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四川成都市郊区联考2024-2025学年七年级下学期数学期末试卷
1．（2025七下·成都期末）许多高校的校微设计都蕴含着数学的美感，下列四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025七下·成都期末）下列事件中，说法正确的是（　　）
A．打开电视，正在播放动画片是必然事件
B．两直线平行，同旁内角相等
C．三条线段的长分别是3，4，7，正好能构成三角形
D．同位角相等，两直线平行
3．（2025七下·成都期末）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=68°，∠2=51°，要使木条ａ与b平行，木条ａ需顺时针旋转的度数是（　　）
A．13° B．15° C．17° D．19°
4．（2025七下·成都期末）下列运算中，正确的是（　　）
A．3a2-a2=2a B．（a+b）2=a2+b2
C．a3b2÷a2=a D．（a2b）2=a4b2
5．（2025七下·成都期末）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中不成立的是（　　）
A．BC=DE B．∠BAD=∠CDE C．DA平分∠BAE D．∠CAE=∠CDE
6．（2025七下·成都期末）通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点，如图，箭头所画的是光线的方向，点F是凸透镜的焦点，AC//BD//OF，若∠ACF=151°，∠BDF=160°，则∠CFD的度数是（　　）
A．9° B．10° C．11° D．12°
7．（2025七下·成都期末）“儿子学成今日返，儿子已到父未到，父亲到后细端详，父子高兴把家还，”如图，用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下列图象与上述诗的含义大致相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·成都期末）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的各项的系数，则（a+b）2025的展开式所有项的系数和是（　　）
A．4050 B．20242 C．22024 D．22025
9．（2025七下·成都期末）计算：8x2y÷（-2x）2=　 　.
10．（2025七下·成都期末）已知方程35x-y+20=0，用含x的代数式表示y的形式为　 　.
11．（2025七下·成都期末）在直角三角形中，较小锐角的度数是较大锐角的度数的，较大锐角的度数为　 　.
12．（2025七下·成都期末）A和B两个纸箱中装有苹果和梨.A中苹果有m个，梨8个，B中苹果有10个，梨n个，从两个纸箱中摸出苹果的概率均为，则m+n=　 　.
13．（2025七下·成都期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点N和M，再以点M为圆心，线段MN为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC的延长线于点D.如果∠ACB=66°，则∠D=　 　.
14．（2025七下·成都期末）计算下列各题：
（1）；
（2）.
15．（2025七下·成都期末）先化简，再求值：[（x+2y）2-（3x+y）（3x-y）-5y2]÷（-2x），其中x=-2，y=1.
16．（2025七下·成都期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上.
（1）画出△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P使得A1P+CP的值最小，并标出点P位置.
17．（2025七下·成都期末）某校在劳动手工课上需要给作品添加花边，学生将长为20cm，宽为10cm的长方形彩纸按图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为2cm.
（1）根据题意，将表格补充完整；
彩纸张数/张 1 2 3 4 5 ……
纸条长度/cm 20 　 　 56 74 　 　 ……
（2）设x张彩纸黏合后的总长度为y厘米，写出y与x之间的关系式，并求出50张彩纸黏合后的总长度；
（3）若彩纸黏合后的总长度为2702cm，请问需要多少张彩纸？
18．（2025七下·成都期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC的延长线上，∠ADB=∠BAC，BE⊥AD交于AC于点F.
（1）证明：AD=BD；
（2）若∠CAD=12°，求∠BAC的度数；
（3）若△BCF为等腰三角形，求∠BAC度数.
19．（2025七下·成都期末）已知2a=16，2b=12，2c=48，则a+b-c=　 　.
20．（2025七下·成都期末）若，则的值为　 　．
21．（2025七下·成都期末）如图，在正方形ABCD中，取四条边的中点E，F，G，H，并依次连接形成四边形EFGH.若随机向正方形ABCD内投掷一枚小针，则针尖落在四边形EFGH内的概率为　 　.
22．（2025七下·成都期末）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的面积之和为52，若DE=2，则BG=　 　.
23．（2025七下·成都期末）如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含45°的三角尺，即等腰直角△MNK和等腰直角△ABC做了一个探究活动：将MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=5，此时重叠部分四边形CEMF的面积为　 　.
24．（2025七下·成都期末）阅读：若x满足（80-x）（x-60）=30，求（80-x）2+（x-60）2的值.
解：设80-x=a，x-60=b，
则（80-x）（x-60）=ab=30，a+b=（80-x）+（x-60）=20，
∴（80-x）2+（x-60）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=202-2×30=340.
请仿照上述例子解决下列问题：
（1）若x满足（20-x）（x-30）=-10，求（20-x）2+（x-30）2的值；
（2）若x满足（2025-x）2+（2024-x）2=2025，求（2025-x）（2024-x）的值；
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=25，CG=40，长方形EFGD的面积是600，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）.
25．（2025七下·成都期末）如图1，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠C=90°，一点P从点A出发沿着A→B→C→D的方向以每秒2个单位的速度运动，其中CD长为10.在运动过程中，△APD的面积与时间的关系如图2所示.
（1）直接写出AB=　 　，BC=　 　；
（2）求出m与n的值；
（3）在点P的整个运动过程中，若设△APD的面积为S，请求出S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，
26．（2025七下·成都期末）如图，△ABC是等边三角形，D为平面内一点，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转α度得到线段DE，连接BD，CE.
