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2024-2025 学年河南省驻马店市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系 中，点 (2,3, 1)关于平面 对称的点的坐标是( )
A. (2,3,1) B. (2, 3, 1) C. ( 2,3, 1) D. (2, 3,1)
2 1.已知随机变量 等可能取值为 1，2，3， ( ∈ )，若 ( < 5) = 4，则( )
A. = 20 B. = 18 C. = 16 D. = 14
3.在数列{ }中，已知 1 = 6， 2 = 3， +1 = +2 + ，则 2025 =( )
A. 3 B. 3 C. 6 D. 6
4 = 1
2 2
.已知直线 3 是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线，则 的离心率为( )
A. 103 B. 10 C.
2 3
3 D. 2
5.在等比数列{ }中， 1013 = 1，若函数 ( ) = ( 1)( 2) ( 2025)，则 ′(0) =( )
A. 2025! B. 2025! C. 1 D. 1
6.定义在 上的奇函数 ( )( ( )不是常数函数)的导函数为 ′( )，当 ≥ 0 时，恒有 3 ( ) + ′( ) ≥ 0，
则不等式 3 ( ) < (3 1)3 (3 1)的解集为( )
A. ( ∞, 14 ) ∪ (
1
2 , + ∞) B. (
1 , 14 2 )
C. ( ∞, 1 12 ) D. ( 2 , + ∞)
7.已知点 ， 为圆 ： 2 + 2 4 = 0 上两点，且| | = 2 3，点 在直线 3 6 = 0 上，点 为
线段 中点，则| |的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8
2
.设函数 ( ) = ( +1 )ln( )，若 ( ) ≥ 0 恒成立，则 2 的最小值为( )
A. 12 B.
3 5 7
2 C. 2 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算不正确的是( )
A. (sin ) 3 ′ = cos 3 B. ( )′ = 1 2

C. ( ) = 2 ′ 2 D. (ln(3 + 1))′ =
1
3 +1
10.设 是等差数列{ 7 }的前 项和，若 15 < 0， < 1，则下列结论正确的是( )8
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A. < 0 B. | 7| < | 8|
C. = 7 时， 最大 D.使 > 0 的 的最大值为 13
11.已知抛物线 ： 2 = 4 的准线为 ，焦点为 ， 为抛物线 上的动点，过点 作⊙ ： 2 + ( 2)2 = 12
的一条切线， 为切点，过 作 的垂线，垂足为 ，则( )
A.准线 与圆 相切
B.过点 ， 的直线与抛物线相交的弦长为 5
C. 2当点 ， ， 三点共线时，| | = 2
D.满足| | = | |的点 有且仅有 2 个
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = 的单调递增区间是______．
13.在( + 1)(2 + 1)(3 + 1)(4 + 1)(5 + 1)2的展开式中，含 项的系数为______．
14.如图，在三棱锥 中， ⊥平面 ，记 与平面 所成的角为 ， =
= 6， = 3 3， = 6.若 为平面 内一动点，满足2 + = 2 11，则
最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试(测试Ⅰ)通过率为 (0 < < 1)，未通过测试Ⅰ的芯片进
入第二次测试(测试Ⅱ)，通过率为 (0 < < 1).通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废．
(1)若某批次生产了 枚芯片，合格数为随机变量 .当 = 0.8， = 0.5 时，求 的期望与方差；
(2)已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率．
16.(本小题 15 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 3．
(1)求{ }的通项公式；
(2)设 =
1 1
( +1) ( +2
，记数列{ }的前 项和为 ，证明：
2 2 ) 2
≤ < 1．
3 3
17.(本小题 15 分)
如图，已知四棱锥 的底面是直角梯形， // ， = 2 = 2 = 2，∠ = 90°，且 ⊥ ，
⊥ ．
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(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求二面角 所成平面角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的长轴长为 4 2，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为
8．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点(2,0)且斜率为 ( ≠ 0)的直线与椭圆 交于 ， 两点．
(ⅰ)若线段 的中点横坐标为 1，求 ；
(ⅱ)点 与点 关于 轴对称.在 轴上是否存在定点 ( , 0)，使 ， ， 三点共线？若存在，求实数 的值，若
不存在，说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + + ln (自然常数 ≈ 2.713 )．
(1)当 = 0 时，求函数 ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的极值点个数；
(3)若 ( ) < 0 恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(0, )
13.20
14. 22
15.(1)设“芯片合格”为事件 ，
由题易知每个芯片合格的概率为 ( ) = + (1 ) = 0.8 + (1 0.8) × 0.5 = 0.9，
所以随机变量 满足二项分布 ～ ( , 0.9)，
则 ( ) = 0.9 ， ( ) = 0.9 (1 0.9) = 0.09 ；
(2)记事件 ：芯片合格，事件 ：通过测试 ，事件 ：通过测试Ⅱ，

由题意得 ( ) = ( ) + ( ) ( | ) = + (1 ) ，
( ) = ( ) ( | ) = 1 = ，
( )
则 ( | ) = ( ) = +(1 ) ，

