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广东省广州市天河区2025届高三下学期综合测试（三）数学试卷
1．（2025·天河模拟）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（　　）
A． B．2 C．6 D．
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解： 向量不共线 ，因为与共线，所以存在实数使得，即，解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量共线定理，列式求解即可.
2．（2025·天河模拟）已知，则（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，
则，故.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除远算求得复数，再求，再根据复数的加减法求解即可.
3．（2025·天河模拟）某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设第一排安排的座位数，
由题意可得：每排座位数构成一个公差的等差数列，且该数列的前项和，
则，解得.
故答案为：C.
【分析】设第一排安排的座位数，由题意可知，每排座位数构成一个公差的等差数列，根据等差数列的求和公式计算即可.
4．（2025·天河模拟）设是方程的两根，则（　　）
A．p B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：是方程的两根，
由韦达定理可得：，
则.
故答案为：D.
【分析】利用韦达定理结合两角和的正弦公式以及同角三角函数基本关系求解即可.
5．（2025·天河模拟）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：因为是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，
所以，，
函数，，
则，解得，，
则
.
故答案为：D.
【分析】根据函数和的奇偶性，结合，求得，，代入化简即可.
6．（2025·天河模拟）已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．36
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，
设，
因为点在抛物线上，所以，，
又因为线段的中点到轴的距离为2，所以，
由抛物线的定义可得：，
则，
因为的横坐标均大于0，所以，所以的最大值为4，
当时，即时，取最大值为9.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设，根据中点求出点的横坐标的关系，再利用抛物线的定义求得，表示，最后利用基本不等式求最大值即可.
7．（2025·天河模拟）已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可得：，即，则，解得，
则函数，
因为图象过点，所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，则函数，
因为A，B，C是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，
且，所以，所以，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】先由图象求得函数的周期，确定的值，再根据图象过点，求得，即可得函数的解析式，最后根据，结合正弦函数的性质求解即可.
8．（2025·天河模拟）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（　　）
A．A，B互斥 B．
C． D．A，B，C两两独立
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：A、由题意可知：事件同时发生，即，故A错误；
B、事件发生，不一定发生，故B错误；
C、易知，，
则，，故C错误；
D、由，，
可知事件两两独立，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用互斥事件的定义即可判断A；根据并事件的定义即可判断B；利用独立事件的定义即可判断CD.
9．（2025·天河模拟）在的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．展开式共项 B．各项系数的和为1
C．项的系数为 D．二项式系数最大的项为第项
【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A、二项式的展开式中共项，故A错误；
B、令，可得，则各项系数的和为1，故B正确；
C、展开式的通项公式为，
令，则该项系数为，故C错误；
D、由A可知：展开式有项为奇数项，则二项式系数最大的项为中间一项，即第项，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由二项式展开式的项数即可判断A；利用赋值法即可判断B；写出展开式的通项，令求解即可判断C；由二项式系数的性质即可判断D.
10．（2025·天河模拟）某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为，方差为，高三（2）班n位同学参加考试，平均分为，方差为，两个班总的平均分为，方差为，则下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可知：两个班的平均分，
方差，
A、若，则，故A正确；
B、若，则，故B正确；
C、若，则，那么
.
而，
因为正负不确定，所以不等式不一定成立，故C不正确；
D、若，，
则
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先计算两班的平均分和方差，再根据平均数的公式和方差的公式逐项分析判断即可.
11．（2025·天河模拟）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，
令，得，令，解得，
A、若，，，且时，恒成立，
时，，单调递增，，，单调递增，
，，单调递减，故A错误；
B、若，，则，且时，恒成立，
时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递减，故B正确；
C、若，，则，且时，恒成立，
时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递增，故C错误；
D、若，，则，且时，恒成立，
时，，单调递减，，，单调递减，
，，单调递增，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】求函数的定义域，再求导，分别求出函数的零点和极值点，对，在取不同符号的值的情况下可能的图象进行分类讨论，选出符合题意的图象即可．
12．（2025·天河模拟）椭圆的焦点为、，以为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于、两点，若直线与圆相切，则　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可知，圆的半径为，
因为直线与圆相切，所以，且，
在中，由勾股定理可得，
由椭圆的定义可得：，则.