（1）如图1，若α=60°，求BD和CE的数量关系；
（2）如图2，若α=120°，连接CD，BE，已知F是BE的中点，试判断DF与CF的位置关系并证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，M，N分别是DF，CF上的动点，且DM=CN，G是线段MN的中点，连接DG，求当DG取最小值时∠GDC的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：轴对称图形的定义：一个图形沿某条直线折叠后两边能完全重合，这样的图形叫轴对称图形。根据轴对称的定义进行判断即可，第1个图和第3个图为轴对称图形，其它两个不是轴对称图形，所以轴对称图形的个数为2个.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义，沿某条直线折叠后两边完全重合，逐一判断即可解决.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；事件的分类；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A：打开电视，正在播放动画片是随机事件，不是必然事件，故A选项错误；
B：根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，故B选项错误；
C：根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，而3+4=7，不符合三边关系，不能构成三角形，故C选项错误；
D：同位角相等，两直线平行为平行线的判定方法1，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了常见的概念和定理，对照学习的定义和定理逐一进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵∠1与∠2为同位角，要使木条a与b平行，∠1=∠2才行，
∵∠1=68°，∠2=51°，
顺时针旋转的度数为∠1-∠2=17°.
故选：C.
【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，结合木条的旋转，要使木条a与b平行，∠1=∠2才行，然后根据已知条件，计算得出旋转的度数.
4．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，故A选项错误；
B：，故B选项错误；
C：，故C选项错误；
D：积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了整式的运算和幂的运算，掌握整式的运算法则，对选项进行逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴BC=DE，故A选项正确；
∵，
∴AB=AD，∠ABD=∠ADE，
∵∠ADC=∠ABD+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，故选项B正确；
∵，
∴∠E=∠C，∴∠CDE=∠CAE，故选D正确；
∵∠CDE=∠CAE=∠BAD
∴∠BAD=∠CAE，故DA是不平分∠BAE，故选项C错误.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，然后结合三角形的外角得出∠CDE=∠BAD，再根据三角形的内角和，得出∠CDE=∠CAE，进而对选项逐一判断即可.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵AC//BD//OF，
∴∠BDF+∠EFF'=180°，∠ACF+∠CFF'=180°，
∵∠ACF=151°，∠BDF=160°；
∴∠CFF'=29°，∠DFF'=20°；
∴∠CFD=∠CFF'-∠DFF'=9°；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，利用性质得到∠CFF'和∠DFF'的度数，再根据∠CFD=∠CFF'-∠DFF'即可求解.
7．【答案】A
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据诗句含义，儿子从学校发出，父亲从家出发，儿子先到指定位置，父新晚到一会，然后两者在距家约定地点相遇，后耽误了一会，再一起回家，结合图象可知，从原点出发的是父亲，晚到指定地点，x轴表示是时间，y轴表示是为离家的距离，故只有A选项符合题意.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了函数图象表示实际问题，解决本题的关键是理解诗句意思，结合函数图象中x轴和y轴的含义进行分析，从而得出答案.
8．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：理解题意，根据图象可知，的展开式中所有系数的和为，的展开式中所有系数的和为，的展开式中所有系数的和为，的展开式中所有系数的和为......以此类推的展开式中所有系数的和为，故的展开式中所有系数的和为；
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了数式规律问题，根据图中给出的示例，得出当n=0，1，2，3时，展开式的各项系数的和的规律，进而推导出当n=2025时的结果即可.
9．【答案】2y
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：2y.
【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，先将除式乘方后，再利用单项式除以单项式法则进行运算即可.
10．【答案】y=35x+20
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，用含x的式子表示y，即是将含y的项移动到等式左右，其余移到等式右边，然后再将y的系数化为1得，，进一步整理得：.
故答案为：.
【分析】本题考查的是等式的性质，按题意用含x的式子表示y，即是将含y的项移动到等号左边，其它项移动到等号右边，然后利用等式的性质2进行变形即可.
11．【答案】60°
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在直角三角形中，两个锐角的和为90°，设较小的锐为x，则较大的锐角为2x，
根据题意可以列出方程：x+2x=90
解得：x=30，则2x=60，即较大的锐角度数为60°.
故答案为：60°.
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质：直角三角形中两个锐角互余，结合题意列出方程，进行求解即可.
12．【答案】18
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意得列：
解得：m=10，n=8；
则m+n=18.
故答案为：18.
【分析】本题主要考查了概率公式，随机事件的概率等于事件发生的情况除全部情况，根据题意列出方程，求出m和n的值，进行计算m+n即可.
13．【答案】42°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由题意可知，∠BAC=∠DAC，
∵∠B=90°，∠ACB=66°，
∴∠BAC=∠DAC=90°-66°=24°，
∵∠ACB=∠D+∠DAC，
∴∠D=∠ACB-∠DAC=66°-24°=42°；
故答案为：42°.
【分析】本题主要考查了尺规作图-做一个角等于已知角，得到∠DAC=∠BAC，然后利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由三角形外角的性质，即可得出∠D.
14．【答案】（1）解：原式=2025×1+4×1
=2029；
（2）解：原式=x2-4-(2x2+5x-3)+x
=x2-4-2x2-5x+3+x
=-x2-4x-1
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【分析】(1)根据实数的运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，尤其注意任何非零数的0次幂为1，负整数指数幂的计算；
(2)运用整式的乘法的法则进行计算即可，先利用乘法公式和多项式乘多项式法则将前两项展开，接着合并同类项即可.