故所求概率为 +(1 ) ．
16.(1)因为 = 2 3①，所以 1 = 2 1 3，解得 1 = 3，
对任意的 ∈ ， +1 = 2 +1 3②，
② ①得 +1 = 2 +1 2 ，即 +1 = 2 ，
所以数列{ }是以 3 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 = 3 × 2 1．
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证明：(2)因为 1 1 1 = ( +1) ( +2 =2 2
+1，
3 3 )
所以 = 1
1 1
2+ 2
1
3 + +
1 1 1
+1 = 1 +1，
1
因为 > 0，数列{ }为单调递增数列，所以2 = 1 ≤ < 1，
1
即2 ≤ < 1．
17.(1)证明：由题意： ⊥ ， ⊥ ， ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ， 平面 ，且四边形 为梯形，且 // ，
所以 与 必相交，
所以 ⊥平面 ．
又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)以 为原点，建立如图空间直角坐标系，因为 ⊥平面 ，所以 // 轴．
设 = ， > 0，则 (0,0,0)， (0, , 0)， (1,0,0)， (1,2,1)．
所以 = (0, , 0)， = (1,2,1)， = (1,0,0)．
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，

则 ⊥ = 0

1
= 0
，
⊥ = 0 1 + 2 1 + 1 = 0
取 = (1,0, 1)．
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
⊥ 则 = 0

1 = 0
⊥ = 0 1 + 2 1 +
，
1 = 0
取 = (0,1, 2)．
所以 = 2，| | = 2，| | = 5．
cos < , >= 2 10所以 | ，| | | = 10 = 5
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所以 sin < , >= 15，5
即二面角 所成平面角的正弦值为 15．
5
2 = 4 2
18.(1)根据题意得 2 = 8 ，解得 = 2 2, = 2, = 2．
2 = 2 + 2
2 2
因此椭圆 为
8 +

4 = 1．
(2)(ⅰ)由题意，直线 为 = ( 2)，设 ( 2, 2)， ( 1, 1)，
= ( 2)
联立直线 和椭圆方程可得 2 2 ，化简得(1 + 2 2) 2 8 2 + 8 2 8 = 0，
8 + 4 = 1
根的判别式 = 64 4 4(1 + 2 2)(8 2 8) = 32 2 + 32 > 0，
8 2 2
且根据韦达定理可得 1 + 2 = 1+2 2 , 1 =
8 8
2 1+2 2
．
2
由于线段 的中点横坐标为 1 + 4 ，那么可得 1 2 = 22 1+2 2 = 1，解得 =± ．2
(ⅱ)由于点 与点 关于 轴对称，因此点 ( 2, 2)，
若在 轴上存在定点 ( , 0)，使 ， ， 三点共线，那么可得 = 0．
( )+ ( )
1 =
2 1 2 2 1
1 2
=
1 2 ( 21 + 2) +
= ( 1 2)( 2 )+ ( 2 2)( 1 ) = [2 1 2 ( +2)( 1+ 2)+4 ] 1 2 ( 1+ 2)+ 2 1 2 ( + )+ 2
= 0，
1 2
因为 ≠ 0，那么 2 1 2 ( + 2)( 1 + 2) + 4 = 0．
2 2
那么 2 × 8 8 8 1+2 2 ( + 2) 1+2 2 + 4 = 0，
16+4
那么 1+2 2 = 0，解得 = 4．
因此在 轴上存在定点 (4,0)，使 ， ， 三点共线．
19.(1)当 = 0 时，函数 ( ) = + ln = + 1，则 (1) = 0，
1
而导函数 ′( ) = 1 + ，那么 ′(1) = 2，
因此 ( )在 = 1 处的切线为 = 2( 1).即 = 2 2．
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(2) 根据函数 ( ) = + + ln = + + 1， > 0，

那么导函数 ′( ) = + + + 1 = ( +1)( +1)，显然 + 1 > 0， > 0，
当 ≥ 0 时，导函数 ′( ) > 0，
因此 ( )在(0, + ∞)上单调递增，无极值点；
当 < 0 时，令 ′( ) < 0，得 > 1 ，令 ′( ) > 0
1
，得 0 < < ，
1 1
因此 ( )在( , + ∞)上单调递减，在(0, )上单调递增，
1
那么 ( )无极小值点，有 1 个极大值点 ．
1
综上所述，当 < 0 时，函数 ( )有 1 个极大值点 ，无极小值点；
当 ≥ 0 时，函数 ( )无极值点．
(3)根据第二问知，当 ≥ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增，
且 →+∞时， ( ) →+∞，显然不满足 ( ) < 0 恒成立；
当 < 0 1 1时， ( )在( , + ∞)上单调递减，在(0, )上单调递增，
那么 ( ) 1 1 = ( ) = 1+ ln(
1
) 1 =
1 + ln( 1 ) 2，
设函数 ( ) = 1 1 + ln( ) 2, < 0，
( ) = 1 1 = 1 那么导函数 ′ 2 2 > 0，
因此 ( )在( ∞,0)上单调递增，又 ( 1 ) = 0，
要使 ( ) < 0 1恒成立，则 < ，
所以 1的取值范围为( ∞, )．
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