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广东省深圳市坪山区2025年初三二模数学试卷
1．（2025·坪山模拟）深圳地铁14号线及16号线开通后，极大方便了坪山人民的日常出行．下列地铁图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A，既不是轴对称图形、也不是中心对称图形；
选项B，不是轴对称图形、是中心对称图形；
选项C，既是轴对称图形、也是中心对称图形；
选项D，不是轴对称图形、是中心对称图形；
因此是轴对称图形的只有C选项。
故答案为：C.
【分析】本题主要考查轴对称图形的定义和特点以及与中心对称图形的区别。
存在至少一条直线，使得图形沿该直线折叠后两部分完全重合的图形是轴对称图形。而在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，该图形是中心对称图形。四个图形，B和D是中心对称图形，而C既是轴对称图形、也是中心对称图形，并且对称轴有横竖两条直线。
2．（2025·坪山模拟）深圳坪山某车企第1000万辆新能源汽车下线，成为全球首家达成这一成就的车企，这既是坪山产业发展的高光时刻，也是深圳汽车工业发展史上新的里程碑．将1000万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1000万=10000000=1×107
故答案为：D.
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方式。科学记数法的标准形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数。本题首先将1000万展开转换为数字形式，然后确定a=1，1后面有7个0，因此n=7，代入即可表示出来。
3．（2025·坪山模拟）下列运算中结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，，正确；
B选项，，错误；
C选项，，错误；
D选项，，错误。
故答案为：A.
【分析】 本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘除法以及单项式乘方等运算规则。
选项B和C，利用“同底数幂相乘除、底数不变、指数相加减”进行计算即可，选项A和D，利用“单项式的幂运算，等于把单项式中的每个项都进行幂运算，然后相乘”，据此计算即可得出正确答案。
4．（2025·坪山模拟）甲、乙、丙、丁四家配餐公司提供的卤鸡腿的质量平均数与方差如下表所示，若要选择鸡腿质量更大且出品更加稳定的配餐公司，则应选择的公司是（　　）
甲 乙 丙 丁
平均质量（克） 120 120 110 110
方差 18.2 4.9 20.1 12.7
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：比较平均质量，则甲=乙＞丙＝丁；比较方差，则丙＞甲＞丁＞乙，
其中平均质量最大的是甲和乙，方差最小的是乙。
因此乙公司提供的卤鸡腿质量更大且出品更加稳定。
故答案为：B.
【分析】本题首先从数据中对比平均质量，找出最大的平均质量对应的公司；然后找出方差最小的数据对应的公司，因为方差小的表明更加稳定，即可选出对应的公司。
5．（2025·坪山模拟）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：延长DC到F点，连接AF，使得∠F=90°，如图，
∵AB∥CD，∴∠A=180°-∠F=90°，
而五边形ABEDF是五边形，内角和为，
∴∠BED=540°-∠A-∠F-∠ABE-∠CDE=540°-90°-90°-135°-145°=80°。
故答案为：C.
【分析】本题主要考查平行线的性质以及多边形内角和的计算公式。
首先将该图形构造成一个五边形，且∠F是直角，因此利用“两直线平行、同旁内角互补”即可求出∠A也是直角，然后利用多边形内角和计算公式（n-2）×180°计算出五边形的内角，最后作差即可求出∠BED的度数。
6．（2025·坪山模拟）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒．水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米／秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（　　）
A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：函数关系式 ，
当t=时，h为最大值20×2-5×22=20米。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查抛物线函数的最值问题。函数关系式，因为a=-5＜0，因此该函数开口向下，所以在对称轴处，该函数取得最大值。因此可以直接利用公式x=进行计算，其中a=-5，b=20，代入计算即可。
7．（2025·坪山模拟）在“书香随行，快乐过年”的寒假阅读活动中，小明每天实际阅读的页数比原计划多了30页，因此实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同．设小明每天原计划读的页数为x页，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据条件，小明每天原计划读的页数为x页，则每天实际阅读（x+30）页，
因此列式
故答案为：B.
【分析】本题找到等量关系列出方程等式即可。首先根据条件，小明每天原计划读的页数为x页，而“ 小明每天实际阅读的页数比原计划多了30页 ”，则每天实际阅读（x+30）页，这样实际阅读需要天，计划阅读需要天，而“ 实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同 ”，此时即可列出方程等式。
8．（2025·坪山模拟）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；逻辑推理
【解析】【解答】解：令，则，
即，
∴
即
∴
故答案为：A.
