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湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题
1．（2025高二下·开福期中）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·开福期中）已知复数满足，则的虚部是（　　）.
A．2. B．-2. C．2i. D．-2i.
3．（2025高二下·开福期中）已知平面向量，，若，则实数（　　）
A．1 B．-1 C．-4 D．4
4．（2025高二下·开福期中）已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．或
5．（2025高二下·开福期中）已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（　　）
A．0.42 B．0.46 C．0.51 D．0.62
6．（2025高二下·开福期中）已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（　　）.
A． B． C． D．
7．（2025高二下·开福期中）已知正方体的棱长为4，点为的中点，若点，A，C，都在球O的表面上，则球O的表面积为（　　）
A．11π B．12π C．36π D．44π
8．（2025高二下·开福期中）对，设是关于x的方程的实数根，数列满足其中符号表示不超过的最大整数，则（　　）
A．1013 B．1015 C．2025 D．2027
9．（2025高二下·开福期中）下列说法正确的是（　　）
A．若回归方程为，则变量x与y负相关
B．运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
10．（2025高二下·开福期中）已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（　　）
A．
B．
C．
D．以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点
11．（2025高二下·开福期中）我们把称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点A，B，曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相交于点P，则（　　）
A．是奇函数
B．
C．在区间上随m的增大而减小，在区间上随m的增大而增大
D．的面积为定值
12．（2025高二下·开福期中）若随机变量服从二项分布，，则　 　.
13．（2025高二下·开福期中）在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有　 　种.
14．（2025高二下·开福期中）已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有　 　条.
15．（2025高二下·开福期中）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求B；
（2）设D为边的中点，若，，求的面积.
16．（2025高二下·开福期中）某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.
17．（2025高二下·开福期中）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，设，讨论函数的单调性；
（3）若函数在上有且仅有2个零点，求实数的取值范围.
18．（2025高二下·开福期中）如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点D到达点P的位置，点P在平面的射影H落在边上.
（1）求三棱锥的体积；
（2）若M是棱上的一个动点，是否存在点M，使得平面与平面的夹角正切值为，若存在，求点M到平面的距离；若不存在，请说明理由.
19．（2025高二下·开福期中）已知椭圆：的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为6.
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点且斜率为的直线与椭圆交于M，N两点.
（i）当时，设直线，的斜率分别是，，求证：为定值；
（ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆：于P，Q两点，记，的面积分别为，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵，∴，，求出，
∴，结合，
∴.
故答案为：B.
【分析】首先先求出分式不等式得解集，结合的范围，利用交集运算即可得到.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；共轭复数
【解析】【解答】由于，所以，则的虚部是-2，
故答案为：B.
【分析】根据共轭复数的概念，即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，，且，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】利用向量平行的坐标表示化简得到方程，求出答案即可得到结果.
4．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，，所以，
则，
故答案为：C.
【分析】根据同角的三角函数公式求出，结合两角和的余弦求出结果.

5．【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】由题意，设事件B为“选出的运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”，
所以，，，
由于，，，
则根据全概率公式有：
，
∴任选一名运动员能够晋级的概率：0.51.
故答案为：C.
【分析】由题意确定全概率公式中各个数量，再根据全概率公式计算可得.
6．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】根据题意，记的内切圆分别切，于点，，
所以，，，
由双曲线定义得，
则，
所以，
则，所以，①
又，则，
则有，②，
结合①+②，有，所以，
根据题意，则，则，
故双曲线：的渐近线方程为，
即.
故答案为：D.
【分析】根据题意画出图像，结果图像联系三角形内切圆的性质以及双曲线的定义可求得，再利用可求出，即可得到双曲线的渐近线方程.

7．【答案】D
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】根据题意，画出图像，由于图像为正方体，则有，平面，并且平面，则，
由于，平面，则平面，
并且平面，则，同理有，
因为，平面，则平面，
记，所以为的中点，记，
因为正方体的对称性得到为等边的中心，
根据图像，得到球心在上，
记，，，
则，
则，，
，
由于球的半径，则有，
化简有，则，所以球O表面积为.
故答案为：D.
【分析】根据题意画出图像，结合题意得到平面，则有球心在在上，假设设，则，所以，求出球体半径，利用公式即可得到结果.

