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2024-2025 学年广西河池市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 = 3

. 与 是共轭复数，已知复数 ，则 =( )
A. 1+ 3 B. 1 3 C. 1 3 D. 1 + 3
2.某校举办了一次环境保护知识竞赛，为了解学生的环境保护知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全
校 5000 名学生中抽取了一个容量为 100 的样本，已知样本的成绩全部分布在区间[45,95]内，根据调查结
果绘制学生成绩的频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中 =( )
A. 0.3 B. 0.03 C. 0.25 D. 0.025
3.下列向量的概念错误的是( )
A.长度为 0 的向量是零向量，零向量的方向是任意的
B.零向量和任何向量都是共线向量
C.相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
D. // ， // ，则 //
4.在正方体 1 1 1 1中，异面直线 1 与 1 所成的角为( )
A. 6 B.

4 C.

3 D. 2
5.如图所示，已知在正方形 中， ， 分别是边 ， 的中点， 与 交于点 .设 = , = ，
下列选项错误的是( )
A. =
B. = + 1 2
C. = 12

D. ⊥
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6.已知样本空间 = { , , , }，事件 = { , }，事件 = { , }，则下列选项错误的是( )
A. ( ) = 12 B. ( ) =
1
2
C.事件 与事件 独立 D.事件 与事件 互斥
7 .如图，在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 2 , = 4, = 2, 1 = 4，点 在棱 上，求 1 +
的最小值( )
A. 4 + 2 5
B. 4 2 + 2
C. 2 5 + 2 2
D. 2 13
8.某市圆形花圃，现要均分成 24 块，种植 24 种不同花卉，工匠计划将花圃按图 1 方式分割.先将花圃均分
成 8 1块，在按照图 2 将每个8角花圃近似的均分成三块(三部分面积近似均等)，从弧 的中点 出发，左右
对称分割，已知图 2 中 = ， = ， = = = ，则 的长度最接近(sin 8 ≈ 0.4, ≈ 3.1)( )
A. 12 B.
1
3 C.
1
4 D.
1
5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， 为不重合的两平面， ， 为不重合的两直线，则下列说法正确的是( )
A. ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
B. // ， // ， ， ， ∩ = ，则 //
C. // ， // ，则 //
D. ⊥ ， ⊥ ，则 //
10.已知复数 1 = 1 + ， 2 = 2 2 ，则下列说法正确的是( )
A. | 1 + 2| = 10 B. 1 2对应的点在复平面的第三象限
C. 3 = 1 × 2，则 3为实数 D. =
1
4 ，则 4为纯虚数2
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11.在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为 ，作
用在行李包上的两个拉力分别为 1, 2，且| 1| = | 2|, 1与 2的夹角为 ∈ (0, ).给出以下结论，其中正确的
是( )
A. 越大越费力， 越小越省力
B. 当 = 3时，|
1| = | |
C. = 当 2时，| 1| = 2| |
D. = 2 当 3时，|
1| = | |
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1, ), = ( 4, )，若 ⊥ ，则 = ______．
13.3 + 是关于 的方程 2 6 + = 0 的一个根，则实数 =______．
14.正四面体 的棱长为 8， 为棱 的中点，过点 作正四面体 外接球的截面，则截面面积的最
小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ( + ) = ( )( + )．
(1)求角 ；
(2)若 = 3 3 3，△ 的面积为 4 ，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
2025 年 选秀大会，我国选手杨瀚森将参加选秀，为备战选秀，运动员参加了联合试训，其中甲、乙两
位运动员开展了队内三分投篮对抗赛.在对抗赛中两人每轮投篮 10 次，共进行 10 轮，每轮命中的成绩(个
数)如下：
甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10
乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8
(1)求甲运动员的样本数据第 75 百分位数；
(2)分别计算这两位运动员每轮投篮成绩的平均数和方差；
(3)根据第二问结果回答下列问题：甲、乙两位运动员谁的发挥更稳定，为什么？
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17.(本小题 15 分)
一个不透明的袋中装有除了颜色外大小、质地均一致的 4 个小球，其中 3 个红球，1 个白球，设计了两个
摸球游戏，其规则如表所示：
游戏 1 游戏 2
摸球方式不放回依次摸 2 球 有放回依次摸 2 球
获胜规则若摸出 2 个红球，则甲获胜，否则乙获胜
(1)写出游戏 1 与游戏 2 的样本空间，并分别求出在游戏 1 与游戏 2 中甲获胜的概率；
(2)甲与乙两人玩游戏 1，约定每局胜利的人得 2 分，否则得 0 分，先得到 4 分的人获得比赛胜利，则游戏
结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率．
18.(本小题 17 分)
如图，已知三棱锥 中，平面 //平面 1 1 1， ⊥平面 ， 为 的中点，△ 为等边三角
形， 1为 中点， = = 4．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求直线 1与平面 所成角的大小；
(3)求二面角 1 的正切值．
19.(本小题 17 分)
已知 为坐标原点，对于函数 ( ) = + ，称向量 = ( , )为函数 ( )的相伴特征向量，同时
称函数 ( )为向量 的相伴函数．
(1)记向量 = ( 2, 2)的相伴函数为 ( )，若当 ( ) = 2且 ∈ (0, )时，求 的值；
(2)设 ( ) = 3cos( + 3 ) + sin( +

3 )( ∈ )，试求函数 ( )的相伴特征向量
，并求出与 同向的单
位向量；
(3)已知 = (1,0) 为函数 ( )的相伴特征向量，若在△ 中， = 2, = ( 3 )，若点 为该△
的外心，求 + 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.±2
13.10
14.16
15.(1)因为 ( + ) = ( )( + )，
所以 ( + ) = ( )( + ) = 2 2，
整理可得 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2
所以 = 2 =