故答案为：.
【分析】由题意可得，在中，利用勾股定理求出的值，再利用椭圆的定义求的值即可.
13．（2025·天河模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：若，由余弦定理可得，解得，
，由余弦定理可得，
整理可得，
因为，所以，
化简可得，即，，
则的面积.
故答案为：.
【分析】由题意，利用余弦定理化简求得与的值，根据同角三角函数以及三角形面积公式求解即可.
14．（2025·天河模拟）已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：要使取得最大值，则两球球心均在体对角线上，
且球与平面，平面，平面相切，
球与平面，平面，平面相切，
易知，，，，
则，解得.
故答案为：.
【分析】由题意，要使最大，则两球都分别与正方体体对角线顶点相邻的三个面都相切，据此列式求解即可.
15．（2025·天河模拟）为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息：
高一年级成绩分布表
成绩
人数 1 2 3 4 10
高二年级成绩频率分布直方图
（1）从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90分的概率；
（2）用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量表示这三人中成绩不低于90分的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：由题意可知：高一年级成绩成绩不低于90分的概率为；
高二年级成绩不低于90分的概率为，
则从高一和高二样本中各抽取1人，这两人的成绩都不低于90分的概率为：；
（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意，先求高一年级、高二年级成绩不低于90分的概率，再根据独立事件概率乘法公式求解即可；
（2）由题意，先确定随机变量的可能取值，再求对应的概率值，列分布列，求数学期望即可.
（1）从高一年级成绩分布表可以看出，成绩不低于90分的概率为.
从高二年级成绩频率分布直方图中可以看出，成绩不低于90分的概率为.
所以从高一和高二样本中各抽取1人，这两人的成绩都不低于90分的概率为：
.
（2）根据题意可知，的可能取值为0，1，2，3.
当时，即这三个人中成绩都低于90分，此时概率为：
.
当时，即这三个人中成绩只有1人的成绩是不低于90分的，此时概率为：
.
当时，即这三个人中成绩只有2人的成绩是不低于90分的，此时概率为：
.
当时，即这三个人的成绩都是不低于90分的，此时概率为：
.
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望为.
16．（2025·天河模拟）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，且．
（1）求证：；
（2）若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取的中点为，连接，如图所示：
易知，因为，为平面内两条相交直线，所以平面，
又因为在平面内，所以，
又因为的中点为，所以；
（2）解：过作，垂足为，由（1）平面，在平面内，
所以，为平面内两条相交直线，所以平面，即为棱柱的高，
又因为，三棱柱的体积为，
所以，又因为，所以，
又因为底面是边长为4的等边三角形，所以，
过作的平行线作为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设，则，
由，可得，即，
，
设平面的法向量为，则，
设，得，即，
设直线与平面所成角为，则.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，通过平面，得到据此证明即可；
（2）过作的平行线作为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）取的中点为，连接，
因为底面是边长为4的等边三角形，
所以，又，为平面内两条相交直线，
所以平面，又在平面内，
所以，
又的中点为，
所以，
（2）过作，垂足为，
由（1）平面，在平面内，
所以，为平面内两条相交直线，
所以平面，即为棱柱的高，
又，
三棱柱的体积为，
所以，
又，所以，
又底面是边长为4的等边三角形，
所以，
过作的平行线作为轴，为轴，建系，
则，
设，则，
由，可得，
即，
设平面的法向量为，
则，
设，得，
所以，
设直线与平面所成角为，
则
17．（2025·天河模拟）已知双曲线．
（1）若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程；
（2）若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设，
因为点在双曲线上，所以，作差可得，
即，
又因为线段AB的中点坐标为，所以，所以，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即；
（2）解：假设存在定点，使得，
设，焦点，
因为，所以，
即，化简可得，
又点在双曲线上，所以，
代入上式可得，
整理可得，因为对于恒成立，
所以且，解得，
当时，代入双曲线方程可得，
显然，此时为等腰直角三角形，也成立，
综上，.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，代入双曲线方程，由题意，利用点差法求出直线斜率，即可求得直线方程；
（2）假设存在定点，使得，利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简求解即可.
