资源简介

2024-2025 学年河北省雄安新区某校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( , 1)， = ( 2,3)，若 // ，则 =( )
A. 2 B. 2 3 33 3 C. 2 D. 2
2 = 1+ .已知 为虚数单位，复数 ，若 < 0，则实数 的值为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
3 10.已知正四棱台的上、下底面边长分别为 2，3，高为 2 ，则该正四棱台的体积为( )
A. 19 2 19 2 19 10 19 102 B. 6 C. 2 D. 6
4.已知 为虚数单位，若复数 = 2 3 4+ (2 1) ( ∈ )在复平面内对应的点位于第二象限，则实
数 的取值范围为( )
A. ( 1,4) B. ( 12 , 4)
C. ( ∞, 1) ∪ (4, + ∞) D. ( ∞, 12 ) ∪ (4, + ∞)
5.如图所示，梯形 ′ ′ ′ ′是平面图形 用斜二测画法得到的直观图，
其中 ′ ′// ′ ′， ′ ′ = 2 2， ′ ′ = ′ ′ = 2，则平面图
形 的面积为( )
A. 3 B. 3 22 2 C. 6 D. 3 2
6.在△ 中，若| + | = | |, | | = 2，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
7.在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = = 2， 1 = 2 2. 是 1的中点，则直线 与平面 1
所成角的正弦值为( )
A. 3 6 2 30 65 B. 4 C. 15 D. 3
8.已知平面向量 与向量 在 = (2,0)上的投影向量均为(2,0)，若| | = 2，则 的取值范围为( )
A. [ 3, + ∞) B. [ 3,0) C. (0,3] D. [3, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某城市为了解不同年龄段市民对垃圾分类政策的支持情况，对参与问卷调查的市民按老、中、青三十年
龄段进行统计，发现三个年龄段的人数比例为 4：3：3.现用按比例分层随机抽样的方法从这些市民中抽取
名进行深入访谈，若老年市民抽到 80 人，则下列结论正确的是( )
第 1页，共 8页
A.中年市民抽到 60 人
B.青年市民抽到 90 人
C. = 200
D.抽取的中年与青年市民人数之和比老年市民多 40 人
10.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2 3 ，∠ = 3，∠ 的平分线交 于点
，则下列说法正确的是( )
A. △ 外接圆的面积为 16
B.若△ 与△ 的面积比为 1：3，则 = 2
C.若 = 2 ，则△ 为直角三角形
D. △ 周长的最大值为 6 3
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， ， 分别是 1， 1， 1 1的中点， 是线段 1 1
上的动点(包括端点)，则下列说法中正确的是( )
A. 2直线 与 所成角的余弦值的最大值为 2
B.三棱锥 的体积为定值
C.存在点 ，使 ， ， ， 四点共面
D.三棱锥 的外接球的表面积为 9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在三角形 中， = 2，∠ = 3， = 2 3，则∠ = ______．
13.欧拉(1707 1783)是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式 = + ，从而

建立了三角函数和指数函数之间的关系.请你根据欧拉公式将复数 6 + 2 表示成 + ( , ∈ , 为虚数单
位)的形式______．
14.已知球 是四棱锥 的外接球， ⊥平面 ，底面 是等腰梯形， // ， = =
3 2， = 4 2， = 6 2，且 = 3 .过点 作球 的截面，所得截面圆面积的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，圆锥 中， 、 为底面圆的两条直径， ⊥ ， 为 的中点，设圆 的半径为 ，圆锥高
为 ，且 2 + 2 = 8 8 ，圆锥 的体积为 3．
第 2页，共 8页
(1)求圆锥 的表面积；
(2)求异面直线 与 所成角的正切值．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = ( , )与向量 = ( , 2 )的对应关系用 = ( )表示．
(1)设 = (2,5)， = (2,0)，求向量 ( )及 ( )的坐标；
(2)求满足 ( ) = (4,2)的向量 的坐标；
(3)证明：对任意向量 、 ，均满足 (2 + 5 ) = 2 ( ) + 5 ( )．
17.(本小题 15 分)
2 2
△ . = +
2
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 若 2 2 ．
(1)判断△ 的形状，并说明理由；
(2)若△ 是斜三角形， 是 的中点，且 = 6， = 4，求 ．
18.(本小题 17 分)
如图，在平面凸四边形 中，对角线 与 相交于点 ，sin∠ = sin∠ = 155 ， = 5， = 4，
= ．
(1)求 cos∠ 的值；
(2)求 ；
(3)求四边形 的面积．
第 3页，共 8页
19.(本小题 17 分)