【分析】观察需要计算式子发现，该式子为首项是1、公比为3的等比数列前2025项的和，而笔记过程中是首项是1、公比为2的等比数列前2025项的和。笔记中令原式为S，并且乘以的是公比2得到2S，然后作差；因此本题也可以令原式为S，然后乘以公比3得到3S，最后作差计算即可求出S的值。
9．（2025·坪山模拟）因式分解： 　 　．
【答案】a(a-1)(a+1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）
【分析】观察多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
10．（2025·坪山模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根 ，
∴，
解得c=.
故答案为：.
【分析】由方程根情况直接利用判别式求出c即可.
11．（2025·坪山模拟）为了方便学生在校午休，某学校购入了一批可调节椅背且配备可折叠脚踏板的桌椅．若午休时椅背与椅座间的倾斜角达到，脚踏板DF拉起后与椅座BD在一条直线上，测量得到，则使用该椅子午休时BD方向的占地长度为　 　cm．
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—其他类型
【解析】【解答】解：延长DB到A''，且A'A''⊥A''B，垂足为A''，
∴∠A'A''B=90°，
∵∠A'BD=150°，
∴∠A'BA''=180°-150°=30°，
∵AB=A'B=60cm，
∴A'A''=30cm，A''B=cm，
DF=DF'=40cm，
∴A''F'=A''B+BD+DF'=cm，
因此午休时BD方向的占地长度为cm。
故答案为：.
【分析】本题主要考查直角三角形中30度锐角对应的直角边的特点。
画出图可以发现，求的“ 午休时BD方向的占地长度 ”其实就是A''F'的长度，其中BD、DF'已知，只需要求出A''B的长度即可。分析可以发现，直角三角形A'A''B中，∠A'BA''=30°，A'B长度已知，因此可以求出A''B的长度，最后求和即可。
12．（2025·坪山模拟）如图，在反比例函数上有两点和，若在第二象限存在一点，使得四边形OBAC为平行四边形，且平行四边形OBAC的面积为8，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；完全平方式；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接BC，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，如图所示，
则四边形BCED是直角梯形，
∵四边形OBAC是平行四边形，且面积为8，
∴S△OBC =4；
∵点A(1，a)和B(b，1)都在反比例函数 的图象上，代入求出k=a=b，
∴点A坐标为(1，k)，点B坐标为(k，1)。
∴线段OA的中点坐标为(，)，
设点C坐标为(m，n)，
∴线段BC的中点坐标为（，）
∵四边形OBAC是平行四边形，
∴线段OA的中点与线段BC的中点重合，
∴=，=，即m=1-k，n=k-1，
∴点C(1-k，k-1)，
∵CE⊥x轴，BD⊥x轴，
∴CE=k-1，OE=k-1，OD=k，BD=1，
∴DE=OE+OD=k-1+k=2k-1，
S△OCE=OE·CE=(k-1)2，S△OBD=OD·BD=k，
而S梯形BCED=(BD+CE)·DE=(1+k-1)(2k-1)=k(2k-1)，
∵S△OCE+ S△OBD+ S△OBC = S梯形BCED，即(k-1)2+k+4=k(2k-1)，整理得k2=9，解得k=3，k=-3，
∵反比例函数 的图象在第一象限，
所以k> 0，因此k=3.
∴C的坐标为(-2，2).
故答案为：(-2，2).
【分析】本题主要考查反比例函数的性质、平行四边形的性质、面积、完全平方公式的运用等知识。
首先根据图形和条件，利用待定系数付可以得出k=a=b，然后分别求出OA和BC的中点坐标，继而求出C点的坐标。根据平行四边形的面积可以求出S△OBC 的面积，然后放到梯形BCED中，分成三个三角形列出等式并进行化简，即可求出k值，即可求出答案。
13．（2025·坪山模拟）如图，在中，，点在线段CD上且满足与BD交于点，若，则　 　．
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接FC，如图所示，
∵∠EAC=∠DBC，即∠FAC=∠FBC，
∴点A、B、C、F四点共圆，
因此∠AFB=∠ACB=45°，∠BFC=∠BAC =90°，
∴∠DFE=∠AFB=45°，
∴∠CFE=180°-∠BFC-∠DFE=45°=∠DFE，
∴EF平分∠DFC，
∴，
设DF=1，则CF=4，设BF=x，则BD=BC=x+1，
在Rt△BFC中，CF2+BF2=BC2，
即x2+ 42 =(x+ 1)2，解得x=，
∴tan∠DBC=，
故答案为：.
