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5.3 一元一次方程的应用
一、单选题
1．（2025七上·岳阳期末）《孙子算经》中记载了这样一道题，原文是：今有三人共车．二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九下·龙泉驿月考）明代的数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之少四两，五两分之多半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有两银子，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七上·即墨月考）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．何人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出八钱，则多了三钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？设共有人，根据题意可列出方程为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024六上·海阳期末）海阳市地雷战景区是我国北方最大的红色旅游区，被评为“青少年教育基地”．某夏令营组织学员前往该景区参观，若包租相同的大巴7辆，将有14人没有座位；如果多包租1辆，将有26个空位，则学生的总人数为（　　）
A．306人 B．302人 C．296人 D．294人
5．（2022七上·保定期末）如图，将正方形（如图1）作如下操作：第1次，分别连接对边的中点，得到5个正方形（如图2）；第2次，将图2中左上角的正方形按上述方法得到9个正方形（如图3）；…；以此类推，若要得到2021个正方形，则需要操作的次数是（　　）
A．505 B．506 C．507 D．508
6．（2020七上·阳高月考）如图，学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，设安排 名工人生产桌面，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．300
C． D．
7．（2024七上·管城期末）幻方是一种中国传统数学游戏，将9个数填在（三行三列）的方格中，每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，这个相等的和就叫做幻和．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你推算出图的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2020七上·兴庆期末）王强同学在画数轴时只标了单位长度（一格表示单位长度为 ）和正方向，而忘了标上原点（如图）.若点 和点 表示的两个数的绝对值相等，则点 表示的数是（　　）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
9．（2023七下·二道期末）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问客人有几人？设客人有x人，则可列方程为（　　）
A．7x+4＝9x-8 B．7x-4＝9x+8 C． D．
10．（2022七下·龙岗月考）某超市为了回馈顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物付款合并一次性付款可节省（　　）
A．18元 B．16元 C．18或46.8元 D．46.8元
二、填空题
11．（2023七上·岳阳月考）一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大2，如果把十位数字和个位数子对调得到的新两位数比原两位数小27，设原数的个位数为x，则列方程为　 　．
12．（2024六上·肥城期末）今年父亲的年龄是儿子的5倍，5年前父亲的年龄是儿子的15倍，设今年儿子的年龄为，可得方程　 　．
13． 甲班有50人，乙班有46人，现从甲班抽调x人到乙班，使甲、乙两班人数相等，则可列方程为　 　
14．（2024七下·儋州期末）移动公司提供的通讯服务的收费标准有两种套餐，如表：
　 A套餐 B套餐
每月基本服务费（元） 20 30
每月免费通话时间（分） 100 150
每月超过免费通话时间加收通话费（元/分） 0.4 0.5
已知大壮选用了A套餐．
（1）若大壮的通话时间为140分钟，则他应付话费 　 　元．
（2）大壮本月改用了B套餐，他发现如果与上月交相同的话费，本月可以多通话10分钟（本月通话时间大于150分钟），大壮上个月交了话费 　 　元．
15．（2018·深圳模拟）“红星”商场对商品进行清仓处理，全场商品一律八折，小亮在该商场购买了一双运动鞋，比按原价购买该鞋节省了16元，他购买该鞋实际用　 　元．
16．（2023七上·青山湖月考）如图，在一条直线上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为2个单位长度，点C到点B的距离为7个单位长度，动点M在直线上从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点C移动，到达点C后停止移动；动点N在直线上从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到达点C后停止移动；动点M，N同时出发，t秒后M，N两点间距离是1，则　 　．
三、计算题
17．（2024六上·烟台月考）阅读下面的材料：我们知道，在数轴上，|a|表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，|a﹣2|表示有理数a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，|5﹣2|＝3，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．
请根据上面的材料解答下列问题：
（1）请用上面的方法计算数轴上有理数﹣9对应的点到有理数3对应的点的距离；
（2）填空：|a﹣1|表示与理数a对应的点与有理数　　　　对应的点的距离；如果|a﹣1|＝3，那么有理数a的值是　　　　；
（3）填空：如果|a﹣1|＋|a﹣6|＝7，那么有理数a的值是　　　　．
（4）是否存在有理数a，使等式|a﹣1|＋|a﹣6|的结果等于4？如果存在，请直接写出a的值；如果不存在，请说明原因．
18．（2025七下·衡东期中）某中学七年级（1）班4名老师决定带领本班m名学生去某革命胜地参观，该革命胜地每张门票的票价为30元，现有A、B两种购票方案可供选择：
方案A：教师全价，学生半价；
方案B：不分教师与学生，全部六折优惠；
（1）若按方案A购票，需付款___元（用含m的代数式表示）；若按方案B购票，需付款_____元（用含m的代数式表示）；
（2）当学生人数m为何值时，选择两种方案的费用相同？
