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2024-2025 学年四川省泸州市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { |2 + 1 > 3}， = { | 1 < ≤ 3}，则 ∩ =( )
A. ( 1,3] B. ( 1,1) C. (1,3) D. (1,3]
2.命题：“ > 0， 2 2 > 0”的否定是( )
A. > 0， 2 2 > 0 B. > 0， 2 2 ≤ 0
C. ≤ 0， 2 2 > 0 D. ≤ 0， 2 2 ≤ 0
3.在△ 中， = 3 ，则 =( )
A. 1 1 1 1 3 B. + 3 C. 3 D. 3 +
4.在平面直角坐标系中，角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，且 的终边与圆心在坐标原点
的单位圆交于点 ( 35 ,
4
5 )，则 2 =( )
A. 24 B. 2425 7 C.
24
7 D.
24
25
5.设 ， ， 表示不同的直线， ， ， 表示不同的平面，则下列结论正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 1// ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 ⊥ ， // ， ⊥ ，则 //
6.已知 34 = 2，则21 2 =( )
A. 19 B.
2
9 C.
4
9 D. 18
7.若一个圆台的高为 3，母线与底面所成角为 60°，侧面积为 6 ，则该圆台的体积为( )
A. 5 3 7 3 3 B. 3 C. 5 3 D. 7 3
8.若关于 的方程 ln( + ) = 0 在(0, + ∞)上有解，则实数 的取值范围是( )
A. ( , + ∞) B. ( ∞, ) C. ( ∞, 1 ) D. (
1
, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数 在复平面内对应的点为 ， 为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A.若 = ，则 4 ( ∈ )是实数 B.若 = 1 + 2 ，则 的虚部为 2

C.若点 的坐标为(3,2)，则 = 3 2 D.若| | = 1，则 =± 1 或 =±
10 .将函数 ( ) = sin(2 + 6 )

的图象向左平移4个单位长度得到 ( )的图象，则下列说法正确的是( )
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A. ( )的图象关于直线 = 12对称 B. ( )的图象关于点( 12 , 0)对称
C. ( ) 5 在( 6 , 3 )上有最大值 D. ( )在( 2 , 6 )上单调递增
11.如图，点 是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1的侧面 1 1上的一个
动点(包含边界)，则下列结论正确的是( )
A.当 ⊥ 1时，点 一定在线段 1 上
B.当 为 1 的中点时，三棱锥 的外接球的表面积为 2
C.当点 在棱 1上运动时，| | + | 1|的最小值为 3 + 1
D.线段 31上存在点 ，使异面直线 1与 所成角的正切值为4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 ⊥ ，| | = 1，| + | = 5，则| | = ______．
13.已知函数 ( ) = tan( + ) 4 在(0, 6 )上是增函数，则符合条件的整数 的值为______．
14.若 > 0， > 0 12 1，且 3 + 2 = ，则2 +1+ 3的最小值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (4,3)， = (0, 1)．
(Ⅰ)若向量 与 = (1, 3)共线，求| |；
(Ⅱ)已知 = + ，若< ， >=< ， >，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 12 )的最小值为 1，其图象经过点(0, 2 )，且图象上相邻两
个最高点之间的距离为 ．
(Ⅰ)求函数 ( )的解析式；
(Ⅱ)若 ( + 12 ) =
4 3
7 ，且12 < < 6，求 ( + 4 )的值．
17.(本小题 15 分)
设△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 + 2 = 3 ．
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)若点 在线段 上，∠ = 120°， = 1 3 3，△ 的面积为 4 ，求 的长度．
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18.(本小题 17 分)
如图，四边形 为矩形，四边形 为梯形， // ，平面 ⊥平面 ，∠ = 90°， 为
的中点， = = 12 = 3．
(Ⅰ)求证： //平面 ；
(Ⅱ)求证： ⊥平面 ；
(Ⅲ) 若二面角 为6，求点 到平面 的距离．
19.(本小题 17 分)
若函数 ( ) 1在定义域内存在 满足 ( ) = ( )，则称 ( )为“局部反比例对称函数”．
(Ⅰ)已知函数 ( ) = + 2( ∈ )是“局部反比例对称函数”，求 的值；
(Ⅱ) +1求证：函数 ( ) = 1有两个零点 1， 2，且 1 2 = 1；
(Ⅲ)若 ( ) = 2 2 + 2 2( ∈ (0, + ∞))是“局部反比例对称函数”，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.1
14.1912
15.(Ⅰ)由题意可得： = (4,4)．
因为向量 与 = (1, 3)共线，
所以 4( 3) = 1 × 4，解得： = 4，
则 = (1,1)，| | = 12 + 12 = 2．
(Ⅱ)由向量 = (4,3)， = (0, 1)可得：| | = 42 + 32 = 5，| | = 02 + ( 1)2 = 1， = + = (4,3 )，
所以 = 4 × 4 + 3(3 ) = 25 3 ， = 0 × 4 1 × (3 ) = 3．
因为< ， >=< ， >，
= 25 3 则| || | ，即 =
3
，解得： = 5．
| || | 5| | | |
16.(Ⅰ)因为函数 ( ) = ( + )的最小值为 1，所以 = 1，
因为函数图象上相邻两个最高点之间的距离为 ，
2
所以函数的最小正周期为 = ，即 = = 2，
1
又函数图象过点(0, 2 )，所以 (0) = =
1
2，
又| | < 2，所以 =