15．【答案】解：原式=(x2+4xy+4y2-9x2+y2-5y2)÷(-2x)
=(-8x2+4xy)÷(-2x)
=4x-2y，
∵x=-2，y=1，
原式=-2×4-2×1
=-10.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先运用整式的乘法公式和多项式乘多项式的法则将中括内部展开，接着合并同类项，再利用多项式除以单项式法则计算结果，最后代入求值.
16．【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1为所求作的图形：
（2）解：
=10-1.5-2
=6.5；
（3）解：如图所示，点P为所求作的点.见解析；
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：(1)如图，根据轴对称图形的性质，依次找到点A，B，C关于直线l的对称点A1，B1，C1，然后连接A1B1C1即可.
(3)因为点P在直线l上，A1和C在l同侧，根据“将军饮马”模型，找到点A1关于直线l的对称点A，连接AC与直线l交于点P，此时A1P+CP的值最小.
【分析】本题主要考查了作轴对称图形，网格中几何图形的面积，线段和最值问题，对于(1)根据作轴对称图形的步骤，依次找到关键点的对称点，连接即可；对于(2)利用割补法，将的面积补成一个梯形的面积减去两个直角三角形即可；对于(3)根据“将军饮马”的模型，作出点A1的对称点，连接AC与直线l交点即是点P.
17．【答案】（1）38；92
（2）解：y=20+18(x-1)
=18x+2，
当x=50时，y=18×50+2=902，
∴50张彩纸黏合后的总长度为902cm；
（3）解：当y=2702时，2702=18x+2，x=150，
∴需要150张彩纸.
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由图示可知两张彩纸黏合部分的宽为2cm，所以当彩纸有两张时纸条长度为20+20-2=38cm；
当彩纸张数为5张时，有四处重合部分，故纸条长度为，
故第1空为：38，第2空为92.
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据题意，结合表格进行分析；
（1）结合图形，2张彩纸有1个重复的花边，5张彩纸有4个重复的花边，计算即可；
（2）根据表格里数据，得出y关于x的函数关系式，然后求出当x=50时函数值即可；
（3）已知函数值，代入即可得自变量的值；
18．【答案】（1）证明：在△ABC与△ABD中，
∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠ADB+∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ADB=∠BAC，
∴∠ACB=∠BAD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠BAD=∠ABC，
∴AD=BD；
【另解】
∵∠ACB是∠ACD的一个外角，
∴∠ACB=∠D+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ABC=∠BAD，
∴AD=BD；
（2）解：由（1）可得AD=BD，
又∵AB=AC，∠ADB=∠BAC，
∴∠DAB=∠DBA=∠ABC=∠ACB，
∵∠CAD=12°，
∴∠DAB=∠BAC+12°，
在∠ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
则2(∠BAC+12°)+∠BAC=180°，
∴∠BAC=52°；
（3）解：①当时，，
设，
在中，，
在中，，
∴在中，
，
由（1）可知，
，
，即；
②当时，，
设，
，
，
，是△ACD的外角，
，
∵∠AEF=90°，
∴∠EAF+∠AFE=90°，
即，，即；
③当BF=CF时，此时与题意不符；
综上所述，∠BAC的度数为36°或45°.
【知识点】三角形的综合；等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和分类讨论；
(1)要证明AD=BD，只要证明∠BAD=∠ABC，利用等角对等边即可，题目已知AB=AC，∠ADB=∠BAC，可得∠ACB=∠BAD，接着等量代换即可得到∠BAD=∠ABC，另外还可利用三角形的外角的性质，同样可以得到；
(2)由(1)得到AD=BD，然后得到∠DAB与∠BAC的关系，进而利用三角形的内角和，即可求出∠BAC的度数；
(3)根据意题分三种情况讨论：当BC=BF时；当BC=CF时；当BF=CF时，列方程进行求解即可.
19．【答案】2
【知识点】同底数幂乘法的逆用；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴a+b-c=2
故答案为：2.
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法与除法的逆运算，，即可得出的值，进行得出a+b-c的值.
20．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴m=-3，n=2，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出，再求出m=-3，n=2，最后代入计算求解即可。
21．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，
∵ E，F，G，H为四条边的中点，
∴AE=AF=BF=BG=CG=CH=DH=DE=a，
∴，，
∴，
由概率公式知，针尖落在四边形EFGH内的概率为：
故答案为：.
【分析】本题主要考查了概率公式，针尖落在四边形EFGH的概率即是四边形EFGH的面积与正方形ABCD面积的比值.
22．【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，
∵ 正方形ABCD和正方形CGFE的面积之和为52，DE=2 ，
∴a-b=2，a2+b2=52，BG=a+b，
∴2(a2+b2)-(a-b)2=(a+b)2，
∴BG2=2×52-22=100，
∴BG=10，
故答案为：10.
【分析】本题主要考查了乘法公式-完全平方公式的应用，根据题意设大小正方形的边长，得出DE=a-b，BG=a+b，a2+b2=52，然后利用完全平方公式变形，得出BG的值.