（1）设，
则，作差可得，所以，
因为线段AB的中点坐标为，所以，
所以，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
即.
（2）假设存在定点，使得.
设，焦点，
因为，所以，
即，化简可得，
又点在双曲线上，所以，
代入上式可得，
整理可得，因为对于恒成立，
所以且，解得.
当时，代入双曲线方程可得，
显然，此时为等腰直角三角形，也成立，
综上，.
18．（2025·天河模拟）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知关于x的方程有两个解
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）为正实数，若当时，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
当时，令，解得得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：（ⅰ）由，可得，即方程有两个解，
设，，且在上有两个零点，
当时，，函数在上单调递增，
则在上最多只有一个零点，不合题意；
当时，令，解得，令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，故在时取得极大值，
要使在上有两个零点，需使，即，解得，
当时，因，又，则，
又在上单调递增，所以在有唯一零点；
当时，令，则，
再令，则，
故在上单调递增，则，即，
故在上单调递增，则，
因，所以，即，即，即，
故，
又在上单调递减，故在上有唯一零点，
综上，当时，在上有两个零点，
即方程有两个解，故a的取值范围为；
（ⅱ）由（ⅰ）可得，且，故，
因，则，即，也即，
故有，设，则，于是可得，
即，
设，则，
因时，，
①当时，在上恒成立，故函数在上为增函数，
即，即在上恒成立；
②当时，，而，
当时，，
故存在，使得，使得，故在上为减函数，故，矛盾，
综上，可得，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，当时，利用导数判断导函数的符号可得的单调性即可；
（2）（ⅰ）问题转化为方程有两个解，构造，分类讨论与时的图象性质，由极大值得到，再分类讨论区间与上零点的情况确定的取值范围即可；
（ⅱ）对进行转化得，设，则，则，构造函数，证得，分类讨论与两种情况，从而确定.
（1）函数的定义域为，
则，
因，由得，由得，
即函数在上单调递增，在上单调递减.
故当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）（ⅰ）由可得，依题意方程有两个解，
设，则，且在上有两个零点.
当时，，故在上单调递增，则在上最多只有一个零点，不合题意；
当时，由得，由得，
即在上单调递增，在上单调递减，故在时取得极大值.
要使在上有两个零点，需使，即，解得.
当时，因，又，则，
又在上单调递增，所以在有唯一零点；
当时，令，则，
再令，则，
故在上单调递增，则，即，
故在上单调递增，则，
因，所以，即，即，即，
故，
又在上单调递减，故在上有唯一零点.
综上，当时，在上有两个零点，
即方程有两个解，故a的取值范围为.
（ⅱ）由（ⅰ）可得，且，故，
因，则，即，也即，
故有，设，则，于是可得，即.
设，则，
因时，，
①当时，在上恒成立，故函数在上为增函数，
即，即在上恒成立；
②当时，，而，当时，，
故存在，使得，使得，故在上为减函数，故，矛盾.
综上，可得，即.