6，则 ( ) = sin(2 +

6 ).
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(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ( + 4 312 ) = sin[2( + 12 ) + 6 ] = sin(2 + 3 ) = 7 ，
2
又12 < < 6，则2 < 2 + 3 < 3，
所以 cos(2 + 3 ) = 1 (
4 3 )27 =
1
7，
因为 ( + ) = sin(2 + 4 2 +

6 ) = sin(2 +
2
3 )，
又 sin(2 + 2 3 ) = sin(2 +

3 +

3 ) = sin(2 +

3 )cos

3 + cos(2 +

3 )sin

3
= 4 3 × 1 17 2 7 ×
3 = 3 32 14 ，
( + ) = 3 3所以 4 14 ．
17.解：(Ⅰ)由 + 2 = 3 ，
根据正弦定理得： = 2 ， = 2 ， = 2 ，( 为△ 的外接圆
的半径)，
即有 + = 3 ，
即 ( + ) = 3 ，
则 ( + ) = = 3 ，
而 > 0，所以 = 3；
(Ⅱ)由题意， 1△ = 2 ∠ =
1 × 3 = 3 3，则 = 3，2 2 4
又∠ = 120°，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ∠ = 9，则 2 + 2 + = 9，
解得 = = 3，
则∠ = ∠ = 30°，设 = ， = 3 ，0 < < 3，
由 cos∠ + cos∠ = 0，
则
2+ 2 2 2+ +
2 2 = 0，2 2
1+ 2 3+ 1+(3 )
2 3
则 2 2(3 ) = 0，
解得 = 1 或 2，即 = 1 或 2．
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18.(1)证明：连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 为矩形，
所以点 是 的中点，又因为点 是 的中点，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)取 中点 ，连接 ，
1
因为 = = 2 = 3，所以 =
又 // ，∠ = 90°，所以四边形 是矩形，
所以 垂直平分 ，所以 = = 3 + 3 = 6，
又 = 2 3，所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
因为四边形 为矩形，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(3)因为∠ = 90°， // ，所以 ⊥ ，
由(2)知道 ⊥平面 ，而 平面 ，
所以 ⊥ ，
又因为 // ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
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而 ， 平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
若二面角 3为6，则 tan∠ = = ，解得 = 1，3 3
如图所示，取 中点，连接 1，
因为 ⊥平面 ， // ，所以 ⊥平面 ，
而 ， 平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
又因为平面 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 1// ，所以 1 ⊥平面 ，
由题意可得 = 1, = 2 3, = 13， = 11 2 =
3，
2
= 1 1 12 = 2 1 + 3 = 1， 1 = 4+ 12 =
7
2 , =
3
4+
49 ，
4 = 13
2 2 2
所以 cos∠ = + 1+13 13 13，2 = 2×1× 13 = 26
所以 sin∠ = 1 cos2∠ = 663，26
设所求为 ，
则由等体积法有 = ，
即1
3 × (
1 663 1 3 1 ，
2 × 1 × 13 × 26 ) = 3 × 2 × ( 2 × 1 × 2 3)
解得 = 2 51．17
19.(Ⅰ)因为函数 ( ) = + 2 是“局部反比例对称函数”，
( 1 ) = 所以 + 2 = ( ) = 2，
化简得 2 + 4 + = 0．
要使得等式成立，则 = 16 4 2 ≥ 0，
解得 2 ≤ ≤ 2．
又 ∈ ，所以 = 1 或 = 2．
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(Ⅱ) +1证明：因为 ( ) = 1， > 0 且 ≠ 1，
1
( 1 ) = ln 1
+1
所以
= + +11 1，
1
( ) = + +1 1，
所以 ( 1 ) = ( )，
所以 ( )为“局部反比例对称函数”．
又 ( ) = +1 +1 2 1 = 1 1 = 1 < 0，
2 2
( 2) = 2 +1 = 2 +1
2 3
2 1 2 1 = 2 1 > 0，
所以根据零点存在定理可知，在( , 2)内存在一个零点，设为 1，
则 ( 1) =
1+1 1
1 1 = 0，而 ( ) = ( ) (
1
，所以 ) = 0，1 1
1
所以设 2 = ，1
则 2也是 ( )的一个零点，且 1 2 = 1．
(Ⅲ)因为 ( ) = 2 2 + 2 2 是“局部反比例对称函数”，
1
所以 ( ) =
1 2 2 2 2 2 + 2 = + 2 + 2 在(0, + ∞)上有解，
1 1
化简得 2 + 2 2 2 ( + ) + 2 4 = 0，
4 2 3 + (2 2 4) 2 + 1 2 = 0．
1
令 + = ，则 ≥ 2，所以方程变为
2 2 + 2 2 6 = 0．
令 ( ) = 2 2 + 2 2 6，对称轴为 = ，开口向上，
当 ≥ 2 时， = 4 2 8 2 + 24 = 24 4 2 ≥ 0，解得 2 ≤ ≤ 6；
当 < 2 时， (2) = 4 4 + 2 2 6 = 2 2 4 2 ≤ 0，
解得 1 2 ≤ ≤ 1 + 2，又 < 2，
所以 1 2 ≤ < 2．
综上， 的取值范围是[1 2, 6]．
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