【分析】本题首先利用弧度和角度，确定A、B、C、F四点共圆、AB为直径，然后求出，最后利用勾股定理求出BF的值，即可求出答案。
14．（2025·坪山模拟）
（1）计算：；
（2）在解分式方程时，小亮的解法如下：
第一步：方程两边都乘，得．
第二步：解这个方程，得．
第三步：经检验，为原方程的解．
①在上述解方程过程中，从第 ▲ 步开始错误；
②错误的原因是 ▲ ．
【答案】（1）解：原式
（2）①一；②方程右边的-2这一项漏乘了
【知识点】零指数幂；解分式方程；绝对值的非负性；求余弦值
【解析】【解答】（2）
解：第一步：去分母，方程两边都乘，得；
第二步：去括号，得；
第三步：移项，得；
第四步：合并同类项，得；
第五步：检验，将代入原分式方程，发现原方程的分母为0，因此x=3是原分式方程的增根。
因此，在上述解方程过程中，从第 一 步开始错误；错误的原因是 方程右边的-2这一项漏乘了．
故答案为：（2）①一；②方程右边的-2这一项漏乘了。
【分析】本题主要考查零次幂运算、绝对值的非负性、三角函数值以及解分式方程的步骤等知识。
（1）分别计算出零次幂、去掉绝对值和余弦值，然后进行计算即可；
（2）解分式方程，要严格按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”进行解方程，求出的结果要进行检验，以免产生增根。
15．（2025·坪山模拟）先化简，再求值：，再从中，选一个合适的值作为代入求值．
【答案】解：原式
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题首先利用因式分解以及分式的加法和除法运算规律对原式进行变形化简，然后任选一个数代入计算即可。
16．（2025·坪山模拟）坪山大剧院位于坪山文化聚落，是一个戏剧文化的综合空间、一个先锋戏剧的原创基地、一个品质引领的文化地标．为了加深对于戏剧文化的了解，小坪同学和小山同学准备组织一次到坪山大剧院的观剧活动．他们对同班同学发放了调查问卷，统计同学们最喜欢的戏剧种类，其调查结果如下：
（1）班级总人数为　 　人， 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若小坪和小山所在的年级有800人，估计该年级喜欢舞剧的人数是多少？
（4）坪山大剧院周五，周六和周日将推出同一场音乐剧，假设小坪和小山分别打算去看这场音乐剧，且每一天去看音乐剧的可能性相同，那么在事先没有约好的情况下，小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率是多少？（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）50；144
（2）解：50-12-20-8=10人，因此喜爱话剧的人数有10人。
（3）解：（人）
答：估计该年级喜欢舞剧的人数为128人．
（4）列表如下：
五 六 日
五 （五，五） （五，六） （五，日）
六 （六，五） （六，六） （六，日）
日 （日，五） （日，六） （日，日）
共有9种等可能的结果，其中小坪和小山选择同一日期看音乐剧的结果有（五、五），（六，六），（日，日）共3种，
两人同一日期看音乐剧的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：12÷24%=50人，20÷50×100%×360°=144°
因此班级总人数为50人， 144°。
故答案为：（1）50；144°。
【分析】本题主要考查从统计图找出信息并计算相关数据、绘制统计图以及计算概率等相关知识。
（1）从条形统计图发现，喜爱戏曲的有12人，在右边的统计图发现，喜爱戏曲的人数占比是24%，因此可以倒推出班级总人数；然后计算出音乐剧的占比，因为圆心是360°，因此列式计算即可求出α的值；
（2）根据（1）中班级总人数50人，计算出话剧人数之后，绘图即可；
（3）喜爱舞剧的8人，占50人的百分比计算出来之后，再扩大乘以800人，即可估计出对应的人数；
（4）先列表，然后进行分析，即可计算出小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率值。
17．（2025·坪山模拟）如图，在中，．
（1）请用圆规和没有刻度的直尺作出，使圆心在AC边上，且与AB，BC两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，求的半径长．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：设与AB相切于点，连接PD．则
在中，
设的半径为，在与中，
.
