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3.3 探索与表达规律
一、单选题
1．（2023七上·扶沟月考）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（　　）
A．第502个正方形的左下角 B．第502个正方形的右下角
C．第503个正方形的左上角 D．第503个正方形的右下角
2．（2024八下·泗水期末）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第12个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第10个图中正方形和等边三角形的个数之和为（　　）个．
A．102 B．91 C．93 D．103
3．（2024七上·巴南月考）如图是一组有规律的图案，第个图案中有个基本图形，第个图案中有个基本图形，第个图案中有个基本图形……，按这样的规律排列下去，第个图案中基本图形的个数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七上·重庆市期末）如图，这是由一些火柴棒摆成的图案，按照这种方式摆下去，摆第30个图案需用火柴棒的根数为（　　）
A．30 B．61 C．120 D．121
5．（2024六上·肥城期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为是（其中是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，运算如图，若，则第2025次“F”运算的结果为（　　）
A．37 B．116 C．74 D．92
6．（2024七下·日照月考）观察下列算式： ， ， ，…，它有一定的规律性，把第 个算式的结果记为 ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023七上·城厢期中）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为27，则第2021次输出的结果为（　　）
A．3 B．27 C．9 D．1
8．（2023七上·江阳期中）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2； 已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102， 2199，2200，若2100＝a，用含a的式子表示这组数据的和是（　　）
A．2a2﹣2a﹣2 B．2a2+a C．2a2﹣2a D．2a2﹣a
9．（2020七上·建湖月考）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D，A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为 ；则翻转2021次后，数轴上数 所对应的点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
10．（2021七上·金台期末）如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中 与 之间的关系是（　　）
…
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024七上·沈阳月考）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的最小正整数），并且运算重复进行．例如：取n＝26，则运算过程如图：
那么当n＝9时，第2019次“F运算”的结果是　 　．
12．（2024七上·岳阳期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为54，我们发现第1次输出的结果为27，第2次输出的结果为30，…则第2023次输出的结果为 　 　．
13．（2022八下·定南期中）观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3…，那么第50个数据应该是　 　．
14．（2020七下·青神期末）已知： ， ……，若 符合前面式子的规律，则 a + b = 　 　 .
15．（2024八下·都昌期末）如图所示，图①是一个三角形，分别连接三边中点得图②，再分别连接图②中的小三角形三边中点，得图③……按此方法继续下去.
在第 个图形中有　 　个三角形（用含 的式子表示）
16．（2019九上·唐山月考）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是 　 　．
三、计算题
17．（2023六上·道里月考）阅读材料，回答下列问题．通过计算容易发现：①；②；③
（1）观察上面的三个算式，你能再写出一个像上面这样的算式吗？
（2）通过观察，计算的值．
18．（2023七上·杭州月考）【阅读理解】
我们知道，，那么结果等于多少呢
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即．第2行两个圆圈中数的和为，即，…；第行个圆圈中数的和为，即，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为．
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为，2，），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为________，因此，________．
【解决问题】
根据以上发现，计算，的结果为________．
19．（2023七上·丰泽月考）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：
（1）应用一：已知点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为___________________；
应用这个知识，①找出所有符合条件的整数，使成立．
②对于任何有理数，是否有最小值？请说明理由．
（2）应用二：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的，第二次剪掉剩下的，依此类推，每次都剪掉剩下的，则剪掉次后剩下线段的长度为___________________________；应用这个原理，请计算：__________．
（3）应用三：如图，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上．
①如果正半轴的线缠绕了圈，负半轴的线缠绕了圈，求绕在点上的所有数之和．
②如果正半轴的线不变，将负半轴的线拉长一倍，即原线上的点的位置对应着拉长后的数，并将三角形向正半轴平移一个单位后再开始绕，求绕在点且绝对值不超过的所有数之和．
四、解答题
20．（2024六上·任城期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，……
（1）按此规律摆下去，第6个图案有多少个三角形；
（2）按此规律摆下去，第个图案有多少个三角形（用含的代数式表示）；
（3）按此规律摆下去，第2023个图案有多少个三角形？
21．（2024七上·青岛期中）观察下列各式：
①；； …… （n为正整数）
②；； …… （n为正整数）
根据观察得出的规律，请解决一下问题：
（1）如果，则 ；
（2）用含的代数式总结上述规律 ；
（3）请计算系列各式的值（写出计算过程）：
① ；
②＝ ；（n为正整数）
③ ．
22．（2024七上·孝南期中）仔细观察下列规律：
；
；
；
现在你一定得到某个规律了吧！接着完成以下的题目，结果可以保留指数形式．
（1）______；
（2）______；
（3）计算：（别忘了写全计算过程哦）．
23．（2020七上·温州月考）如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数.例如，6的不包括自身的所有因数为1，2，3，6=1+2+3，所以6是完全数.大约2200多年前，欧几里得提出：如果2n-1是质数，那么2n-1·（2n-1）是一个完全数，请你根据这个结论写出6之后的下一个完全数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
2．【答案】C
【知识点】探索图形规律
3．【答案】C
【知识点】探索图形规律
4．【答案】D
【知识点】探索图形规律
5．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
6．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
7．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
8．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
9．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；探索数与式的规律
10．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
11．【答案】8
【知识点】探索数与式的规律
12．【答案】6
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
13．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
14．【答案】109
【知识点】探索数与式的规律
15．【答案】（4n-3）
【知识点】探索图形规律
16．【答案】13
【知识点】探索数与式的规律
17．【答案】（1）（答案不唯一）；
（2）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
18．【答案】[规律探究] ，，；[解决问题] 1345
【知识点】探索数与式的规律
19．【答案】（1）应用1：，①x可以是-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2，②有最小值是3；（2）应用2：，；（3）应用三：①18，②-113.
【知识点】探索图形规律；数轴上两点之间的距离
20．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】探索图形规律
21．【答案】（1）5
（2）
（3）①；②；③
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
22．【答案】（1）
（2）
（3）6
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
23．【答案】解：∵2n-1·（2n-1）是一个完全数，
∴n=2时，2n-1·（2n-1）=2×3=6，
∴下一个完全数是当n=3时，
即23-1·（23-1）=4×7=28，
故6之后的下一个完全数是28.
【知识点】探索数与式的规律
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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