（3）当学生人数时，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠？
19．（2023七上·大冶期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收贵的价目表如下(注：水费按月份结算，表示立方米)
价目表
每月用水量 价格
不超过的部分
超出不超出的部分
超出的部分
某户居民1月份和2月份的用水量分别为和，则应收水费分别是 元和 元
若该户居民月份用水量(其中)，则应收水费多少元 (用含的式子表示，并化简)
若该户居民两个月共用水 (月份用水量超过月份)，设月份用水，求该户居民两个月共交水费多少元 (用含 的式子表示，并化简)
四、解答题
20．（2023七下·丰泽期末）如图，在长方形中，，，，点在边上，且，动点从点出发，以1个单位秒的速度沿路径运动，同时动点从点出发，以同样的速度沿方向运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒．
（1）当点在边上运动时，若图中阴影部分面积为，求的值；
（2）在点、运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（2023七上·东阳期中）数轴上有A、B两点，分别对应的数为a，b，已知与互为相反数．点为数轴上一动点，对应的数为x．
（1）若点P到点A和点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A和点B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点P到点A、点B的距离相等？
22．（2024七上·无锡期中）学习了数轴以后，小红、小军和小明对数轴上的点产生了浓厚的兴趣，他们设计了一个“和美比”的特殊运算：小红先在数轴上取一个点A，小军再在数轴上取一个点B（点A、点B与原点O互不重合），小明计算出关于点A和点B的“和美比”，例如：小红取的点A表示的数为，小军取的点B表示的数为3，则，小明计算出关于点A和点B的“和美比”．
（1）若小红取的点表示的数为2，小军取的点表示的数为1，小明计算的“和美比”______；
（2）若小红取的点表示的数为6，小军取的点表示的数为，小明计算的“和美比”，则______；
（3）若小红取点A，小军取点B，已知，点P表示的数为且，那么小明计算的“和美比”______；
（4）若第一次小红取的点A表示的数为，小军取的点B表示的数为，小明通过计算得出了的值；第二次小红取了点A关于原点O的对称点，小军取的点表示的数为4，小明计算得出了的值；通过计算发现，请你直接写出满足的关系式：______．
23．（2024七上·义乌月考）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为，十位数字与个位数字的和为，那么我们把这样的数称为“五颜六色数”．例如：的千位数字与百位数字的和为：，十位数字与个位数字的和为：，所以是一个“五颜六色数”；的十位数字与个位数字的和为：，所以不是一个“五颜六色数”．
（1）判断______“五颜六色数”， ______“五颜六色数”（填“是”或“不是”）；
（2）若一个“五颜六色数”表示成，其中、、、分别是其千位数、百位数、十位数和个位数字，交换其百位数字和十位数字得到新数．
①若，试求的值．
②若也是五颜六色数，关于的方程的所有整数解分别为，，…，，试求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元一次方程的其他应用
2．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
3．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
4．【答案】D
【知识点】一元一次方程的其他应用
5．【答案】A
【知识点】一元一次方程的其他应用；探索图形规律
6．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
7．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
8．【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的其他应用
9．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
10．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
11．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
12．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
13．【答案】50-x=46+x
【知识点】一元一次方程的实际应用-调配问题
14．【答案】36；60
【知识点】一元一次方程的其他应用
15．【答案】64
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
16．【答案】1或3或6
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
17．【答案】（1）12；（2）1，4或﹣2；（3）0或7；（4）不存在，因为此等式表示数轴上有理数a所在点到有理数1和6所在点的距离之和，距离之和最小为5，因此不存在满足题意的有理数a．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
18．【答案】（1）；
（2）
（3）方案A
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题；求代数式的值-直接代入求值
19．【答案】（1）10，20；
（2）由依题意得：6×2＋（a-6）×4＝4a-12（元）
答：应收水费（4a-12）元；
（3）当0＜x≤4时，
该户居民4、5两个月共缴水费＝2x＋12＋4×4＋6（14－x－10）＝52－4x；
当4＜x≤6时，
该户居民4、5两个月共缴水费＝2x＋12＋4×（14－x－6）＝-2x＋44；
当6＜x＜7时，
该户居民4、5两个月共缴水费＝12＋4（x－6）＋12＋4×（14－x－6）＝32．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
20．【答案】（1）；
（2）存在，x的值为或3．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
21．【答案】（1）2
（2）存在，或7
（3）或
【知识点】一元一次方程的其他应用；绝对值的非负性；数轴上两点之间的距离
22．【答案】（1）
（2）或1
（3）或或或
（4）或
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
23．【答案】（1）是；不是
（2）①；②
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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