2 =
1
2，
又 0 < < ，
2
所以 = 3；
(2) = 1由题意可得 △ 2 =
3
4 =
3 3
4 ，
解得 = 3，
所以 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 + = ( + )2 = ( + )2 3 = 9，
解得 + = 2 3，
所以△ 的周长为 + + = 3 + 2 3．
16.(1)甲运动员的成绩从小到大排列为 4，4，5，6，7，7，8，9，10，10，
因为 10 × 75% = 7.5，
所以甲运动员的样本数据第 75 百分位数为 9；
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(2) 4+4+5+6+7+7+8+9+10+10由题意可知，甲的平均数为 10 = 7，
1
所以方差为 2 2 2 2 2 2 2 21 = 10 [(4 7) + (7 7) + (6 7) + (5 7) + (4 7) + (9 7) + (10 7) + (7
7)2 + (8 7)2 + (10 7)2] = 4.6，
7+5+8+6+7+9+7+6+7+8
乙的平均数为 10 = 7，
方差为 2 = 1 [(7 7)2 + (5 7)2 + (8 7)2 + (6 7)22 10 + (7 7)
2 + (9 7)2 + (7 7)2 + (6 7)2 +
(7 7)2 + (8 7)2] = 1.2；
(3)由(2)知：甲的方差 21 = 4.6，乙的方差 22 = 1.2，
所以 21 > 22，
故乙发挥的更加稳定．
17.(1)根据题意，记三个红球为 1，2，3，记白球为 ，用( , )表示两次摸球的情况，
记游戏 1 与游戏 2 的样本空间分别为 1， 2
1 = {(1,2)，(1,3)，(1, )，(2,1)，(2,3)，(2, )，(3,1)，(3,2)，(3, )，( , 1)，( , 2)，( , 3)}
2 = {(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1, )，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2, )，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3, )，( , 1)，( , 2)，
( , 3)，( , )}
记 1 =“在游戏 1 中甲获胜”，记 2 =“在游戏 2 中甲获胜”，
在游戏 1 中甲获胜，即甲摸出 2 个红球，
则 1 = {(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，
( )
故 ( 1) = 1 ( ) =
6 1
12 = 2，1
在游戏 2 中甲获胜，即甲摸出 2 个红球，
则 2 = {(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}，
故 ( 2) =
( 2) = 9 ( ，2) 16
(2)根据题意，记 =“甲获得第 局游戏胜利”， = 1，2，3，记 =“甲获得比赛胜利”
1 1
由(1)， ( ) = 2 , ( ) = 2 , = 1,2,3，

( ) = ( 1 2 ∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3) = ( 1 2) + ( 1 2 3) + ( 1 2 3)

= ( 1) ( 2) + ( 1) ( 2) ( 3) + ( 1) ( 2) ( 3)．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 2 × 2 + 2 × 2 × 2+ 2 × 2 × 2 = 2
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18.(1)证明：因为△ 为等边三角形， 为 的中点，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 、 平面 ，
故 ⊥平面 ．
(2)取线段 的中点 ，连接 1 ，如下图所示：
因为 1、 分别为 、 的中点，所以 1 // ，
因为 ⊥平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，
故∠ 1为直线 1与平面 所成角，
因为平面 //平面 1 1 1，平面 ∩平面 = ，
平面 ∩平面 1 1 1 = 1 1，所以 1 1// ，
因为 1为 的中点，故 B 1为 的中点，

又因为△ 为等边三角形，故∠ 1 = 6，

因此，直线 1与平面 所成角为6．
(3)连接 ，分别取 、 的中点 、 ，连接 1G、 、 1 ，如下图所示：
因为 1、 分别为 、 的中点，所以 1 // ，
1 =
1
2 =
1
2
2 2 = 3，
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同理可得 // ， = 12 = 2，
因为 ⊥平面 ，所以 1 ⊥平面 ，
因为 、 平面 ，所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
又因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 1 ∩ = ， 1G、 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
因为 1 平面 1 ，所以 1 ⊥ ，
故∠ 1 为二面角 1 的平面角，
且 tan∠ = 1 31 ， = 2
因此，二面角 1 的正切值为
3．
2
19.(1)根据题意知，向量 = ( 2, 2)的相伴函数为：
( ) = 2 + 2 = 2 ( + 4 )，
( ) = 2 ( + 当 4 ) = 2时，sin( +
2
4 ) = 2 ，
∈ (0, ) 5 又 ，则 + 4 ∈ ( 4 , 4 )，
所以 + 3 4 = 4，解得 = 2．
(2) 因为 ( ) = 3cos( + 3 ) + sin( + 3 )

= 3( 3 3 ) + 3 + 3
3 3 1 3
= 2 2 + 2 + 2
= + 3 ，
所以函数 ( )的相伴特征向量 = ( 1, 3)，
1 1 3则与 同向的单位向量为
|
= 2 ( 1, 3) = ( 2 ,| 2 ).
(3)由题意得， ( ) = ，
在△ 中， = 2， = ( 3 ) = sin
= 33 2 ，
又 0 < < ，所以 = 6，
设△ 外接圆半径为 ，根据正弦定理， = 2 = 4，解得 = 2，
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所以| | = | | = | | = 2，
所以 + = ( ) + ( ) ( )
= +
2
+
= 2 +
2
+ = 8 ∠ + 4 ∠ + 4，
又 = 6，所以∠ = 2 = 3，cos∠ = cos
= 13 2，
代入可得 + = 6 8 ∠ ，
所以当∠ = 时， + 取得最大值 14．
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