19．（2025·天河模拟）对于数集，其中，，定义“伴随向量集”．若对任意，存在，使得，则称A为“好集”．
（1）已知数集，请写出数集的“伴随向量集”，并判断是否为“好集”（不需要证明）；
（2）若有限集为“好集”，求证：，且当时，；
（3）若有限集为“好集”，且，求．
【答案】（1）解：由“伴随向量集”的定义可得：；
，，，，，，
则对任意，存在，使得，故集合为好集；
（2）证明：取，因为集合是“好集”，所以存在，
使得，即，因为，所以，
因为，所以存在，或，，所以，
假设，取，因为集合是“好集”，所以存在，
使得，
因为，所以异号，
若，则，而，，所以不可能成立；
若，则，而，，所以不可能成立，
故假设错误，即，
又因为，且，所以；
（3）解：有限集为“好集”，且，，
所以.取，由 “好集”定义，存在，使得，
所以异号，
若，则，因为，，所以；
若，则，因为，，所以该式不成立，
类似的：考虑向量，，…，可得序列，，，…，都在集合中，
由.
【知识点】集合的含义；数列与向量的综合；反证法；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）先根据“伴随向量集”的概念写出集合，再根据“好集”的概念判断集合是否为“好集”；
（2）先取，根据“好集”的概念，可证明；在利用反证法，证明；
（3）根据“好集”的概念，探索集合中元素的构成，得到数列的结构特点，再求.
（1）根据“伴随向量集”的定义可得：
.
因为，，，，，，
所以对任意，存在，使得，故集合为“好集”.
（2）取，因为集合是“好集”，所以存在，使得，即.
因为，所以.
因为，所以存在，或，.
所以.
假设，取，因为集合是“好集”，所以存在，使得.
因为，所以异号.
若，则，而，，所以不可能成立；
若，则，而，，所以不可能成立.
故假设错误，即.
又，且，所以.
（3）有限集为“好集”，且，，所以.
取，由 “好集”定义，存在，使得，所以异号.
若，则，因为，，所以；
若，则，因为，，所以该式不成立.
类似的：考虑向量，，…，可得序列，，，…，都在集合中.
由.
1 / 1广东省广州市天河区2025届高三下学期综合测试（三）数学试卷
1．（2025·天河模拟）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（　　）
A． B．2 C．6 D．
2．（2025·天河模拟）已知，则（　　）
A． B． C．0 D．
3．（2025·天河模拟）某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为（　　）
A．18 B．19 C．20 D．21
4．（2025·天河模拟）设是方程的两根，则（　　）
A．p B． C． D．
5．（2025·天河模拟）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（　　）
A．1 B． C． D．
6．（2025·天河模拟）已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．36
7．（2025·天河模拟）已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则（　　）
A．1 B． C． D．
8．（2025·天河模拟）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（　　）
A．A，B互斥 B．
C． D．A，B，C两两独立
9．（2025·天河模拟）在的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．展开式共项 B．各项系数的和为1
C．项的系数为 D．二项式系数最大的项为第项
10．（2025·天河模拟）某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为，方差为，高三（2）班n位同学参加考试，平均分为，方差为，两个班总的平均分为，方差为，则下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．（2025·天河模拟）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025·天河模拟）椭圆的焦点为、，以为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于、两点，若直线与圆相切，则　 　．
13．（2025·天河模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为　 　．
14．（2025·天河模拟）已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为　 　．
15．（2025·天河模拟）为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息：
高一年级成绩分布表
成绩
人数 1 2 3 4 10
高二年级成绩频率分布直方图
（1）从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90分的概率；
（2）用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量表示这三人中成绩不低于90分的人数，求的分布列和数学期望．
16．（2025·天河模拟）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，且．
（1）求证：；
（2）若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（2025·天河模拟）已知双曲线．
（1）若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程；
（2）若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
18．（2025·天河模拟）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知关于x的方程有两个解
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）为正实数，若当时，都有，求的取值范围．
19．（2025·天河模拟）对于数集，其中，，定义“伴随向量集”．若对任意，存在，使得，则称A为“好集”．
（1）已知数集，请写出数集的“伴随向量集”，并判断是否为“好集”（不需要证明）；
（2）若有限集为“好集”，求证：，且当时，；
（3）若有限集为“好集”，且，求．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解： 向量不共线 ，因为与共线，所以存在实数使得，即，解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量共线定理，列式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，
则，故.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘除远算求得复数，再求，再根据复数的加减法求解即可.