在中，
即
解得
的半径长为
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以B点为圆心、任意长度为半径画弧，分别交AB、BC于两点，然后再以这两点为圆心、大于该两点长度为半径画弧，交于一点之后，连接B点和该点并延长，交AC于P点，P点即为圆心，半径就是PC长度；
（2）先利用勾股定理求出BC的长度，然后利用HL证明△PCB和△PDB全等，即可得出BD的长度，最后放到直角三角形ADP中，利用勾股定理列式即可得出半径的长度。
18．（2025·坪山模拟）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息：
信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人．此前校租用6辆大型客车，4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元．
信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车．
任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？
任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用．
【答案】任务一：解：设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元．根据题意得：
解得
所以一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元．
任务二：解：设租用辆大型客车，租用辆中型客车．根据题意得：
解得
为正整数，所以可以为8或9．
方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车
方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车．
方案一的费用为：（元）
方案二的费用为：（元）
方案一的花费最少，比预算节省200元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组和不等式组的实际应用，并分析选择最优方案。
任务一，结合信息1中的条件，累出二元一次方程组，分别求出x和y的值即可；
任务二，结合任务一的计算结果和信心2，列出不等式组，求出m的取值范围后，即可得出m只有8和9两个整数可以取，因此分别分析并计算即可。
19．（2025·坪山模拟）综合与实践
深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究：
把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线OAB、曲线BCD、曲线EFG和曲线GHI，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线OAB平移得到，OE的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线OAB最高点点坐标为．
（1）求曲线OAB所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）．
（2）如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值．
（3）如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线EFG和曲线GHI的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具 ▲ 个．
【答案】（1）解：设曲线OAB所在抛物线的解析式为．
将代入二次函数表达式，得
解得：
曲线OAB所在抛物线的解析式为
（2）解：由题意可知，曲线EFG可看作曲线OAB向上平移6个单位长度得到，
曲线EFG所在抛物线的解析式为
设
则
则花园周长为：
当时，矩形花园的周长最大，为20．
（3）26
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：曲线EFG和曲线GHI 可以看做是曲线OAB和曲线BCD平移所致，
∵A点坐标是（4，4），
∴B点坐标是（8，0），即OB=BD=EG=GI=8，
8÷0.6≈13个，13×2=26个
因此至少需要安装垂直灯具26个。
故答案为：26.
【分析】（1）根据抛物线解析式和最高点坐标，可以先假设出该抛物线的解析式，然后利用待定系数法将原点坐标代入即可求出答案；
（2）根据平移的性质可以得出曲线EFG所在抛物线的解析式，然后分别假设出Q和P点的坐标，即可得出画圆的周长是一个新的抛物线函数，根据抛物线的性质即可求出周长的最大值；
（3）本题求安装灯具的数量，因为每个灯具的垂直水平间距是固定的，因此可以看做在EG和GI的直线距离长度能安装多少个灯具即可；而平移可以发现，EG=OB=GI=BD，因此可以转化到求出OB和BD的长度，即求出B点坐标，即可求出答案。
20．（2025·坪山模拟）在菱形ABCD中，点为射线BC（不与点重合）上一动点，连接AE，点为AE中点，连接BF，将沿BF翻折得到，连接GE．
（1）如图1，连接AG，GE与AG的位置关系是 ▲ ；GE与BF的位置关系是 ▲ ；
（2）如图2，若，当点运动到BC中点时，求的值；
（3）已知，若，则CE的长为 ▲ ．
【答案】（1）
（2）解：延长BF交AG于，设，则．
由（1）可知，
又
设．
在Rt中，
由题意，FK为的中位线，
（3）或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）连接AG，延长BF交AG于K点，如图，
由折叠的性质可知BF垂直平分AG，
∴K是AG中点，
∵F是AE中点，
∴FK是△AEG的中位线，
∴FK∥GE，即GE∥BF，
∵BF⊥AG，
∴GE⊥AG。
（3）①当点E在BC上时，延长BF交AG于K，
∵∠AGE =90°，∠AEG =60°，
∴∠EAG =30°
在Rt△AEG中，设EG=2x，则AE=4x，
∴EF=2，AG=，FK=EG=x，
∴AK=AG=，
∵BF∥EG，
∴∠BFE=∠EFG = 60°，
∵∠D =60°，
∴∠ABE=60°=∠BFE，
∵∠BEF=∠AEB，
∴△BFE∽△ABE，
∴即
∴EB=x，FB=.