23．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；面积及等积变换
【解析】【解答】解：连接CM，
∵M是AB的中点，三角形ABC为等腰直角三角形，
∴CM=AM=BM，∠NMK=∠C=90°，∠MCE=∠A=45°，
∴∠MFC+∠MEC=180°，∠MFA+∠MFC=180°，
∴∠MFA=∠MEC
∴，
∴，
∵ AC=BC=5，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，通过连接CM，证明，将阴影部分面积转化为面积的一半，进而得出答案.
24．【答案】（1）解：(20-x)2+(x-30)2=[(20-x)+(x-30)]2-2(20-x)(x-30)
=102-2×(-10)
=120；
（2）解：
（3）解：，，
∵长方形EFGD的面积是600
，
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)阅读材料，仿照材料中的方法将(20-x)2+(x-30)2=[(20-x)+(x-30)]2-2(20-x)(x-30)，进入代入求解即可；
（2）仿照材料中的作法，将 （2025-x）（2024-x） 转化为，进而代入求解；
（3）结合图形，利用正方形和矩形的性质，表示出DE=FG=x-25，EF=DG=x=40，结合长方形EFGD的面积得到方程，然后利用材料中的方法进行变形求解即可.
25．【答案】（1）6；8
（2）解：当点P运动到点C时，
△APD的面积达到最大，即为m的值，
根据三角形面积公式有S△APD=×CD×BC，
可得m=×10×8=40，
∵点P从点A出发沿A→B→C→D运动，
AB=6，BC=8，CD=10，
总路程s=6+8+10=24，
∴n==12
综上所述，m=40，n=12；
（3）解：①当时，点P在AB上运动，
以AP为底边，BC为高，，
根据三角形面积公式有，
；
②当时，点P在BC上运动，
BP=2t-6，PC=14-2t，
，
，
，
，
；
③当时，点P在CD上运动，
DP=(6+8+10)-2t=24-2t，
，
；
综上，S与t的函数关系式为
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）由题意可知点P的运动速度为每秒2个单位长度，从图象可以看出在第3秒时面积的增长发生变化，即第3秒点P运动到了点B的位置，故；
图象可知当时间为7秒时， △APD的面积开始减少，此时点P运动到点C的位置，故，
故第1空为：6；第2空为：8.
【分析】本题主要考查了函数图象的应用，一次函数实际应用，分段函数；
（1）理解题意，结合图象，根据点P的速度为每秒两个单位，当点P运动3秒时，到达点B，则可求出AB的长，当点P运动7秒时，到达点C，则可求出BC的长；
（2）当点P运动到点C时，△APD的面积达到最大，即为m的值，结合三角形面积公式，由（1）知BC的长，即可求出m的值，当点P运动到点D时△APD的面积为0，然后求出AB+BC+CD，为总路程，然后求出运动时间；
（3）分三段，点P在AB上；点P在BC上；点P在CD上，分别求出△APD的面积，进入确定函数解析式即可.
26．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴AD=AE，，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，，
∵∠DAE=∠DAB-∠BAE=60°，
∠BAC=∠EAC-∠BAE=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴BD=CE；
（2）解：如图，延长DF至点H，使FH=DF，连接BH，CH，
易得△DEF≌△HBF(SAS)，
∴DE=BH，∠FDE=∠BHF，
∵∠EDF+∠ADF=∠ADE=120°，
∴∠DHA+∠ADH=∠ADE=120°，
∴∠DAB=180°-(∠DHA+∠ADH)=60°，
∴∠DAC=∠DAB+∠CAB=120°，
∴∠CBH=180°-∠ABC=120°，
∴∠CAD=∠CBH，
在△CAD和△CBH中，
∴△CAD≌△CBH(SAS)，
∴CD=CH，
∵DF=HF，
∴CF⊥DF；
（3）解：延长DG至点Q，使DG=QG，连接QN，QC，
易得△DMG≌△QNG，
∴DM=QN，∠MDG=∠NQG，
∴DM//QN，
∴∠QNC=∠DFC=90°，
∵DM=CN，
∴QN=CN，
∴△ONC为等腰直角三角形，
∴∠QCN=45°，
由（2）得，△CBH≌△CAD(SAS)，
：.∠ACD=∠BCH，
：.∠DCH=∠ACB=60°，
∴△CDH为等边三角形，
∴∠CDF=60°，
∵CF⊥DF，
∴∠DCF=30°，
∴∠DCQ=∠DCF+∠NCQ=75°，
当DQ⊥CQ时，
DQ取最小值，即DG=DQ取最小值，
此时∠GDC=90°-75°=15°.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；三角形的综合；手拉手全等模型
【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，“手拉手”模型；
（1）根据旋转角为60°，可知三角形ADE为等边三角形，利用等边三角形的性质，证明△DAB≌△EAC，从而得到对应边相等；
（2）根据题意，延长DF至点H，使FH=DF，连接BH，CH，易得△DEF≌△HBF，然后利用全等三角形的性质，得到DE=BH，∠FDE=∠BHF，进而利用三角形的内角和，等量代换，证明△CAD≌△CBH，从而利用等腰三角形的三线合一，证明DF与CF的位置关系；
（3）在（2）的基础上，延长DG至点Q，使DG=QG，连接QN，QC，得△DMG≌△QNG，从而得到△ONC为等腰直角三角形，由（2）得，△CBH≌△CAD，得到△CDH为等边三角形，求出∠DCQ的度数，当DQ⊥CQ时，DQ取最小值，即DG=DQ取最小值，进而求出此时∠GDC的度数.