8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】由题意，求导有，
所以是正整数时，则，所以为增函数，
由于在，，
并且，
则此时，方程有唯一的实数根且，
则，，，
由于，所以.
故答案为：C
【分析】根据题意，对函数进行求导，结合导函数判断单调性，再结合零点存在定理判断，进而得到，即可求出的值.

9．【答案】A,B,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】A选项，因为回归方程为的斜率为负，所以变量x与y负相关，则A正确；
B选项，因为回归直线方程一定经过样本点的中心，B正确；
C选项，散点图中所有点都在直线上，所以相关系数，C错误；
D选项，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用回归方程及相关概念判断AB，根据散点图及相关系数概念判断C，采用决定系数概念判断D.

10．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】A选项，因为是抛物线：的焦点，则，所以，则A错误；
B选项，因为，则抛物线方程为.
所以过点且倾斜角为135°的直线的斜率，结合点斜式可得直线的方程为，所以.
把代入，所以，所以.
由于，是直线与抛物线C的交点，
结合韦达定理有，则选项B正确；
C选项，因为抛物线的焦点弦长公式.
由于，，则，，
所以.
根据，则，则选项C正确；
D选项，记的中点为P，分别过M，N，P作抛物线C的准线的垂线，
垂足分别为，，，
利用抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以，.
则.
所以得到为直径的圆的圆心P到准线的距离等于圆的半径，
则为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点，所以选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用焦点坐标可确定抛物线方程进而判断选项A；利用直线与抛物线方程进行联立，利用韦达定理得到B选项的正误；结合B选项同时结合抛物线定义化简得到结果判断C；利用抛物线定义及梯形中位线定理得到即可得到D选项正误.
11．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，
则函数为奇函数，A正确；
接着，根据，
，
所以，B错误；
令，
求导得到，
并且对于，
所以，
所以曲线在点A处的切线方程，则，
曲线在点B处的切线方程，则，
所以，，
令，所以，
因为，所以；当，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以C正确；
又因为的面积为，
所以的面积随的增大而减小，所以D错误.
故答案为：AC
【分析】首先结合给定的函数，利用奇偶函数的定义判断A；结合指数运算计算判断B；对函数进行求导，结合导数的几何意义，利用导数确定单调性判断C；利用三角形面积的函数关系判断D.

12．【答案】7
【知识点】二项分布
【解析】【解答】由于X服从二项分布，所以，故.
故答案为：7
【分析】利用二项分布期望公式以及性质，求解即可.
13．【答案】150
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】由于值班的人数为2人或3人；当人数为2，所以要一个人值班首尾两天，另外一个人值中间的那一天，所以方法数为：；当人数为3，所以每人值一天班，所以方法数为；所以总的方法有30+120=150种.
故答案为：
【分析】利用分类加法计数原理结合排列组合求解。

14．【答案】9
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】 直线：变形为，
联立求出，则直线过定点，
由于，则点在圆C内，
则当为直线被圆C截得的弦的中点时，弦长最短，点到圆心的距离，
则最短弦长为，
并且最长的弦为直径，长度为10，
则弦长的取值范围是.
由于弦长为6，7，8，9的直线各两条，弦长为10的直线有一条，
并且直线被圆C截得弦长为，不是整数，
则截得的弦中长度为整数的直线共有9条.
故答案为：9
【分析】首先利用直线方程得到直线的定点，仅为联立方程，结合公式进而求得弦长最大、最小值，进而得到结果.

