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长郡斑马湖中学2024-2025学年度高二下学期期末考试 数学
一、单选题（8*5=40）
1．已知复数满足，则的虚部为-3，则的实部为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．5
2．已知集合，则集合的子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
3．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．“”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．定义在上的奇函数满足，.当时，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
6．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.6~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.7 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
7．已知点A是圆：上一点，点B在直线l：上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
8．已知正实数满足，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（3*6=18）
9．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则下列正确的是（ ）
A．直线与是异面直线 B．直线与是平行直线
C．∥平面 D．平面
10．设抛物线的焦点为，准线为为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则（ ）
A． B．是等边三角形
C．的面积为 D．抛物线的方程为
11．已知数列各项均为正数，其前项和满足．则下列结论正确的有（ ）
A．的第2项小于 B．
C．为递减数列 D．中存在小于的项．
三、填空题（3*5=15）
12．将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是 .
13．若直线与曲线相切，则 ．
14．有个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交叉，例如时，一共有4个人，以、、、表示，握手两人用一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有对相邻的两人握手，当时，的数学期望 .
四、解答题（13+15+15+17+17=77）
15．（13分）近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为.
(1)随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表：
成年男性 成年女性 合计
养宠物 38 60 98
不养宠物 62 40 102
合计 100 100 200
依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关
(2)记2018-2023年的年份代码x依次为中国宠物经济产业年规模为y（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y，关于x的回归方程为，且. 求相关系数r并判断该回归方程是否有价值.
参考公式及数据：，其中.
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
回归方程其中，相关系数；若， 则认为y与x有较强的相关性. 其中 .
16．（15分）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若二面角大小为，求的长．
18．（17分）已知点在椭圆上，且点Q到C的两焦点的距离之和为．
（1）求C的方程；
（2）设圆上任意一点P处的切线l交C于点M，N，求的最小值．
19（17分）已知是无穷数列，，设.其中表示中的最大值，表示中的最小值.定义.
(1)若，求的值；
(2)已知为正数，求证：“”为“是公差为的等差数列”的充要条件；
(3)设各项均为整数，，且.若为正整数，，总有，判断是否存在最大值.若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由.
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长郡斑马湖中学2024-2025学年度高二下学期期末考试数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B A D A C A AC ABD
题号 11 12 13 14
答案 ACD 1
4．A【详解】若函数的图象关于对称，
则，解得，
因为是的真子集，
所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.
5．D【详解】由，得，即，
因为为奇函数，所以，
所以，所以
所以的周期，所以.
因为为上的奇函数，所以，
因为当时，，所以，
由，当时，
所以.
6．A【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，
∴，船行风速：，
∴，，
∴由表得，真风风速为轻风，
7．C
【详解】解：如图，
圆：的圆心到直线l：的距离．的最小值为．
8．A
【分析】由题意构造函数，结合指数函数单调性以及定点画出函数图象即可得解.
【详解】由题意，
所以令，
所以问题等价于比较的图象分别与的图象三个交点横坐标的大小关系，
而均过点，
则由指数函数单调性可知，的图象分别与的图象三个交点横坐标如图所示：
则.
10．ABD【详解】设准线与轴交于点，如图，
抛物线定义知，又，所以为正三角形，故B正确；
由面积为知边长，故A正确；
则由直角三角形可得，
所以抛物线的方程为，故D正确；
面积为，故C错误.
11．ACD【详解】对于A，当时，，所以，因为数列各项均为正数，解得，
当时，，所以，所以，
解得，
因为数列各项均为正数，故，故A正确；
对于B，由，得，当时，可得，
两式相减得，所以，所以，
解得，
因为数列各项均为正数，所以，
又，由选项可得：显然无意义，故B错误；
对于C，因为，则得，
所以为递减数列，故C正确；
对于D，假设对，都有，则，
所以，与已知矛盾，即假设不成立，
所以数列中存在小于的项，故D正确．
12．1【详解】的图象向左平移个单位，
得到函数，
因为为奇函数，所以，解得，
又，故当时，取得最小值，最小值为1.
故答案为：1
13．【详解】依题意，设切点为，则，
由，求导得，于是，解得，
从而，则.
14．【详解】当时，按顺时针方向把人标记为，，，，，，用表示和握手.
若1和2握手，共有两种方法：，和，
若1和6握手，共有两种方法：，和，
若1和4握手，共有1种方法：，，所以一共有5种方法。
当时，
若1和2握手，剩下6个人，情况同，共5种方法，
若1和8握手，剩下6个人，情况同，共5种方法，
若1和4握手，则2和3握手，5，6，7，8之间握手情况同，一共2种，从而种方法；
若1和6握手，由对称性，情况同1和4握手，共2种方法；
所以，一共有种方法.
其中，共2种方法使得（相邻两人按顺时针或逆时针方向依次握手），
共4种方法使得（类似，，，等），
共8种方法使得（类似，，，等），
的分布列如下：
2 3 4
故.
15．（1）零假设为：认为养宠物与性别无关； （1分）
， （4分）
依据小概率值的独立性检验，可以认为养宠物与性别有关. （5分）
（2）由的取值依次为得， （7分）
回归方程为，
， （9分）
， （10分）
， （12分）
,与有较强的相关性，该回归方程有价值. （13分）
16．（1）由题意得，
由正弦定理得，即， （2分）
由余弦定理得， （3分）
因为，所以. （4分）
（2）由题意得，
则，得，
即，
得，等号成立时， （7分）
的面积为，则的面积取得最大值. （9分）
（3）由正弦定理，得，，
所以
， （11分）
因为为锐角三角形，所以，得， （12分）
则，，所以， （14分）
故周长的取值范围为. （15分）
17．（1）证明：∵，，为的中点，
∴四边形为平行四边形，∴
∵，∴，即
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∵平面
∴平面平面 （5分）
（2）∵，为的中点，∴
∵平面平面，且平面平面，平面，
∴平面
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
∵是的中点，∴
，
设异面直线与所成角为，
，
∴异面直线与所成角的余弦值为． （10分）
（3）解：由（2）知平面的法向量为，
设，且，从而有，
又，设平面法向量为，
由及
，可取．
∵二面角为，∴，∴，∴． （15分）
18．（1）由题意，，又在椭圆上，所以，，
椭圆方程为． （3分）
（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，
把代入椭圆方程得，即，，
，所以，同理，代入也可得； （6分）
当直线斜率存在时，设直线方程为，，
由得，(*)
由得，则，
,
由(*)得，所以， （9分）
综上，， （10分）
设，则，，，
因为在椭圆上，
所以，，同理，
，
，所以时，取得最大值， （16分）
所以取得最小值． （17分）
19．（1）；
，；
； （4分）
（2）充分性.若是公差为的等差数列，由为正数知递增，故，
所以.充分性得证. （6分）
必要性.假设，要证明是公差为的等差数列.
先证明递增，证明如下：
因为，注意到，
所以对任意成立.因此递增.
由递增得，所以，
即.所以是公差为的等差数列.必要性得证. （10分）
（3）由条件，.
①中没有最小值.否则，假设中最小的项为，则，，矛盾.
②定义数列如下：.由于中没有最小值，数列是无穷数列.
③对任意的正整数.否则，若有，则
，矛盾！
④假设总有，则.否则，若，则全为非负数.另一方面，.，所以，矛盾！
⑤构造：定义数列如下：
可验证：.
综上，的最大值为2047. （17分）
答案第1页，共2页

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