3．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设第一排安排的座位数，
由题意可得：每排座位数构成一个公差的等差数列，且该数列的前项和，
则，解得.
故答案为：C.
【分析】设第一排安排的座位数，由题意可知，每排座位数构成一个公差的等差数列，根据等差数列的求和公式计算即可.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：是方程的两根，
由韦达定理可得：，
则.
故答案为：D.
【分析】利用韦达定理结合两角和的正弦公式以及同角三角函数基本关系求解即可.
5．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：因为是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，
所以，，
函数，，
则，解得，，
则
.
故答案为：D.
【分析】根据函数和的奇偶性，结合，求得，，代入化简即可.
6．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，
设，
因为点在抛物线上，所以，，
又因为线段的中点到轴的距离为2，所以，
由抛物线的定义可得：，
则，
因为的横坐标均大于0，所以，所以的最大值为4，
当时，即时，取最大值为9.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设，根据中点求出点的横坐标的关系，再利用抛物线的定义求得，表示，最后利用基本不等式求最大值即可.
7．【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可得：，即，则，解得，
则函数，
因为图象过点，所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，则函数，
因为A，B，C是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，
且，所以，所以，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】先由图象求得函数的周期，确定的值，再根据图象过点，求得，即可得函数的解析式，最后根据，结合正弦函数的性质求解即可.
8．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：A、由题意可知：事件同时发生，即，故A错误；
B、事件发生，不一定发生，故B错误；
C、易知，，
则，，故C错误；
D、由，，
可知事件两两独立，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用互斥事件的定义即可判断A；根据并事件的定义即可判断B；利用独立事件的定义即可判断CD.
9．【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A、二项式的展开式中共项，故A错误；
B、令，可得，则各项系数的和为1，故B正确；
C、展开式的通项公式为，
令，则该项系数为，故C错误；
D、由A可知：展开式有项为奇数项，则二项式系数最大的项为中间一项，即第项，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由二项式展开式的项数即可判断A；利用赋值法即可判断B；写出展开式的通项，令求解即可判断C；由二项式系数的性质即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可知：两个班的平均分，
方差，
A、若，则，故A正确；
B、若，则，故B正确；
C、若，则，那么
.
而，
因为正负不确定，所以不等式不一定成立，故C不正确；
D、若，，
则
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先计算两班的平均分和方差，再根据平均数的公式和方差的公式逐项分析判断即可.
11．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，
令，得，令，解得，
A、若，，，且时，恒成立，
时，，单调递增，，，单调递增，
，，单调递减，故A错误；
B、若，，则，且时，恒成立，
时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递减，故B正确；
C、若，，则，且时，恒成立，
时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递增，故C错误；
D、若，，则，且时，恒成立，
时，，单调递减，，，单调递减，
，，单调递增，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】求函数的定义域，再求导，分别求出函数的零点和极值点，对，在取不同符号的值的情况下可能的图象进行分类讨论，选出符合题意的图象即可．
12．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可知，圆的半径为，
因为直线与圆相切，所以，且，
在中，由勾股定理可得，
由椭圆的定义可得：，则.
故答案为：.
【分析】由题意可得，在中，利用勾股定理求出的值，再利用椭圆的定义求的值即可.
13．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：若，由余弦定理可得，解得，
，由余弦定理可得，
整理可得，
因为，所以，
化简可得，即，，
则的面积.
故答案为：.
【分析】由题意，利用余弦定理化简求得与的值，根据同角三角函数以及三角形面积公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：要使取得最大值，则两球球心均在体对角线上，
且球与平面，平面，平面相切，
球与平面，平面，平面相切，
易知，，，，
则，解得.
故答案为：.