在Rt△ABK中，BK2+AK2=AB2，
∴(+x)2+()2=62，∵x＞0，
∴解得x=。
∴BE=，CE=。
②当点E在BC延长线上时，如图，
同理可得△AFB∽△ABE，设EG=2x，则AE=4x，
∴AF= EF=AE = 2x，
∴，即，
解得x=，
∴AE=4x=，
过A作AH⊥BC于点H，则BH=AB=3，AH =AB=，
∴EH=，CE=BE-BC=BH+EH-BC=3+-6=-3，
综上，CE的长为或
故答案为：（1）或；（3）或。
【分析】本题主要考查折叠性质、中位线性质、三角函数、相似三角形、勾股定理等相关知识的综合应用。
（1）由折叠的性质可知BF垂直平分AG，然后根据中位线的性质即可得出证明结果；
（2）利用勾股定理求出AE和BF，然后放到直角三角形BFE中配合三角函数求出的值，最后再次利用勾股定理即可求出FK和AK的值，即可求出答案；
（3）分当点E在BC上和在BC延长线上两种情况，综合利用相似比和勾股定理等知识即可得出答案。
1 / 1广东省深圳市坪山区2025年初三二模数学试卷
1．（2025·坪山模拟）深圳地铁14号线及16号线开通后，极大方便了坪山人民的日常出行．下列地铁图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·坪山模拟）深圳坪山某车企第1000万辆新能源汽车下线，成为全球首家达成这一成就的车企，这既是坪山产业发展的高光时刻，也是深圳汽车工业发展史上新的里程碑．将1000万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·坪山模拟）下列运算中结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·坪山模拟）甲、乙、丙、丁四家配餐公司提供的卤鸡腿的质量平均数与方差如下表所示，若要选择鸡腿质量更大且出品更加稳定的配餐公司，则应选择的公司是（　　）
甲 乙 丙 丁
平均质量（克） 120 120 110 110
方差 18.2 4.9 20.1 12.7
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2025·坪山模拟）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·坪山模拟）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒．水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米／秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（　　）
A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒
7．（2025·坪山模拟）在“书香随行，快乐过年”的寒假阅读活动中，小明每天实际阅读的页数比原计划多了30页，因此实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同．设小明每天原计划读的页数为x页，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·坪山模拟）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·坪山模拟）因式分解： 　 　．
10．（2025·坪山模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　 　．
11．（2025·坪山模拟）为了方便学生在校午休，某学校购入了一批可调节椅背且配备可折叠脚踏板的桌椅．若午休时椅背与椅座间的倾斜角达到，脚踏板DF拉起后与椅座BD在一条直线上，测量得到，则使用该椅子午休时BD方向的占地长度为　 　cm．
12．（2025·坪山模拟）如图，在反比例函数上有两点和，若在第二象限存在一点，使得四边形OBAC为平行四边形，且平行四边形OBAC的面积为8，则点的坐标为　 　．
13．（2025·坪山模拟）如图，在中，，点在线段CD上且满足与BD交于点，若，则　 　．
14．（2025·坪山模拟）
（1）计算：；
（2）在解分式方程时，小亮的解法如下：
第一步：方程两边都乘，得．
第二步：解这个方程，得．
第三步：经检验，为原方程的解．
①在上述解方程过程中，从第 ▲ 步开始错误；
②错误的原因是 ▲ ．
15．（2025·坪山模拟）先化简，再求值：，再从中，选一个合适的值作为代入求值．
16．（2025·坪山模拟）坪山大剧院位于坪山文化聚落，是一个戏剧文化的综合空间、一个先锋戏剧的原创基地、一个品质引领的文化地标．为了加深对于戏剧文化的了解，小坪同学和小山同学准备组织一次到坪山大剧院的观剧活动．他们对同班同学发放了调查问卷，统计同学们最喜欢的戏剧种类，其调查结果如下：
（1）班级总人数为　 　人， 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若小坪和小山所在的年级有800人，估计该年级喜欢舞剧的人数是多少？
（4）坪山大剧院周五，周六和周日将推出同一场音乐剧，假设小坪和小山分别打算去看这场音乐剧，且每一天去看音乐剧的可能性相同，那么在事先没有约好的情况下，小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率是多少？（请用画树状图或列表等方法说明理由）
17．（2025·坪山模拟）如图，在中，．
（1）请用圆规和没有刻度的直尺作出，使圆心在AC边上，且与AB，BC两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，求的半径长．
18．（2025·坪山模拟）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息：
信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人．此前校租用6辆大型客车，4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元．
信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车．
任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？
任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用．
19．（2025·坪山模拟）综合与实践
深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究：
把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线OAB、曲线BCD、曲线EFG和曲线GHI，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线OAB平移得到，OE的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线OAB最高点点坐标为．
（1）求曲线OAB所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）．
（2）如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值．
（3）如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线EFG和曲线GHI的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具 ▲ 个．
20．（2025·坪山模拟）在菱形ABCD中，点为射线BC（不与点重合）上一动点，连接AE，点为AE中点，连接BF，将沿BF翻折得到，连接GE．
（1）如图1，连接AG，GE与AG的位置关系是 ▲ ；GE与BF的位置关系是 ▲ ；
（2）如图2，若，当点运动到BC中点时，求的值；
（3）已知，若，则CE的长为 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A，既不是轴对称图形、也不是中心对称图形；
选项B，不是轴对称图形、是中心对称图形；
选项C，既是轴对称图形、也是中心对称图形；
选项D，不是轴对称图形、是中心对称图形；
因此是轴对称图形的只有C选项。
故答案为：C.
【分析】本题主要考查轴对称图形的定义和特点以及与中心对称图形的区别。
存在至少一条直线，使得图形沿该直线折叠后两部分完全重合的图形是轴对称图形。而在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，该图形是中心对称图形。四个图形，B和D是中心对称图形，而C既是轴对称图形、也是中心对称图形，并且对称轴有横竖两条直线。
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1000万=10000000=1×107
故答案为：D.
