分别为 ， ， ，且 ： ： = 5：7：8，则此三角形的最大角与最小角之和为( )
A. 2 3 B.
3
5 C.
3
4 D.
5
6
7.若将函数 ( ) = cos(2 + 6 )的图象向左或右平移 个单位，所得的图象与 = ( )的图象关于 轴对称，
则 的最小正值是( )
A. 12 B. 6 C. 4 D. 3
8.已知圆锥 的侧面面积为 15 ，母线长为 5，则圆锥 的外接球的表面积为( )
A. 25 B. 25 4 2 C. 25 D.
33
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知△ 中，点 (1,2)， (2,0)， (3,2)分别为 ， ， 的中点，则( )
A. = (1,2) B. = (1, 2)
C.点 的坐标为(2,4) D. △ 的面积为 4
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10.某中学冬季田径运动会中，高一男子跳高比赛组的前七名成绩(单位：厘米)为：145，155，132，135，
140，130，136，则( )
A.该组数据的极差是 35 B.该组数据的中位数是 136
C.该组数据的 40%分位数是 135 D.该组数据的平均数为 139
11.记 + = ， + = ，则( )
A. 的取值范围为[ 2,2] B.若 = 0，则 = 0
C. + 的最小值为 2 2 D.若 = 3，则 的最大值为 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若复数 满足| + | = 1，则| |的最大值为______．
13.样本中共有 5 个数据值，其中前四个值分别为 1，2，3，5，第五个值丢失，
若该样本的平均数为 2，则样本方差为______．
14.如图， ， 两点在河的两岸，在 同侧的河岸边选取点 ，测得 = 20 ，
∠ = 75°，∠ = 60°，则 ， 两点间的距离为______ .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在边长为 1 的菱形 中，∠ = ， = 2 ，设 3 = ，
= ．
(1)用 ， ，表示 ，并求| |；
(2)若 = ， ⊥ ，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出 4000 米的山峰就有 58 座迂回缭绕于高
山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕
见，是得天独厚的自然风景区.现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择 100 名游客对景区
进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求 的值；
(2)估计这 100 名游客对景区满意度评分的中位数和平均数(每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，
得数保留两位小数)．
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17.(本小题 15 分)
已知向量 = ( , )， = ( 3 , ) 1，设函数 ( ) = 2， ∈ ．
(1)求 ( )的最小正周期；
(2)求 ( )的单调递增区间；
(3) 设 ∈ (0, )，且 tan( 6 ) =
1
2，5 ( ) = 6 ( )，求 的值．
18.(本小题 17 分)
已知 ， ， 分别为△ 的三个内角 ， ， 的对边，且 = 2 ，2 = ．
(1)求 ；
(2)若 = 2，求△ 的面积；
(3)若△ 为锐角三角形，且 2 = ，求| |的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图 1，图 2，在正方体 1 1 1 1中， 为 的中点．
(1)图 1 中求证： 1//平面 1 ；
(2)图 1 中求二面角 1 的正切值；
(3)图 2 中，已知 = 2， 为 1 1的中点，点 是线段 1 上的动点，过 且与 垂直的截面 与 交于
点 ，求三棱锥 的体积的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.4
14.10 6
15.(1) 已知在边长为 1 的菱形 中，∠ = ， 3 = 2 ，
又 = ， = ，
则 = + = 1 3 =
13 ．
| | = | | = 1 ∠ = 因为 ， 3，
所以 = 12，
2
则 = ( 1 )2 =
2
2 + 1 2 = 73 3 9 9，
所以| | = 73 ；
(2)因为 = = ，
所以 = + = + ，
因为 ⊥ ，
所以 = 0，
所以( + ) ( 13 +
) = 0，
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1 2即 1 + +
2
3 3 = 0，
解得 = 15．
16.(1)根据题意可知，10 × (0.005 + 0.01 + 0.015 + + 0.04) = 1，可得 = 0.03；
(2)因为 10 × (0.005 + 0.01 + 0.015) = 0.3 < 0.5，
10 × (0.005 + 0.01 + 0.015 + 0.03) = 0.6 > 0.5，
所以中位数在区间[80,90)内，令其为 ，
则 0.3 + 0.03 × ( 80) = 0.5，解得 = 80 + 203 ≈ 86.67，
所以满意度评分的中位数约为 86.67，
由频率分布直方图可知，平均数为：

