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2024-2025 学年湖南省多校联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ∈ ，则“ > 2”是“ > 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知向量 与 1的夹角为6，且| | = 2 , |
| = 3，则| 3 | =( )
A. 91 91 91 914 B. 2 C. 2 D. 4
3.已知 ， 是两条不重合的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是( )
A.若 // ， ⊥ ，则 ⊥ B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 // ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 // ， // ，则 //

4.已知一组样本数据 1， 2，…， 7( 1 < 2 < … < 7)的平均数为 ，方差为 2，则( )

A. 6 1 + 1，6 2 + 1，…，6 7 + 1 的平均数为 6
B. 2 1 + 1，2 2 + 1，…，2 7 + 1 的方差为 2
C. 4 1 + 1，4 2 + 1，…，4 7 + 1 的 25%分位数为 4 2 + 1
D. 3 1 + 1，3 2 + 1，…，3 7 + 1 的极差为 7 1
5 2 .将函数 ( ) = cos(2 + 3 )的图象向右平移 ( > 0)个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则
的最小值为( )
A. B. C. D. 7 12 6 3 12
6 3 1.甲、乙两人组成“星队”参加必修二数学知识竞答.已知甲每次答对的概率为4，乙每次答对的概率为4在
每次答题中，甲和乙答对与否互不影响.两人约定如下：每次由一人答题，若答对，下一次由另一人答题；
若答错，则继续答题.约定甲先答题，则前 4 次中甲恰好答题 3 次的概率为( )
A. 1 14 B. 8 C.
3
32 D.
9
64
7 2 .已知正方形 的边长为 4，将△ 沿对角线 翻折，使二面角 为 3，则平面 截三棱
锥 的外接球所得截面的面积为( )
A. 16 B. 32 3 5 C. 8 D. 9
8.定义在 上的函数 ( )满足 (1 + ) = (1 )，且 ( + 2)为奇函数，已知当 0 ≤ ≤ 1 时， ( ) = 1，
则下列结论错误的是( )
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A. ( + 4) = ( ) B. ( )在区间[9,11]上单调递减
C. ( 1 ) < ( 7 ) D. 20253 4 =1 ( ) = 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )

A.若 与 是互斥事件，则 与 也是互斥事件
B.若事件 、 满足 ( ) + ( ) = 1，则 与 是对立事件
C.若 与 是互斥事件，则 ( + ) = ( ) + ( )

D.若 ( ) = 0.8， ( ) = 0.6， 与 相互独立，则 ( ) = 0.32
10 .已知复数 满足1+ = 3 + 4 ，则下列结论正确的是( )
A. 的虚部为 7
B. | | = 5 2

C. 的共轭复数 在复平面内对应的点位于第三象限
D.若复数 满足| + 1| = 1，则| |的最大值为 8
11.如图，在直三棱柱 1 1 1中， = 1 = 2 5， = = 3，点
是线段 1 的中点，点 是棱 1上的动点，则( )
A. ⊥
B.存在点 ，使得 //平面
C.三棱锥 的体积为 3
D. + 的最小值是 30
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知一个圆台形容器的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 3，装满水后再全部倒入一个底面半径
为 2，高为 3 的圆柱形容器中，则水深为______．
2 + 2 3, ≤ 0,
13 3 3.已知函数 ( ) = 1 , > 0, 若关于 的方程[ ( )]
2 + ( 2 ) ( ) 2 = 0 恰有 5 个不同的实
2
根，则实数 的取值范围是______．
14.如图，在棱长为 3 的正方体 1 1 1 1中， 为棱 1上一点，满足
= 1， 为正方形 1 1 内一动点(含边界)，且满足 1 //平面 1 ，则线
段 1 长度的取值范围为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且( )( + ) = ( 3 ) ．
(1)求 的大小；
(2)若 = 7且△ 的面积为 3，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
2025 年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路
攀升，于 2025 年 2 月 6 日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至 2025 年 5 月 5 日，总票房(含
港澳台和海外票房)已超 158.24 亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影.某
影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了 100 名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直
方图．
(Ⅰ)求频率分布直方图中 的值与样本中年龄的第 85 百分位数．
(Ⅱ)从样本中年龄为[30,40)，[40,50)，[50,60)的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取 10 人，则
年龄在[40,50)中的观众应抽取多少人？
(Ⅲ)若样本中年龄在[0,10)的观众年龄的平均数是 6，方差是 2，年龄在[50,60)的观众年龄的平均数是 57，

方差是 5，求这两组样本总的平均数 和方差 2．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = log ( + 1) + ( > 0 ≠ 1 ∈ ) (0,
1 ), (1, 5且 ， 的图象经过点 2 4 2 )．
(Ⅰ)求 ( )的解析式；
(Ⅱ)若函数 = ( ) + 有且只有一个零点，求实数 的值．
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18.(本小题 17 分)
如图，四棱锥 的底面是矩形， ⊥平面 ， 为棱 的中点，且 ⊥ ， = 3，直线
与平面 所成的角为 45°．
(Ⅰ)证明： ⊥ ．
(Ⅱ) 在棱 上是否存在一点 ，使得直线 //平面 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由．
(Ⅲ)求直线 与平面 所成角的正切值．
19.(本小题 17 分)
圆内接四边形有诸多良好的性质，其中托勒密定理极其优美，即在圆内接四边形 中， +
= ，试利用该定理解决下列问题：
(Ⅰ)设正三角形 内接于圆 ，点 在劣弧 上(不与点 ， 重合)，证明： = + ．
(Ⅱ) + + + 在圆内接四边形 中， = ， = ， = ， = ， = 2 ，证明：
( ) 2 = ( + )( + ) + ；
( )四边形 的面积 = ( )( )( )( )．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.74
13.( 4, 3]
14.[ 11, 13]
15.(1)根据( )( + ) = ( 3 ) ，
由正弦定理得( )( + ) = ( 3 ) ，整理得 2 + 2 2 = 3 ，
2 2 2
根据余弦定理得 = + = 32 2 ，结合 ∈ (0, )