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方式。科学记数法的标准形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数。本题首先将1000万展开转换为数字形式，然后确定a=1，1后面有7个0，因此n=7，代入即可表示出来。
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，，正确；
B选项，，错误；
C选项，，错误；
D选项，，错误。
故答案为：A.
【分析】 本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘除法以及单项式乘方等运算规则。
选项B和C，利用“同底数幂相乘除、底数不变、指数相加减”进行计算即可，选项A和D，利用“单项式的幂运算，等于把单项式中的每个项都进行幂运算，然后相乘”，据此计算即可得出正确答案。
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：比较平均质量，则甲=乙＞丙＝丁；比较方差，则丙＞甲＞丁＞乙，
其中平均质量最大的是甲和乙，方差最小的是乙。
因此乙公司提供的卤鸡腿质量更大且出品更加稳定。
故答案为：B.
【分析】本题首先从数据中对比平均质量，找出最大的平均质量对应的公司；然后找出方差最小的数据对应的公司，因为方差小的表明更加稳定，即可选出对应的公司。
5．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：延长DC到F点，连接AF，使得∠F=90°，如图，
∵AB∥CD，∴∠A=180°-∠F=90°，
而五边形ABEDF是五边形，内角和为，
∴∠BED=540°-∠A-∠F-∠ABE-∠CDE=540°-90°-90°-135°-145°=80°。
故答案为：C.
【分析】本题主要考查平行线的性质以及多边形内角和的计算公式。
首先将该图形构造成一个五边形，且∠F是直角，因此利用“两直线平行、同旁内角互补”即可求出∠A也是直角，然后利用多边形内角和计算公式（n-2）×180°计算出五边形的内角，最后作差即可求出∠BED的度数。
6．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：函数关系式 ，
当t=时，h为最大值20×2-5×22=20米。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查抛物线函数的最值问题。函数关系式，因为a=-5＜0，因此该函数开口向下，所以在对称轴处，该函数取得最大值。因此可以直接利用公式x=进行计算，其中a=-5，b=20，代入计算即可。
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据条件，小明每天原计划读的页数为x页，则每天实际阅读（x+30）页，
因此列式
故答案为：B.
【分析】本题找到等量关系列出方程等式即可。首先根据条件，小明每天原计划读的页数为x页，而“ 小明每天实际阅读的页数比原计划多了30页 ”，则每天实际阅读（x+30）页，这样实际阅读需要天，计划阅读需要天，而“ 实际阅读160页书所用的时间与计划阅读100页书所用的时间相同 ”，此时即可列出方程等式。
8．【答案】A
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；逻辑推理
【解析】【解答】解：令，则，
即，
∴
即
∴
故答案为：A.
【分析】观察需要计算式子发现，该式子为首项是1、公比为3的等比数列前2025项的和，而笔记过程中是首项是1、公比为2的等比数列前2025项的和。笔记中令原式为S，并且乘以的是公比2得到2S，然后作差；因此本题也可以令原式为S，然后乘以公比3得到3S，最后作差计算即可求出S的值。
9．【答案】a(a-1)(a+1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）
【分析】观察多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根 ，
∴，
解得c=.
故答案为：.
【分析】由方程根情况直接利用判别式求出c即可.
11．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—其他类型
【解析】【解答】解：延长DB到A''，且A'A''⊥A''B，垂足为A''，
∴∠A'A''B=90°，
∵∠A'BD=150°，
∴∠A'BA''=180°-150°=30°，
∵AB=A'B=60cm，
∴A'A''=30cm，A''B=cm，
DF=DF'=40cm，
∴A''F'=A''B+BD+DF'=cm，
因此午休时BD方向的占地长度为cm。
故答案为：.
【分析】本题主要考查直角三角形中30度锐角对应的直角边的特点。
画出图可以发现，求的“ 午休时BD方向的占地长度 ”其实就是A''F'的长度，其中BD、DF'已知，只需要求出A''B的长度即可。分析可以发现，直角三角形A'A''B中，∠A'BA''=30°，A'B长度已知，因此可以求出A''B的长度，最后求和即可。
12．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；完全平方式；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接BC，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，如图所示，
则四边形BCED是直角梯形，
∵四边形OBAC是平行四边形，且面积为8，
∴S△OBC =4；
∵点A(1，a)和B(b，1)都在反比例函数 的图象上，代入求出k=a=b，
∴点A坐标为(1，k)，点B坐标为(k，1)。
∴线段OA的中点坐标为(，)，
设点C坐标为(m，n)，
∴线段BC的中点坐标为（，）
∵四边形OBAC是平行四边形，
∴线段OA的中点与线段BC的中点重合，
∴=，=，即m=1-k，n=k-1，
∴点C(1-k，k-1)，
∵CE⊥x轴，BD⊥x轴，
∴CE=k-1，OE=k-1，OD=k，BD=1，
∴DE=OE+OD=k-1+k=2k-1，
S△OCE=OE·CE=(k-1)2，S△OBD=OD·BD=k，
而S梯形BCED=(BD+CE)·DE=(1+k-1)(2k-1)=k(2k-1)，
∵S△OCE+ S△OBD+ S△OBC = S梯形BCED，即(k-1)2+k+4=k(2k-1)，整理得k2=9，解得k=3，k=-3，
∵反比例函数 的图象在第一象限，
所以k> 0，因此k=3.