15．【答案】（1）利用正弦定理边化弦得，，
进而，
∵，∴，
∵，∴，∴，
因为，∴.
（2）根据余弦定理得，，啊u哦一，
①由于D为的中点，
则，则，
结合，∴，②
根据①②得到，所以，
∴的面积是.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边化弦进行变形化简即可得到结果；
（2）利用余弦定理：，中线的向量运算进行平方化简：，化简出，再结合三角形的面积公式即可求解.
（1）由正弦定理得，，
∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
又，∴.
（2）由余弦定理得，，即，①
因为D为的中点，
所以，则，
又，∴，②
联立①②有，解得，
∴的面积为.
16．【答案】（1）根据题意得到，，解得.
（2）设为样本数据的平均数，
所以，
所以样本数据的平均数为76.5.
（3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，则，
并且随机变量，
所以X的可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
∴X的分布列如下
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
所以X的数学期望.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的数字特征估计总体的数字特征；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的面积之和等于1求出参数m的值；
（2）利用频率直方图结合加权平均数的运算公式求解即可；
（3）利用二项分布概率计算公式求解，列出分布列，计算期望即可得到结果。
（1）由题知，，解得.
（2）设为样本数据的平均数，
则，
故这组样本数据的平均数为76.5.
（3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，
所抽取的产品为优秀品的概率，由题知，
随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
∴X的分布列为
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
随机变量X的数学期望.
17．【答案】（1）当时，，求导得，
所以，并且，
则切线方程为，化简得.
（2）因为，则，，求导得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（3）在，因为，所以，取，，
所以根据直线与函数在上的图象有两个交点，
而，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数的最大值为，同时，，
所以在上的大致图象如下所示，
所以，直线与函数在上的图象有两个交点，
则的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题意，对函数进行求导，求出切线斜率，进而利用点斜式求出方程；
（2）先求出，接着对函数进行求导，利用导函数的正负值判断函数的单调性；
（3）先对函数f(x)进行求导，结合导函数的正负值判断函数的单调性以及极值，进而画出函数的大致图像，结合极限思想，利用两个图象交点判断参数范围.
（1）当时，，所以，
则，而，
所以所求切线方程为，即.
（2）当时，，，所以，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减；
（3）当时，由，得，令，，
依题意，直线与函数在上的图象有两个交点，
，当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的最大值为，且，，
画出在上的大致图象如图，
当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
所以实数的取值范围是.
18．【答案】（1）作，垂足为E，连接，如图所示.
因为点在平面的射影落在边上，所以平面，
由于平面，则，
并且，平面，则平面，
因为平面，则.
由题意四边形为矩形，则，所以，
因为，，所以，，.
则，.
因为，所以，所以，
所以.
在中，.
则.
（2）建系：以点H为坐标原点，以过点H且平行于的直线为y轴，分别以，所在直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
所以，，，，.
设，，
所以，
则.
因为，，，.
设平面的法向量为，
则，令，，所以，
设平面的法向量为，
，令，，所以，
由于平面与平面的夹角正切值为，
则平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，
则，求出（舍去）或.
所以时，平面与平面的夹角的正切值为，
所以点到平面的距离为.
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用三垂线定理结合线面垂直的性质证明，，接着结合矩形判断出，利用相似比求出对应边长，进而求出边长，结合体积公式求解出结果；
（2）建立空间直角坐标系，利用假设出坐标，利用空间向量坐标运算平面的法向量，结合二面角的余弦值列出方程求解出参数即可得到结果.
（1）作，垂足为E，连接，如图所示.
由点在平面的射影落在边上，可得平面，
又平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又平面，所以.
因为四边形为矩形，所以，可得，
由，，可得，，.
所以，.
由，可得，即，
则.
在中，.
所以.
（2）根据题意，以点H为坐标原点，以过点H且平行于的直线为y轴，分别以，所在直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，.
设，，
可得，
所以.
易知，，，.
设平面的法向量为，
所以
解得，取，则，即，
设平面的法向量为，
所以
解得，取，则，即，
因为平面与平面的夹角正切值为，
所以平面与平面的夹角的余弦值为，
即，
整理可得，解得（舍去）或.
因此当时，平面与平面的夹角的正切值为，
此时点到平面的距离为.
19．【答案】（1）根据题意，并且，所以，
则，
所以椭圆方程为.
（2）（i）不妨设，，
联立，消去y值，
所以，由韦达定理得，，
并且
，即证.
（ii）因为，都是直角三角形，，，
根据圆的性质得，所以，
又因为，，
当时，，所以，
当时，直线方程为，所以，
因为，
则，令，所以，
则有，所以，
所以，.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的a，b，c之间的关系，结合列出式子求解即可得到方程；
（2）（i）先设，，将直线与椭圆方程进行联立，接着化简，结合韦达定理证明得定值为2；（ⅱ）根据，都是直角三角形，同时根据圆的性质得到，接着化简，得到，利用换元法，结合不等式求解即可得到结果。
（1）由题知，又，可得，，
则椭圆方程为.
（2）（i）不妨设，，
由，化简为，
显然，则，，
又
，即证.
（ii）由于，均为直角三角形，，，
由圆的性质知，故，
由于，，
当时，，则，
当时，直线方程为，则，
又，
所以，令，那么，
即，则，
综上可得，.
1 / 1湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题
1．（2025高二下·开福期中）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵，∴，，求出，
∴，结合，
∴.
故答案为：B.
【分析】首先先求出分式不等式得解集，结合的范围，利用交集运算即可得到.
2．（2025高二下·开福期中）已知复数满足，则的虚部是（　　）.
A．2. B．-2. C．2i. D．-2i.
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；共轭复数
【解析】【解答】由于，所以，则的虚部是-2，
故答案为：B.
【分析】根据共轭复数的概念，即可得到答案.
3．（2025高二下·开福期中）已知平面向量，，若，则实数（　　）
A．1 B．-1 C．-4 D．4
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，，且，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】利用向量平行的坐标表示化简得到方程，求出答案即可得到结果.
4．（2025高二下·开福期中）已知，，则的值为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，，所以，
则，
故答案为：C.
【分析】根据同角的三角函数公式求出，结合两角和的余弦求出结果.