，可得 = 6；
(2) 1 1由 △ = 2 = 4 = 3，解得 = 4 3，
根据余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 2 (1 + ) = 7，
即( + )2 8 3(1 + 32 ) = 7，可得( + )
2 = 19 + 8 3 = (4 + 3)2，
所以 + = 4 + 3，可得△ 的周长 + + = 4 + 3 + 7．
16.(Ⅰ)根据频率分布直方图的性质可知，10 × (0.010 + + 0.022 + 0.025 + 0.020 + 0.005) = 1，解得 =
0.018，
由频率分布直方图可知[0,40)的频率为 0.75，而[40,50)的频率为 0.2，
所以第 85 百分位数在区间[40,50)内，设第 85 百分位数为 ，
则 0.75 + 0.02( 40) = 0.85，解得 = 45，
所以第 85 百分位数为 45；
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(Ⅱ)由频率分布直方图可知年龄为[30,40)，[40,50)，[50,60)的三组观众频率之比为：5：4：1，
所以按比例用分层随机抽样的方法抽取 10 人，则年龄在[40,50)中的观众应抽取 4 人；
(Ⅲ)由频率分布直方图可知[0,10)的频率为 0.1，[50,60)的频率为 0.05，

所以 = 6 × 0.10.1+0.05 + 57 ×
0.05
0.1+0.05 = 23，
2 = 0.1 2 0.05 20.1+0.05 × [2 + (6 23) ] + 0.1+0.05 [5 + (57 23) ] = 581．
17.(Ⅰ) ( ) 2 = 1 , ( + 1) + = 5 = 4 = 1把点代入 解析式可得： 2 4 2，解得 ， 2，
故 ( )的解析式为 4(4 + 1)
1
2 ．
(Ⅱ)函数 = ( ) + 有且只有一个零点 方程 ( ) = 有且只有一个零点，

因为 ( ) = 4(4 + 1)
1 4 +1
2 = 4 2 = 4(2 + 2 ) = ( )，且 ( )的定义域为 ，所以 ( )为偶
函数，
由2 + 2 ≥ 2 可得 ( ) = (0) =
1 1
2，因此 = 2．
18.(Ⅰ)证明：由 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ；
(Ⅱ) 1存在点 为 中点时， //平面 ，即 = 2，
证明如下：
取 的中点 ，连接 ，取 的中点为 ，连接 ， ，
所以 // , = 12 ，又点 为 中点，
1
所以 // , = 2 ，
所以 // ， = ，所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(Ⅲ)连接 ，由 ⊥平面 ，
所以∠ 为直线 与平面 所成的角，
所以∠ = 45°，
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在 △ 中， = = 3，
1
所以 2 + ( 2 )
2 = 9，①
因为 ⊥ ，所以∠ = ∠ ，
1
所以2 = ②，
由①②得 = 6, = 2 3，
所以 = 3 2, = 3 3，
设点 到平面 的距离为 ，
在△ 中， = 2 + 2 = 21, = 3, = 3 2，
2
所以 cos∠ = +
2 2
2 =
2 21，
21
因为∠ ∈ (0, )，
所以 sin∠ = 1 4 = 357，21 21
所以 1 1△ = 2 ∠ = 2 × 21 × 3 ×
357 = 3 17，21 2
△ =
1
2 =
1
2 × 6 × 3 =
3 3，
2
因为 = ，
所以1 × 3 3 × 3 = 1 × 3 17 ，3 2 3 2
得 = 3 34，17
设直线 与平面 所成角为 ，
3 34
则 = = 17 = 102， 3 3 51
因为 ∈ [0, 2 ]，
所以 = 1 ( 10251 )
2 = 7 51，51
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所以 = 2，cos = 7
所以直线 与平面 所成角的正切值为 2．
7
19.证明：(Ⅰ)由托勒密定理可知： + = ，
因为正三角形 内接于圆 ，即 = = ，
即 = + 成立；
(Ⅱ)( )证明：由圆的内接四边形可得：∠ + ∠ = ，
由余弦定理及诱导公式可得：cos∠ + cos∠ = 0，
2+ 2 2 2+ 2 2
即 2 + 2 = 0，
= + + + ， = ， = ， = ， = 2 ，
2+ 2 2 2+ 2 2
即 2 + 2 = 0，
2 = ( + )( + )整理可得： + ；
2 ( + )( + )
( ) +
2 2 2+ 2
由余弦定理可得：cos∠ = 2 =
+
2
2+ 2=
2 2
2( + ) ，
2 2 2 2
则 sin∠ = 1 cos2∠ = 1 [ + 22( + ) ]
( + + )( + + )( + + )( + + )
= 4( + )2
= 4( )( )( )( ) = 2 ( )( )( )( )( + )2 + ，
所以 = 1 12 ∠ + 2 ∠ =
1
2 ( + )sin∠
1 2 ( )( )( )( )
= 2 ( + ) +
= ( )( )( )( )．
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