∴C的坐标为(-2，2).
故答案为：(-2，2).
【分析】本题主要考查反比例函数的性质、平行四边形的性质、面积、完全平方公式的运用等知识。
首先根据图形和条件，利用待定系数付可以得出k=a=b，然后分别求出OA和BC的中点坐标，继而求出C点的坐标。根据平行四边形的面积可以求出S△OBC 的面积，然后放到梯形BCED中，分成三个三角形列出等式并进行化简，即可求出k值，即可求出答案。
13．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接FC，如图所示，
∵∠EAC=∠DBC，即∠FAC=∠FBC，
∴点A、B、C、F四点共圆，
因此∠AFB=∠ACB=45°，∠BFC=∠BAC =90°，
∴∠DFE=∠AFB=45°，
∴∠CFE=180°-∠BFC-∠DFE=45°=∠DFE，
∴EF平分∠DFC，
∴，
设DF=1，则CF=4，设BF=x，则BD=BC=x+1，
在Rt△BFC中，CF2+BF2=BC2，
即x2+ 42 =(x+ 1)2，解得x=，
∴tan∠DBC=，
故答案为：.
【分析】本题首先利用弧度和角度，确定A、B、C、F四点共圆、AB为直径，然后求出，最后利用勾股定理求出BF的值，即可求出答案。
14．【答案】（1）解：原式
（2）①一；②方程右边的-2这一项漏乘了
【知识点】零指数幂；解分式方程；绝对值的非负性；求余弦值
【解析】【解答】（2）
解：第一步：去分母，方程两边都乘，得；
第二步：去括号，得；
第三步：移项，得；
第四步：合并同类项，得；
第五步：检验，将代入原分式方程，发现原方程的分母为0，因此x=3是原分式方程的增根。
因此，在上述解方程过程中，从第 一 步开始错误；错误的原因是 方程右边的-2这一项漏乘了．
故答案为：（2）①一；②方程右边的-2这一项漏乘了。
【分析】本题主要考查零次幂运算、绝对值的非负性、三角函数值以及解分式方程的步骤等知识。
（1）分别计算出零次幂、去掉绝对值和余弦值，然后进行计算即可；
（2）解分式方程，要严格按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”进行解方程，求出的结果要进行检验，以免产生增根。
15．【答案】解：原式
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题首先利用因式分解以及分式的加法和除法运算规律对原式进行变形化简，然后任选一个数代入计算即可。
16．【答案】（1）50；144
（2）解：50-12-20-8=10人，因此喜爱话剧的人数有10人。
（3）解：（人）
答：估计该年级喜欢舞剧的人数为128人．
（4）列表如下：
五 六 日
五 （五，五） （五，六） （五，日）
六 （六，五） （六，六） （六，日）
日 （日，五） （日，六） （日，日）
共有9种等可能的结果，其中小坪和小山选择同一日期看音乐剧的结果有（五、五），（六，六），（日，日）共3种，
两人同一日期看音乐剧的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：12÷24%=50人，20÷50×100%×360°=144°
因此班级总人数为50人， 144°。
故答案为：（1）50；144°。
【分析】本题主要考查从统计图找出信息并计算相关数据、绘制统计图以及计算概率等相关知识。
（1）从条形统计图发现，喜爱戏曲的有12人，在右边的统计图发现，喜爱戏曲的人数占比是24%，因此可以倒推出班级总人数；然后计算出音乐剧的占比，因为圆心是360°，因此列式计算即可求出α的值；
（2）根据（1）中班级总人数50人，计算出话剧人数之后，绘图即可；
（3）喜爱舞剧的8人，占50人的百分比计算出来之后，再扩大乘以800人，即可估计出对应的人数；
（4）先列表，然后进行分析，即可计算出小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概率值。
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：设与AB相切于点，连接PD．则
在中，
设的半径为，在与中，
.