5．（2025高二下·开福期中）已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（　　）
A．0.42 B．0.46 C．0.51 D．0.62
【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】由题意，设事件B为“选出的运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”，
所以，，，
由于，，，
则根据全概率公式有：
，
∴任选一名运动员能够晋级的概率：0.51.
故答案为：C.
【分析】由题意确定全概率公式中各个数量，再根据全概率公式计算可得.
6．（2025高二下·开福期中）已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】根据题意，记的内切圆分别切，于点，，
所以，，，
由双曲线定义得，
则，
所以，
则，所以，①
又，则，
则有，②，
结合①+②，有，所以，
根据题意，则，则，
故双曲线：的渐近线方程为，
即.
故答案为：D.
【分析】根据题意画出图像，结果图像联系三角形内切圆的性质以及双曲线的定义可求得，再利用可求出，即可得到双曲线的渐近线方程.

7．（2025高二下·开福期中）已知正方体的棱长为4，点为的中点，若点，A，C，都在球O的表面上，则球O的表面积为（　　）
A．11π B．12π C．36π D．44π
【答案】D
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】根据题意，画出图像，由于图像为正方体，则有，平面，并且平面，则，
由于，平面，则平面，
并且平面，则，同理有，
因为，平面，则平面，
记，所以为的中点，记，
因为正方体的对称性得到为等边的中心，
根据图像，得到球心在上，
记，，，
则，
则，，
，
由于球的半径，则有，
化简有，则，所以球O表面积为.
故答案为：D.
【分析】根据题意画出图像，结合题意得到平面，则有球心在在上，假设设，则，所以，求出球体半径，利用公式即可得到结果.

8．（2025高二下·开福期中）对，设是关于x的方程的实数根，数列满足其中符号表示不超过的最大整数，则（　　）
A．1013 B．1015 C．2025 D．2027
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】由题意，求导有，
所以是正整数时，则，所以为增函数，
由于在，，
并且，
则此时，方程有唯一的实数根且，
则，，，
由于，所以.
故答案为：C
【分析】根据题意，对函数进行求导，结合导函数判断单调性，再结合零点存在定理判断，进而得到，即可求出的值.

9．（2025高二下·开福期中）下列说法正确的是（　　）
A．若回归方程为，则变量x与y负相关
B．运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
【答案】A,B,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】A选项，因为回归方程为的斜率为负，所以变量x与y负相关，则A正确；
B选项，因为回归直线方程一定经过样本点的中心，B正确；
C选项，散点图中所有点都在直线上，所以相关系数，C错误；
D选项，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用回归方程及相关概念判断AB，根据散点图及相关系数概念判断C，采用决定系数概念判断D.