【分析】由题意，要使最大，则两球都分别与正方体体对角线顶点相邻的三个面都相切，据此列式求解即可.
15．【答案】（1）解：由题意可知：高一年级成绩成绩不低于90分的概率为；
高二年级成绩不低于90分的概率为，
则从高一和高二样本中各抽取1人，这两人的成绩都不低于90分的概率为：；
（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意，先求高一年级、高二年级成绩不低于90分的概率，再根据独立事件概率乘法公式求解即可；
（2）由题意，先确定随机变量的可能取值，再求对应的概率值，列分布列，求数学期望即可.
（1）从高一年级成绩分布表可以看出，成绩不低于90分的概率为.
从高二年级成绩频率分布直方图中可以看出，成绩不低于90分的概率为.
所以从高一和高二样本中各抽取1人，这两人的成绩都不低于90分的概率为：
.
（2）根据题意可知，的可能取值为0，1，2，3.
当时，即这三个人中成绩都低于90分，此时概率为：
.
当时，即这三个人中成绩只有1人的成绩是不低于90分的，此时概率为：
.
当时，即这三个人中成绩只有2人的成绩是不低于90分的，此时概率为：
.
当时，即这三个人的成绩都是不低于90分的，此时概率为：
.
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望为.
16．【答案】（1）证明：取的中点为，连接，如图所示：
易知，因为，为平面内两条相交直线，所以平面，
又因为在平面内，所以，
又因为的中点为，所以；
（2）解：过作，垂足为，由（1）平面，在平面内，
所以，为平面内两条相交直线，所以平面，即为棱柱的高，
又因为，三棱柱的体积为，
所以，又因为，所以，
又因为底面是边长为4的等边三角形，所以，
过作的平行线作为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设，则，
由，可得，即，
，
设平面的法向量为，则，
设，得，即，
设直线与平面所成角为，则.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，通过平面，得到据此证明即可；
（2）过作的平行线作为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）取的中点为，连接，
因为底面是边长为4的等边三角形，
所以，又，为平面内两条相交直线，
所以平面，又在平面内，
所以，
又的中点为，
所以，
（2）过作，垂足为，
由（1）平面，在平面内，
所以，为平面内两条相交直线，
所以平面，即为棱柱的高，
又，
三棱柱的体积为，
所以，
又，所以，
又底面是边长为4的等边三角形，
所以，
过作的平行线作为轴，为轴，建系，
则，
设，则，
由，可得，
即，
设平面的法向量为，
则，
设，得，
所以，
设直线与平面所成角为，
则
17．【答案】（1）解：设，
因为点在双曲线上，所以，作差可得，
即，
又因为线段AB的中点坐标为，所以，所以，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即；
（2）解：假设存在定点，使得，
设，焦点，
因为，所以，
即，化简可得，
又点在双曲线上，所以，
代入上式可得，
整理可得，因为对于恒成立，
所以且，解得，
当时，代入双曲线方程可得，
显然，此时为等腰直角三角形，也成立，
综上，.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，代入双曲线方程，由题意，利用点差法求出直线斜率，即可求得直线方程；
（2）假设存在定点，使得，利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简求解即可.
（1）设，
则，作差可得，所以，
因为线段AB的中点坐标为，所以，
所以，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
即.
（2）假设存在定点，使得.
设，焦点，
因为，所以，
即，化简可得，
又点在双曲线上，所以，
代入上式可得，
整理可得，因为对于恒成立，
所以且，解得.