在中，
即
解得
的半径长为
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以B点为圆心、任意长度为半径画弧，分别交AB、BC于两点，然后再以这两点为圆心、大于该两点长度为半径画弧，交于一点之后，连接B点和该点并延长，交AC于P点，P点即为圆心，半径就是PC长度；
（2）先利用勾股定理求出BC的长度，然后利用HL证明△PCB和△PDB全等，即可得出BD的长度，最后放到直角三角形ADP中，利用勾股定理列式即可得出半径的长度。
18．【答案】任务一：解：设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元．根据题意得：
解得
所以一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元．
任务二：解：设租用辆大型客车，租用辆中型客车．根据题意得：
解得
为正整数，所以可以为8或9．
方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车
方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车．
方案一的费用为：（元）
方案二的费用为：（元）
方案一的花费最少，比预算节省200元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组和不等式组的实际应用，并分析选择最优方案。
任务一，结合信息1中的条件，累出二元一次方程组，分别求出x和y的值即可；
任务二，结合任务一的计算结果和信心2，列出不等式组，求出m的取值范围后，即可得出m只有8和9两个整数可以取，因此分别分析并计算即可。
19．【答案】（1）解：设曲线OAB所在抛物线的解析式为．
将代入二次函数表达式，得
解得：
曲线OAB所在抛物线的解析式为
（2）解：由题意可知，曲线EFG可看作曲线OAB向上平移6个单位长度得到，
曲线EFG所在抛物线的解析式为
设
则
则花园周长为：
当时，矩形花园的周长最大，为20．
（3）26
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：曲线EFG和曲线GHI 可以看做是曲线OAB和曲线BCD平移所致，
∵A点坐标是（4，4），
∴B点坐标是（8，0），即OB=BD=EG=GI=8，
8÷0.6≈13个，13×2=26个
因此至少需要安装垂直灯具26个。
故答案为：26.
【分析】（1）根据抛物线解析式和最高点坐标，可以先假设出该抛物线的解析式，然后利用待定系数法将原点坐标代入即可求出答案；
（2）根据平移的性质可以得出曲线EFG所在抛物线的解析式，然后分别假设出Q和P点的坐标，即可得出画圆的周长是一个新的抛物线函数，根据抛物线的性质即可求出周长的最大值；
（3）本题求安装灯具的数量，因为每个灯具的垂直水平间距是固定的，因此可以看做在EG和GI的直线距离长度能安装多少个灯具即可；而平移可以发现，EG=OB=GI=BD，因此可以转化到求出OB和BD的长度，即求出B点坐标，即可求出答案。
20．【答案】（1）
（2）解：延长BF交AG于，设，则．
由（1）可知，
又
设．
在Rt中，
由题意，FK为的中位线，
（3）或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）连接AG，延长BF交AG于K点，如图，
由折叠的性质可知BF垂直平分AG，
∴K是AG中点，
∵F是AE中点，
∴FK是△AEG的中位线，
∴FK∥GE，即GE∥BF，
∵BF⊥AG，
∴GE⊥AG。
（3）①当点E在BC上时，延长BF交AG于K，
∵∠AGE =90°，∠AEG =60°，
∴∠EAG =30°
在Rt△AEG中，设EG=2x，则AE=4x，
∴EF=2，AG=，FK=EG=x，
∴AK=AG=，
∵BF∥EG，
∴∠BFE=∠EFG = 60°，
∵∠D =60°，
∴∠ABE=60°=∠BFE，
∵∠BEF=∠AEB，
∴△BFE∽△ABE，
∴即
∴EB=x，FB=.
在Rt△ABK中，BK2+AK2=AB2，
∴(+x)2+()2=62，∵x＞0，
∴解得x=。
∴BE=，CE=。
②当点E在BC延长线上时，如图，
同理可得△AFB∽△ABE，设EG=2x，则AE=4x，
∴AF= EF=AE = 2x，
∴，即，
解得x=，
∴AE=4x=，
过A作AH⊥BC于点H，则BH=AB=3，AH =AB=，
∴EH=，CE=BE-BC=BH+EH-BC=3+-6=-3，
综上，CE的长为或
故答案为：（1）或；（3）或。
【分析】本题主要考查折叠性质、中位线性质、三角函数、相似三角形、勾股定理等相关知识的综合应用。
（1）由折叠的性质可知BF垂直平分AG，然后根据中位线的性质即可得出证明结果；
（2）利用勾股定理求出AE和BF，然后放到直角三角形BFE中配合三角函数求出的值，最后再次利用勾股定理即可求出FK和AK的值，即可求出答案；
（3）分当点E在BC上和在BC延长线上两种情况，综合利用相似比和勾股定理等知识即可得出答案。
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