1 / 1四川成都市郊区联考2024-2025学年七年级下学期数学期末试卷
1．（2025七下·成都期末）许多高校的校微设计都蕴含着数学的美感，下列四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：轴对称图形的定义：一个图形沿某条直线折叠后两边能完全重合，这样的图形叫轴对称图形。根据轴对称的定义进行判断即可，第1个图和第3个图为轴对称图形，其它两个不是轴对称图形，所以轴对称图形的个数为2个.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义，沿某条直线折叠后两边完全重合，逐一判断即可解决.
2．（2025七下·成都期末）下列事件中，说法正确的是（　　）
A．打开电视，正在播放动画片是必然事件
B．两直线平行，同旁内角相等
C．三条线段的长分别是3，4，7，正好能构成三角形
D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；事件的分类；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A：打开电视，正在播放动画片是随机事件，不是必然事件，故A选项错误；
B：根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，故B选项错误；
C：根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，而3+4=7，不符合三边关系，不能构成三角形，故C选项错误；
D：同位角相等，两直线平行为平行线的判定方法1，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了常见的概念和定理，对照学习的定义和定理逐一进行判断即可.
3．（2025七下·成都期末）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=68°，∠2=51°，要使木条ａ与b平行，木条ａ需顺时针旋转的度数是（　　）
A．13° B．15° C．17° D．19°
【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵∠1与∠2为同位角，要使木条a与b平行，∠1=∠2才行，
∵∠1=68°，∠2=51°，
顺时针旋转的度数为∠1-∠2=17°.
故选：C.
【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，结合木条的旋转，要使木条a与b平行，∠1=∠2才行，然后根据已知条件，计算得出旋转的度数.
4．（2025七下·成都期末）下列运算中，正确的是（　　）
A．3a2-a2=2a B．（a+b）2=a2+b2
C．a3b2÷a2=a D．（a2b）2=a4b2
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，故A选项错误；
B：，故B选项错误；
C：，故C选项错误；
D：积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了整式的运算和幂的运算，掌握整式的运算法则，对选项进行逐一判断即可.
5．（2025七下·成都期末）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中不成立的是（　　）
A．BC=DE B．∠BAD=∠CDE C．DA平分∠BAE D．∠CAE=∠CDE
【答案】C
【知识点】全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴BC=DE，故A选项正确；
∵，
∴AB=AD，∠ABD=∠ADE，
∵∠ADC=∠ABD+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，故选项B正确；
∵，
∴∠E=∠C，∴∠CDE=∠CAE，故选D正确；
∵∠CDE=∠CAE=∠BAD
∴∠BAD=∠CAE，故DA是不平分∠BAE，故选项C错误.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，然后结合三角形的外角得出∠CDE=∠BAD，再根据三角形的内角和，得出∠CDE=∠CAE，进而对选项逐一判断即可.
6．（2025七下·成都期末）通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点，如图，箭头所画的是光线的方向，点F是凸透镜的焦点，AC//BD//OF，若∠ACF=151°，∠BDF=160°，则∠CFD的度数是（　　）
A．9° B．10° C．11° D．12°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵AC//BD//OF，
∴∠BDF+∠EFF'=180°，∠ACF+∠CFF'=180°，
∵∠ACF=151°，∠BDF=160°；
∴∠CFF'=29°，∠DFF'=20°；
∴∠CFD=∠CFF'-∠DFF'=9°；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，利用性质得到∠CFF'和∠DFF'的度数，再根据∠CFD=∠CFF'-∠DFF'即可求解.
7．（2025七下·成都期末）“儿子学成今日返，儿子已到父未到，父亲到后细端详，父子高兴把家还，”如图，用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下列图象与上述诗的含义大致相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据诗句含义，儿子从学校发出，父亲从家出发，儿子先到指定位置，父新晚到一会，然后两者在距家约定地点相遇，后耽误了一会，再一起回家，结合图象可知，从原点出发的是父亲，晚到指定地点，x轴表示是时间，y轴表示是为离家的距离，故只有A选项符合题意.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了函数图象表示实际问题，解决本题的关键是理解诗句意思，结合函数图象中x轴和y轴的含义进行分析，从而得出答案.
8．（2025七下·成都期末）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的各项的系数，则（a+b）2025的展开式所有项的系数和是（　　）
A．4050 B．20242 C．22024 D．22025
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：理解题意，根据图象可知，的展开式中所有系数的和为，的展开式中所有系数的和为，的展开式中所有系数的和为，的展开式中所有系数的和为......以此类推的展开式中所有系数的和为，故的展开式中所有系数的和为；
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了数式规律问题，根据图中给出的示例，得出当n=0，1，2，3时，展开式的各项系数的和的规律，进而推导出当n=2025时的结果即可.
9．（2025七下·成都期末）计算：8x2y÷（-2x）2=　 　.
【答案】2y
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：2y.
【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，先将除式乘方后，再利用单项式除以单项式法则进行运算即可.
10．（2025七下·成都期末）已知方程35x-y+20=0，用含x的代数式表示y的形式为　 　.
【答案】y=35x+20
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，用含x的式子表示y，即是将含y的项移动到等式左右，其余移到等式右边，然后再将y的系数化为1得，，进一步整理得：.
故答案为：.