= 55 × 0.05 + 65 × 0.1 + 75 × 0.15 + 85 × 0.3 + 95 × 0.4 = 84．
17.(1)已知向量 = ( , )， = ( 3 , ) 1，设函数 ( ) = 2， ∈ ，
则 ( ) = 3 + cos2 1 3 1 22 = 2 (2 ) + 2 (2 1)
= 32 2 +
1
2 2 = sin(2 + 6 )，
由 = 2 | | =
2
2 = ，
得 ( )的最小正周期为 ．
(2)由(1)知 ( ) = sin(2 + 6 )，
令 2 + 2 ≤ 2 +

6 ≤ 2 + 2 ， ∈ ，
即 3 + ≤ ≤ 6 + ， ∈ ，
( ) [ 所以 的单调递增区间为 3 + ,

6 + ]， ∈ ．
(3)由题意 ( ) = sin(2 + 6 ) = cos(

3 2 )
1 tan2( )
= 2( 6 ) =
6
1+tan2( ，6 )
又 tan( 6 ) =
1
2，
所以 ( ) = 35，
又 5 ( ) = 6 ( )，
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则 ( ) = 12，
即 sin(2 + 6 ) =
1
2，
又 ∈ (0, )，
即 2 + 13 6 ∈ ( 6 , 6 )，
所以 2 + 6 =
5
6，
即 = 3，

故 的值为3．
18.(1)因为 2 = ，
2+ 2 2 2 2 2
由余弦定理可得 × 2 + ×
+
2 = 2，解得 = 2．
又因为 = 2 ，所以 = 2 = 2，所以 = 1．
(2)由(1)可知： = 2， = 1，且 = 2，
2 = +
2 2 1
由余弦定理得 2 = 4，
且 ∈ (0, )，可得 = 154 ，
所以△ 的面积 = 12 =
15
4 ．
(3)由(1)可知： = 2， = 1，
由余弦定理可得 = 2 + 2 2 = 5 4 ，
且△ 为锐角三角形，
4 < 1 + (5 4 ) 1
则 ，解得 0 < < ，
5 4 < 4 + 1 2
因为 2 = 1 2，可得 = + 3 3
则
2 1 2 2= 9 (
+ 4 + 4 ) = 1 (17 + 8 ) ∈ ( 17 , 79 9 3 )，
可得| | = 13 17 + 8 ∈ (
17 21
3 , 3 )．
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19.(1)证明：如图所示，连接 1，交 1 于 ，连接 ，
∵ 1 1 1 1是正方体，∴ 1 1是正方形，∴ 为 1 的中点，
又∵ 为 的中点，则 // 1，∵ 平面 1 ， 1 平面 1 ，
∴ 1//平面 1 ；
(2)如图所示，过 作 ⊥ 交 的延长线于 ，连结 1 ，
∵ 1 ⊥平面 ，∴ 是 1 在平面 内的射影，
∵ 平面 ，∴ 1 ⊥ ，∵ 1 ∩ = ，
∴ ⊥平面 1 ，∵ 1 平面 1 ，∴ 1 ⊥ ，
∴ ∠ 1 为二面角 1 的平面角．
设正方体的棱长为 1．
∵ 是 的中点，且 // ，
1
则在直角△ 中， = 2， = 1，
= 52 ， =
1
= 5，tan∠ 1 =
1
= 5，
∴二面角 1 的正切值为 5．
(3)如图所示，设 为 的中点，连接 交 于 ，
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设 = ， = ，
∵ = = 2， = = 1，∠ = ∠ = 2，
∴△ ≌△ ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 2，即∠ =

2，∴ ⊥ ，
又∵ 1 ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ 1 ，
又∵ ∩ 1 = ，∴ ⊥平面 1 ，
∵ 平面 1 ，∴ ⊥ ，
又∵ ⊥平面 ，∴ 就是三棱锥 的高，
1 1 1
∴ = 3 × △ × = 3 × 2 × × ×
= 1 × 22 + 116 × × =
5
6 ，
∵ = 4 55 ，且
2 = 2 + 2，
∴ 2 + 2 = ( 4 5 )25 =
16
5，
2 2
则 ≤ + 2 =
1 16 8
2 × 5 = 5，
即 =
5
6 ≤
4 5
15 ，
∵ 1 1 4 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 3，
∴ 4 4 5 20 4 5 = ≥ 3 15 = 15 ，
=
16 = = 2 10当且仅当 2 + 2 = ，即 5 时取等号，5
4 1
此时 = 3 = 3 × △ × =
1
3 ×
1
2 × × ×
= 1 × 13 2 × 5 ×
2 10
5 × ，
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解得 = 2 2，即 1 = 2．
20 4 5
即三棱锥 的体积的最小值为 15 ．
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