当时，代入双曲线方程可得，
显然，此时为等腰直角三角形，也成立，
综上，.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
当时，令，解得得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：（ⅰ）由，可得，即方程有两个解，
设，，且在上有两个零点，
当时，，函数在上单调递增，
则在上最多只有一个零点，不合题意；
当时，令，解得，令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，故在时取得极大值，
要使在上有两个零点，需使，即，解得，
当时，因，又，则，
又在上单调递增，所以在有唯一零点；
当时，令，则，
再令，则，
故在上单调递增，则，即，
故在上单调递增，则，
因，所以，即，即，即，
故，
又在上单调递减，故在上有唯一零点，
综上，当时，在上有两个零点，
即方程有两个解，故a的取值范围为；
（ⅱ）由（ⅰ）可得，且，故，
因，则，即，也即，
故有，设，则，于是可得，
即，
设，则，
因时，，
①当时，在上恒成立，故函数在上为增函数，
即，即在上恒成立；
②当时，，而，
当时，，
故存在，使得，使得，故在上为减函数，故，矛盾，
综上，可得，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，当时，利用导数判断导函数的符号可得的单调性即可；
（2）（ⅰ）问题转化为方程有两个解，构造，分类讨论与时的图象性质，由极大值得到，再分类讨论区间与上零点的情况确定的取值范围即可；
（ⅱ）对进行转化得，设，则，则，构造函数，证得，分类讨论与两种情况，从而确定.
（1）函数的定义域为，
则，
因，由得，由得，
即函数在上单调递增，在上单调递减.
故当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）（ⅰ）由可得，依题意方程有两个解，
设，则，且在上有两个零点.
当时，，故在上单调递增，则在上最多只有一个零点，不合题意；
当时，由得，由得，
即在上单调递增，在上单调递减，故在时取得极大值.
要使在上有两个零点，需使，即，解得.
当时，因，又，则，
又在上单调递增，所以在有唯一零点；
当时，令，则，
再令，则，
故在上单调递增，则，即，
故在上单调递增，则，
因，所以，即，即，即，
故，
又在上单调递减，故在上有唯一零点.
综上，当时，在上有两个零点，
即方程有两个解，故a的取值范围为.
（ⅱ）由（ⅰ）可得，且，故，
因，则，即，也即，
故有，设，则，于是可得，即.
设，则，
因时，，
①当时，在上恒成立，故函数在上为增函数，
即，即在上恒成立；
②当时，，而，当时，，
故存在，使得，使得，故在上为减函数，故，矛盾.
综上，可得，即.
19．【答案】（1）解：由“伴随向量集”的定义可得：；
，，，，，，
则对任意，存在，使得，故集合为好集；
（2）证明：取，因为集合是“好集”，所以存在，
使得，即，因为，所以，
因为，所以存在，或，，所以，
假设，取，因为集合是“好集”，所以存在，
使得，
因为，所以异号，
若，则，而，，所以不可能成立；
若，则，而，，所以不可能成立，
故假设错误，即，
又因为，且，所以；
（3）解：有限集为“好集”，且，，
所以.取，由 “好集”定义，存在，使得，
所以异号，
若，则，因为，，所以；
若，则，因为，，所以该式不成立，
类似的：考虑向量，，…，可得序列，，，…，都在集合中，
由.
【知识点】集合的含义；数列与向量的综合；反证法；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）先根据“伴随向量集”的概念写出集合，再根据“好集”的概念判断集合是否为“好集”；
（2）先取，根据“好集”的概念，可证明；在利用反证法，证明；
（3）根据“好集”的概念，探索集合中元素的构成，得到数列的结构特点，再求.
（1）根据“伴随向量集”的定义可得：
.
因为，，，，，，
所以对任意，存在，使得，故集合为“好集”.
（2）取，因为集合是“好集”，所以存在，使得，即.
因为，所以.
因为，所以存在，或，.
所以.
假设，取，因为集合是“好集”，所以存在，使得.
因为，所以异号.
若，则，而，，所以不可能成立；
若，则，而，，所以不可能成立.
故假设错误，即.
又，且，所以.
（3）有限集为“好集”，且，，所以.
取，由 “好集”定义，存在，使得，所以异号.
若，则，因为，，所以；
若，则，因为，，所以该式不成立.
类似的：考虑向量，，…，可得序列，，，…，都在集合中.
由.
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