【分析】本题考查的是等式的性质，按题意用含x的式子表示y，即是将含y的项移动到等号左边，其它项移动到等号右边，然后利用等式的性质2进行变形即可.
11．（2025七下·成都期末）在直角三角形中，较小锐角的度数是较大锐角的度数的，较大锐角的度数为　 　.
【答案】60°
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在直角三角形中，两个锐角的和为90°，设较小的锐为x，则较大的锐角为2x，
根据题意可以列出方程：x+2x=90
解得：x=30，则2x=60，即较大的锐角度数为60°.
故答案为：60°.
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质：直角三角形中两个锐角互余，结合题意列出方程，进行求解即可.
12．（2025七下·成都期末）A和B两个纸箱中装有苹果和梨.A中苹果有m个，梨8个，B中苹果有10个，梨n个，从两个纸箱中摸出苹果的概率均为，则m+n=　 　.
【答案】18
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意得列：
解得：m=10，n=8；
则m+n=18.
故答案为：18.
【分析】本题主要考查了概率公式，随机事件的概率等于事件发生的情况除全部情况，根据题意列出方程，求出m和n的值，进行计算m+n即可.
13．（2025七下·成都期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点N和M，再以点M为圆心，线段MN为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC的延长线于点D.如果∠ACB=66°，则∠D=　 　.
【答案】42°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由题意可知，∠BAC=∠DAC，
∵∠B=90°，∠ACB=66°，
∴∠BAC=∠DAC=90°-66°=24°，
∵∠ACB=∠D+∠DAC，
∴∠D=∠ACB-∠DAC=66°-24°=42°；
故答案为：42°.
【分析】本题主要考查了尺规作图-做一个角等于已知角，得到∠DAC=∠BAC，然后利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由三角形外角的性质，即可得出∠D.
14．（2025七下·成都期末）计算下列各题：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式=2025×1+4×1
=2029；
（2）解：原式=x2-4-(2x2+5x-3)+x
=x2-4-2x2-5x+3+x
=-x2-4x-1
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【分析】(1)根据实数的运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，尤其注意任何非零数的0次幂为1，负整数指数幂的计算；
(2)运用整式的乘法的法则进行计算即可，先利用乘法公式和多项式乘多项式法则将前两项展开，接着合并同类项即可.
15．（2025七下·成都期末）先化简，再求值：[（x+2y）2-（3x+y）（3x-y）-5y2]÷（-2x），其中x=-2，y=1.
【答案】解：原式=(x2+4xy+4y2-9x2+y2-5y2)÷(-2x)
=(-8x2+4xy)÷(-2x)
=4x-2y，
∵x=-2，y=1，
原式=-2×4-2×1
=-10.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先运用整式的乘法公式和多项式乘多项式的法则将中括内部展开，接着合并同类项，再利用多项式除以单项式法则计算结果，最后代入求值.
16．（2025七下·成都期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上.
（1）画出△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P使得A1P+CP的值最小，并标出点P位置.
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1为所求作的图形：
（2）解：
=10-1.5-2
=6.5；
（3）解：如图所示，点P为所求作的点.见解析；
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：(1)如图，根据轴对称图形的性质，依次找到点A，B，C关于直线l的对称点A1，B1，C1，然后连接A1B1C1即可.
(3)因为点P在直线l上，A1和C在l同侧，根据“将军饮马”模型，找到点A1关于直线l的对称点A，连接AC与直线l交于点P，此时A1P+CP的值最小.
【分析】本题主要考查了作轴对称图形，网格中几何图形的面积，线段和最值问题，对于(1)根据作轴对称图形的步骤，依次找到关键点的对称点，连接即可；对于(2)利用割补法，将的面积补成一个梯形的面积减去两个直角三角形即可；对于(3)根据“将军饮马”的模型，作出点A1的对称点，连接AC与直线l交点即是点P.
17．（2025七下·成都期末）某校在劳动手工课上需要给作品添加花边，学生将长为20cm，宽为10cm的长方形彩纸按图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为2cm.
（1）根据题意，将表格补充完整；
彩纸张数/张 1 2 3 4 5 ……
纸条长度/cm 20 　 　 56 74 　 　 ……
（2）设x张彩纸黏合后的总长度为y厘米，写出y与x之间的关系式，并求出50张彩纸黏合后的总长度；
（3）若彩纸黏合后的总长度为2702cm，请问需要多少张彩纸？
【答案】（1）38；92
（2）解：y=20+18(x-1)
=18x+2，
当x=50时，y=18×50+2=902，
∴50张彩纸黏合后的总长度为902cm；
（3）解：当y=2702时，2702=18x+2，x=150，
∴需要150张彩纸.
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由图示可知两张彩纸黏合部分的宽为2cm，所以当彩纸有两张时纸条长度为20+20-2=38cm；
当彩纸张数为5张时，有四处重合部分，故纸条长度为，
故第1空为：38，第2空为92.
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据题意，结合表格进行分析；
（1）结合图形，2张彩纸有1个重复的花边，5张彩纸有4个重复的花边，计算即可；
（2）根据表格里数据，得出y关于x的函数关系式，然后求出当x=50时函数值即可；
（3）已知函数值，代入即可得自变量的值；
18．（2025七下·成都期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC的延长线上，∠ADB=∠BAC，BE⊥AD交于AC于点F.