10．（2025高二下·开福期中）已知是抛物线：的焦点，过点且倾斜角为135°的直线与交于，两点，则（　　）
A．
B．
C．
D．以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】A选项，因为是抛物线：的焦点，则，所以，则A错误；
B选项，因为，则抛物线方程为.
所以过点且倾斜角为135°的直线的斜率，结合点斜式可得直线的方程为，所以.
把代入，所以，所以.
由于，是直线与抛物线C的交点，
结合韦达定理有，则选项B正确；
C选项，因为抛物线的焦点弦长公式.
由于，，则，，
所以.
根据，则，则选项C正确；
D选项，记的中点为P，分别过M，N，P作抛物线C的准线的垂线，
垂足分别为，，，
利用抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以，.
则.
所以得到为直径的圆的圆心P到准线的距离等于圆的半径，
则为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点，所以选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用焦点坐标可确定抛物线方程进而判断选项A；利用直线与抛物线方程进行联立，利用韦达定理得到B选项的正误；结合B选项同时结合抛物线定义化简得到结果判断C；利用抛物线定义及梯形中位线定理得到即可得到D选项正误.
11．（2025高二下·开福期中）我们把称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点A，B，曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相交于点P，则（　　）
A．是奇函数
B．
C．在区间上随m的增大而减小，在区间上随m的增大而增大
D．的面积为定值
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，
则函数为奇函数，A正确；
接着，根据，
，
所以，B错误；
令，
求导得到，
并且对于，
所以，
所以曲线在点A处的切线方程，则，
曲线在点B处的切线方程，则，
所以，，
令，所以，
因为，所以；当，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以C正确；
又因为的面积为，
所以的面积随的增大而减小，所以D错误.
故答案为：AC
【分析】首先结合给定的函数，利用奇偶函数的定义判断A；结合指数运算计算判断B；对函数进行求导，结合导数的几何意义，利用导数确定单调性判断C；利用三角形面积的函数关系判断D.

12．（2025高二下·开福期中）若随机变量服从二项分布，，则　 　.
【答案】7
【知识点】二项分布
【解析】【解答】由于X服从二项分布，所以，故.
故答案为：7
【分析】利用二项分布期望公式以及性质，求解即可.
13．（2025高二下·开福期中）在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有　 　种.
【答案】150
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】由于值班的人数为2人或3人；当人数为2，所以要一个人值班首尾两天，另外一个人值中间的那一天，所以方法数为：；当人数为3，所以每人值一天班，所以方法数为；所以总的方法有30+120=150种.
故答案为：
【分析】利用分类加法计数原理结合排列组合求解。

14．（2025高二下·开福期中）已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有　 　条.
【答案】9
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】 直线：变形为，
联立求出，则直线过定点，
由于，则点在圆C内，
则当为直线被圆C截得的弦的中点时，弦长最短，点到圆心的距离，
则最短弦长为，
并且最长的弦为直径，长度为10，
则弦长的取值范围是.
由于弦长为6，7，8，9的直线各两条，弦长为10的直线有一条，
并且直线被圆C截得弦长为，不是整数，
则截得的弦中长度为整数的直线共有9条.
故答案为：9
【分析】首先利用直线方程得到直线的定点，仅为联立方程，结合公式进而求得弦长最大、最小值，进而得到结果.