如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，∠ = 3， = 2 = 2， ⊥ ， ⊥平面
，点 在棱 上．
(1)求 ；
(2)若 //平面 ，求三棱锥 的体积；
(3) 若二面角 的大小为4，求 ．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 6
13. 32 +
3
2
14.4
15.(1) 1由题意可知，圆锥的体积 = 23 =
1
6
2 × (2 ) = 8 3，
即 2 × (2 ) = 16，
又因为 2 + 2 = 8，
解得 = = 2，
所以圆锥的母线长 = 2 + 2 = 2 2，
所以该圆锥的表面积为 = + 2 = 4 2 + 4 ；
(2)连接 ，因为 ， 分别为的中点，所以 // ，
所以∠ 为异面直线 与 所成角或其补角，
因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
第 5页，共 8页
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
在 △ 1中， = 2， = 2 = 2，
所以 tan∠ = 2 = 2 = 2，
所以异面直线 与 所成角的正切值为 2．
16.(1)由 = (2,5)，可得 ( ) = (5,2 × 5 2) = (5,8)，
由 = (2,0)，可得 ( ) = (0,2 × 0 2) = (0, 2)；
(2)设 = ( , )，则 ( ) = ( , 2 ) = (4,2)，
= 4 = 6
则 2 = 2，解得 = 4，
因此 = (6,4)；
(3)证明：设 = ( 1, 1)， = ( 2, 2)，
所以 2 + 5 = (2 1 + 5 2, 2 1 + 5 2)，
则 (2 + 5 ) = (2 1 + 5 2, 2(2 1 + 5 2) (2 1 + 5 2))，
又 2 ( ) = (2 1, 4 1 2 1)，5 ( ) = (5 2, 10 2 5 2)，
所以 2 ( ) + 5 ( ) = (2 1 + 5 2, 2( 1 + 5 2) (2 1 + 5 2))，
所以对任意向量 ， ，均满足 (2 + 5 ) = 2 ( ) + 5 ( )．
2 2 2
17.(1) + 因为 ， = 2 2
所以由余弦定理 2 + 2 2 = 2 2 ，得 = 2 2 = ，
即 = ，由正弦定理得 = ，
即 ( ) = 0，即 ( ) = 0，
所以 = 0 或 sin( ) = 0 = ：，所以 2或 = ，
所以△ 为等腰三角形或直角三角形；
(2)因为△ 是斜三角形，由(1)知 = ，即 = ，
设 = ，由题意可得 = = 2 ，
第 6页，共 8页
2 2 2 2 2
在△ 中，由余弦定理可得： = + 16+ 36 20，2 = 2×4× = 8
2在△ 中，由余弦定理可得： = +
2 2 2 2
2 =
16+4 4 1，
2×4×2 =
所以1
2
= 20，解得 ，负值舍去，所以 8 = 2 7 =
7，
14
又因为 0 < < ，可得 = 1 cos2 = 3 21．14
18.(1)因为 sin∠ = sin∠ = 15，且∠ + ∠ < ，5
所以∠ = ∠ ， 为∠ 的平分线，可得 cos∠ = 1 2 2∠ = 15；
(2)由(1)可知 cos∠ = 15，所以 sin∠ = 1
1 2 6，
25 = 5
因为 △ = △ + △ ，
1 1 1
可得2 sin∠ = 2 sin∠ + 2 ∠ ，
所以1
2 × 5 × 4 ×
2 6 1 15 1
5 = 2 × 5 × × 5 + 2 × 4 × ×
15，解得 = 8 10；5 9
(3)取 中点 ，连接 ，因为 = ，所以 ⊥ ，
2
由 cos∠ = 1 sin2∠ = 10，可得 = cos∠ = 10 = 10 > ，5 5
所以 = + 1 1 1△ △ = 2 sin∠ + 2 sin∠ = 2 × 5 × 10 ×
15 + 15 2 × 10 × 4 ×
15 9 6．
5 = 2
19.(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，
又因为 ⊥ ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，所以三角形 为直角三角形，
所以 2 = 2 + 2 = 5，即 = 5．
(2)连接 与 交于点 ，连接 ，
第 7页，共 8页
因为 //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，可知 为 的中点，而 ⊥平面 ， 平面 ，因此 ⊥ ，

在三角形 中， = = 1，∠ = ∠ = 3，∠ = 2，
所以 = 3， = = 2，∠ = 2 3，
1 1 1 1 1所以 = 2 = 2 = 2 × 3 × × 2 × × × sin∠
= 1 × 1 × 2 × 1 × 2 × 1 × 3 = 32 3 2 2 6 ．
(3)根据题意知 ⊥平面 ，过点 作 的平行线交 于点 ，
所以 ⊥平面 ，再作 ⊥ ( 为垂足)，
由于 平面 ，因此 ⊥ ，而 ∩ = ， ， 平面 ，
因此 ⊥平面 ，而 平面 ，因此 ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角，∠ = 4，
根据第二问可知 = = 2，因此三角形 是等腰直角三角形，
同理三角形 也是等腰直角三角形，从而 = 2 2，

在三角形 中，∠ = 2，∠ =

3，所以∠ = 6，
设 = = = ， = 2 ，那么 = 2 且 = 2 ，
= 2所以 3 =

，所以 = 2．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