（1）证明：AD=BD；
（2）若∠CAD=12°，求∠BAC的度数；
（3）若△BCF为等腰三角形，求∠BAC度数.
【答案】（1）证明：在△ABC与△ABD中，
∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠ADB+∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ADB=∠BAC，
∴∠ACB=∠BAD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠BAD=∠ABC，
∴AD=BD；
【另解】
∵∠ACB是∠ACD的一个外角，
∴∠ACB=∠D+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ABC=∠BAD，
∴AD=BD；
（2）解：由（1）可得AD=BD，
又∵AB=AC，∠ADB=∠BAC，
∴∠DAB=∠DBA=∠ABC=∠ACB，
∵∠CAD=12°，
∴∠DAB=∠BAC+12°，
在∠ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
则2(∠BAC+12°)+∠BAC=180°，
∴∠BAC=52°；
（3）解：①当时，，
设，
在中，，
在中，，
∴在中，
，
由（1）可知，
，
，即；
②当时，，
设，
，
，
，是△ACD的外角，
，
∵∠AEF=90°，
∴∠EAF+∠AFE=90°，
即，，即；
③当BF=CF时，此时与题意不符；
综上所述，∠BAC的度数为36°或45°.
【知识点】三角形的综合；等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和分类讨论；
(1)要证明AD=BD，只要证明∠BAD=∠ABC，利用等角对等边即可，题目已知AB=AC，∠ADB=∠BAC，可得∠ACB=∠BAD，接着等量代换即可得到∠BAD=∠ABC，另外还可利用三角形的外角的性质，同样可以得到；
(2)由(1)得到AD=BD，然后得到∠DAB与∠BAC的关系，进而利用三角形的内角和，即可求出∠BAC的度数；
(3)根据意题分三种情况讨论：当BC=BF时；当BC=CF时；当BF=CF时，列方程进行求解即可.
19．（2025七下·成都期末）已知2a=16，2b=12，2c=48，则a+b-c=　 　.
【答案】2
【知识点】同底数幂乘法的逆用；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴a+b-c=2
故答案为：2.
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法与除法的逆运算，，即可得出的值，进行得出a+b-c的值.
20．（2025七下·成都期末）若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴m=-3，n=2，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出，再求出m=-3，n=2，最后代入计算求解即可。
21．（2025七下·成都期末）如图，在正方形ABCD中，取四条边的中点E，F，G，H，并依次连接形成四边形EFGH.若随机向正方形ABCD内投掷一枚小针，则针尖落在四边形EFGH内的概率为　 　.
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，
∵ E，F，G，H为四条边的中点，
∴AE=AF=BF=BG=CG=CH=DH=DE=a，
∴，，
∴，
由概率公式知，针尖落在四边形EFGH内的概率为：
故答案为：.
【分析】本题主要考查了概率公式，针尖落在四边形EFGH的概率即是四边形EFGH的面积与正方形ABCD面积的比值.
22．（2025七下·成都期末）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的面积之和为52，若DE=2，则BG=　 　.
【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，
∵ 正方形ABCD和正方形CGFE的面积之和为52，DE=2 ，
∴a-b=2，a2+b2=52，BG=a+b，
∴2(a2+b2)-(a-b)2=(a+b)2，
∴BG2=2×52-22=100，
∴BG=10，
故答案为：10.
【分析】本题主要考查了乘法公式-完全平方公式的应用，根据题意设大小正方形的边长，得出DE=a-b，BG=a+b，a2+b2=52，然后利用完全平方公式变形，得出BG的值.
23．（2025七下·成都期末）如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含45°的三角尺，即等腰直角△MNK和等腰直角△ABC做了一个探究活动：将MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=5，此时重叠部分四边形CEMF的面积为　 　.
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；面积及等积变换
【解析】【解答】解：连接CM，
∵M是AB的中点，三角形ABC为等腰直角三角形，
∴CM=AM=BM，∠NMK=∠C=90°，∠MCE=∠A=45°，
∴∠MFC+∠MEC=180°，∠MFA+∠MFC=180°，
∴∠MFA=∠MEC
∴，
∴，
∵ AC=BC=5，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，通过连接CM，证明，将阴影部分面积转化为面积的一半，进而得出答案.
24．（2025七下·成都期末）阅读：若x满足（80-x）（x-60）=30，求（80-x）2+（x-60）2的值.
解：设80-x=a，x-60=b，
则（80-x）（x-60）=ab=30，a+b=（80-x）+（x-60）=20，
∴（80-x）2+（x-60）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=202-2×30=340.
请仿照上述例子解决下列问题：
（1）若x满足（20-x）（x-30）=-10，求（20-x）2+（x-30）2的值；
（2）若x满足（2025-x）2+（2024-x）2=2025，求（2025-x）（2024-x）的值；
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=25，CG=40，长方形EFGD的面积是600，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）.
【答案】（1）解：(20-x)2+(x-30)2=[(20-x)+(x-30)]2-2(20-x)(x-30)
=102-2×(-10)
=120；
（2）解：
（3）解：，，
∵长方形EFGD的面积是600
，
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)阅读材料，仿照材料中的方法将(20-x)2+(x-30)2=[(20-x)+(x-30)]2-2(20-x)(x-30)，进入代入求解即可；
（2）仿照材料中的作法，将 （2025-x）（2024-x） 转化为，进而代入求解；
（3）结合图形，利用正方形和矩形的性质，表示出DE=FG=x-25，EF=DG=x=40，结合长方形EFGD的面积得到方程，然后利用材料中的方法进行变形求解即可.