15．（2025高二下·开福期中）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求B；
（2）设D为边的中点，若，，求的面积.
【答案】（1）利用正弦定理边化弦得，，
进而，
∵，∴，
∵，∴，∴，
因为，∴.
（2）根据余弦定理得，，啊u哦一，
①由于D为的中点，
则，则，
结合，∴，②
根据①②得到，所以，
∴的面积是.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边化弦进行变形化简即可得到结果；
（2）利用余弦定理：，中线的向量运算进行平方化简：，化简出，再结合三角形的面积公式即可求解.
（1）由正弦定理得，，
∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
又，∴.
（2）由余弦定理得，，即，①
因为D为的中点，
所以，则，
又，∴，②
联立①②有，解得，
∴的面积为.
16．（2025高二下·开福期中）某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）根据题意得到，，解得.
（2）设为样本数据的平均数，
所以，
所以样本数据的平均数为76.5.
（3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，则，
并且随机变量，
所以X的可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
∴X的分布列如下
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
所以X的数学期望.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的数字特征估计总体的数字特征；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的面积之和等于1求出参数m的值；
（2）利用频率直方图结合加权平均数的运算公式求解即可；
（3）利用二项分布概率计算公式求解，列出分布列，计算期望即可得到结果。
（1）由题知，，解得.
（2）设为样本数据的平均数，
则，
故这组样本数据的平均数为76.5.
（3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，
所抽取的产品为优秀品的概率，由题知，
随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
∴X的分布列为
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
随机变量X的数学期望.
17．（2025高二下·开福期中）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，设，讨论函数的单调性；
（3）若函数在上有且仅有2个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，，求导得，
所以，并且，
则切线方程为，化简得.
（2）因为，则，，求导得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（3）在，因为，所以，取，，
所以根据直线与函数在上的图象有两个交点，
而，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数的最大值为，同时，，
所以在上的大致图象如下所示，
所以，直线与函数在上的图象有两个交点，
则的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题意，对函数进行求导，求出切线斜率，进而利用点斜式求出方程；
（2）先求出，接着对函数进行求导，利用导函数的正负值判断函数的单调性；
（3）先对函数f(x)进行求导，结合导函数的正负值判断函数的单调性以及极值，进而画出函数的大致图像，结合极限思想，利用两个图象交点判断参数范围.
（1）当时，，所以，
则，而，
所以所求切线方程为，即.
（2）当时，，，所以，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减；
（3）当时，由，得，令，，
依题意，直线与函数在上的图象有两个交点，
，当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的最大值为，且，，
画出在上的大致图象如图，
当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
所以实数的取值范围是.
18．（2025高二下·开福期中）如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点D到达点P的位置，点P在平面的射影H落在边上.
（1）求三棱锥的体积；
（2）若M是棱上的一个动点，是否存在点M，使得平面与平面的夹角正切值为，若存在，求点M到平面的距离；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）作，垂足为E，连接，如图所示.
因为点在平面的射影落在边上，所以平面，
由于平面，则，
并且，平面，则平面，
因为平面，则.
由题意四边形为矩形，则，所以，
因为，，所以，，.
则，.
因为，所以，所以，
所以.
在中，.
则.
（2）建系：以点H为坐标原点，以过点H且平行于的直线为y轴，分别以，所在直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
所以，，，，.
设，，
所以，
则.
因为，，，.
设平面的法向量为，
则，令，，所以，
设平面的法向量为，
，令，，所以，
由于平面与平面的夹角正切值为，
则平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，
则，求出（舍去）或.
所以时，平面与平面的夹角的正切值为，
所以点到平面的距离为.
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用三垂线定理结合线面垂直的性质证明，，接着结合矩形判断出，利用相似比求出对应边长，进而求出边长，结合体积公式求解出结果；
（2）建立空间直角坐标系，利用假设出坐标，利用空间向量坐标运算平面的法向量，结合二面角的余弦值列出方程求解出参数即可得到结果.
（1）作，垂足为E，连接，如图所示.
由点在平面的射影落在边上，可得平面，
又平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又平面，所以.
因为四边形为矩形，所以，可得，
由，，可得，，.
所以，.
由，可得，即，
则.
在中，.
所以.
（2）根据题意，以点H为坐标原点，以过点H且平行于的直线为y轴，分别以，所在直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，.
设，，
可得，
所以.
易知，，，.
设平面的法向量为，
所以
解得，取，则，即，
设平面的法向量为，
所以
解得，取，则，即，
因为平面与平面的夹角正切值为，
所以平面与平面的夹角的余弦值为，
即，
整理可得，解得（舍去）或.
因此当时，平面与平面的夹角的正切值为，
此时点到平面的距离为.
19．（2025高二下·开福期中）已知椭圆：的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为6.
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点且斜率为的直线与椭圆交于M，N两点.
（i）当时，设直线，的斜率分别是，，求证：为定值；
（ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆：于P，Q两点，记，的面积分别为，求的取值范围.
【答案】（1）根据题意，并且，所以，
则，
所以椭圆方程为.
（2）（i）不妨设，，
联立，消去y值，
所以，由韦达定理得，，
并且
，即证.
（ii）因为，都是直角三角形，，，
根据圆的性质得，所以，
又因为，，
当时，，所以，
当时，直线方程为，所以，
因为，
则，令，所以，
则有，所以，
所以，.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的a，b，c之间的关系，结合列出式子求解即可得到方程；
（2）（i）先设，，将直线与椭圆方程进行联立，接着化简，结合韦达定理证明得定值为2；（ⅱ）根据，都是直角三角形，同时根据圆的性质得到，接着化简，得到，利用换元法，结合不等式求解即可得到结果。
（1）由题知，又，可得，，
则椭圆方程为.
（2）（i）不妨设，，
由，化简为，
显然，则，，
又
，即证.
（ii）由于，均为直角三角形，，，
由圆的性质知，故，
由于，，
当时，，则，
当时，直线方程为，则，
又，
所以，令，那么，
即，则，
综上可得，.
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