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甘肃省兰州市第五十八中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题
一.选择题（每小题5分，共8小题）
1. 复数，其中虚数单位，则（ ）
A 25 B. 3 C. 5 D.
2. 如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，，， D. ，，，
3. 下列三角恒等变换错误的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在中，为线段AB上的一点，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（ ）
A. 1 B. C. D.
7. 如图，为了测量某铁塔高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ）
A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米
8. 已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二.多选题（每小题6分，共3小题）
9. 已知i为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是（ ）
A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
10. 在中，，，所对的边分别是，，，，，则（ ）
A. 若，则角有一个解
B. 若，则边上的高为
C. 的周长不可能为
D. 若为锐角三角形，则面积的最值范围为
11. 如图，正方体中E，F，G分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与所成角的余弦值为
B. 直线与平面平行
C. 点C与点G到平面距离相等
D. 平面截正方体所得大小两部分的体积比为
三.填空题（每小题5分，共3小题）
12. 已知，点，则向量在方向上的投影为________．
（教材习题改编）
13. 如图，平面，点为垂足，平面若，则_____________.
（教材习题改编）
14. 棱长为2正方体中，为棱CD的中点，过点作平面，使得平面平面，则平面在正方体表面上截得的图形的周长为_____________.
四.解答题（共5小题）
15. 已知：.
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求.
16. 如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
求证：（1）BE∥平面DMF；
（2）平面BDE∥平面MNG.
17. 如图，在三棱锥中，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的正弦值．
18. 设三个内角所对的边分别为．已知，且．
（1）求角的大小；
（2）如图，是延长线上的一点，在的外角内取一点，使得．过点分别作直线的垂线，垂足分别是．设，求的最大值及此时的取值．
19. 如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2，
（1）证明：；
（2）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；
（3）在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
甘肃省兰州市第五十八中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题
一.选择题（每小题5分，共8小题）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
二.多选题（每小题6分，共3小题）
【9题答案】
【答案】ABC
【10题答案】
【答案】BD
【11题答案】
【答案】ABD
三.填空题（每小题5分，共3小题）
【12题答案】
【答案】
（教材习题改编）
【13题答案】
【答案】
（教材习题改编）
【14题答案】
【答案】
四.解答题（共5小题）
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2），
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，

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