25．（2025七下·成都期末）如图1，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠C=90°，一点P从点A出发沿着A→B→C→D的方向以每秒2个单位的速度运动，其中CD长为10.在运动过程中，△APD的面积与时间的关系如图2所示.
（1）直接写出AB=　 　，BC=　 　；
（2）求出m与n的值；
（3）在点P的整个运动过程中，若设△APD的面积为S，请求出S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，
【答案】（1）6；8
（2）解：当点P运动到点C时，
△APD的面积达到最大，即为m的值，
根据三角形面积公式有S△APD=×CD×BC，
可得m=×10×8=40，
∵点P从点A出发沿A→B→C→D运动，
AB=6，BC=8，CD=10，
总路程s=6+8+10=24，
∴n==12
综上所述，m=40，n=12；
（3）解：①当时，点P在AB上运动，
以AP为底边，BC为高，，
根据三角形面积公式有，
；
②当时，点P在BC上运动，
BP=2t-6，PC=14-2t，
，
，
，
，
；
③当时，点P在CD上运动，
DP=(6+8+10)-2t=24-2t，
，
；
综上，S与t的函数关系式为
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）由题意可知点P的运动速度为每秒2个单位长度，从图象可以看出在第3秒时面积的增长发生变化，即第3秒点P运动到了点B的位置，故；
图象可知当时间为7秒时， △APD的面积开始减少，此时点P运动到点C的位置，故，
故第1空为：6；第2空为：8.
【分析】本题主要考查了函数图象的应用，一次函数实际应用，分段函数；
（1）理解题意，结合图象，根据点P的速度为每秒两个单位，当点P运动3秒时，到达点B，则可求出AB的长，当点P运动7秒时，到达点C，则可求出BC的长；
（2）当点P运动到点C时，△APD的面积达到最大，即为m的值，结合三角形面积公式，由（1）知BC的长，即可求出m的值，当点P运动到点D时△APD的面积为0，然后求出AB+BC+CD，为总路程，然后求出运动时间；
（3）分三段，点P在AB上；点P在BC上；点P在CD上，分别求出△APD的面积，进入确定函数解析式即可.
26．（2025七下·成都期末）如图，△ABC是等边三角形，D为平面内一点，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转α度得到线段DE，连接BD，CE.
（1）如图1，若α=60°，求BD和CE的数量关系；
（2）如图2，若α=120°，连接CD，BE，已知F是BE的中点，试判断DF与CF的位置关系并证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，M，N分别是DF，CF上的动点，且DM=CN，G是线段MN的中点，连接DG，求当DG取最小值时∠GDC的度数.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴AD=AE，，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，，
∵∠DAE=∠DAB-∠BAE=60°，
∠BAC=∠EAC-∠BAE=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴BD=CE；
（2）解：如图，延长DF至点H，使FH=DF，连接BH，CH，
易得△DEF≌△HBF(SAS)，
∴DE=BH，∠FDE=∠BHF，
∵∠EDF+∠ADF=∠ADE=120°，
∴∠DHA+∠ADH=∠ADE=120°，
∴∠DAB=180°-(∠DHA+∠ADH)=60°，
∴∠DAC=∠DAB+∠CAB=120°，
∴∠CBH=180°-∠ABC=120°，
∴∠CAD=∠CBH，
在△CAD和△CBH中，
∴△CAD≌△CBH(SAS)，
∴CD=CH，
∵DF=HF，
∴CF⊥DF；
（3）解：延长DG至点Q，使DG=QG，连接QN，QC，
易得△DMG≌△QNG，
∴DM=QN，∠MDG=∠NQG，
∴DM//QN，
∴∠QNC=∠DFC=90°，
∵DM=CN，
∴QN=CN，
∴△ONC为等腰直角三角形，
∴∠QCN=45°，
由（2）得，△CBH≌△CAD(SAS)，
：.∠ACD=∠BCH，
：.∠DCH=∠ACB=60°，
∴△CDH为等边三角形，
∴∠CDF=60°，
∵CF⊥DF，
∴∠DCF=30°，
∴∠DCQ=∠DCF+∠NCQ=75°，
当DQ⊥CQ时，
DQ取最小值，即DG=DQ取最小值，
此时∠GDC=90°-75°=15°.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；三角形的综合；手拉手全等模型
【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，“手拉手”模型；
（1）根据旋转角为60°，可知三角形ADE为等边三角形，利用等边三角形的性质，证明△DAB≌△EAC，从而得到对应边相等；
（2）根据题意，延长DF至点H，使FH=DF，连接BH，CH，易得△DEF≌△HBF，然后利用全等三角形的性质，得到DE=BH，∠FDE=∠BHF，进而利用三角形的内角和，等量代换，证明△CAD≌△CBH，从而利用等腰三角形的三线合一，证明DF与CF的位置关系；
（3）在（2）的基础上，延长DG至点Q，使DG=QG，连接QN，QC，得△DMG≌△QNG，从而得到△ONC为等腰直角三角形，由（2）得，△CBH≌△CAD，得到△CDH为等边三角形，求出∠DCQ的度数，当DQ⊥CQ时，DQ取最小值，即DG=DQ取最小值，进而求出此时∠GDC的度数.
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