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2024-2025 学年贵州省毕节市部分县区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 3+4 .复数1 2 的虚部为( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
2.已知集合 = { | 2 1 > 0}， = { 2, 1,0,1,2}，则 ∩ =( )
A. { 1,1} B. { 1,0,1} C. { 2,2} D. { 2,0,2}
2
3
2
.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为 2，则双曲线 的渐近线方程为( )
A. =± 3 B. =± 33 C. =±
1
2 D. =± 2
4.如图，已知 = 3 ，△ ，△ 都是等边三角形，设 = , = ，则 =( )
A. 2 + 1 3
B. 2 + 2 3

C. 2 1 3
D. 2 2 3
5.若直线 = ( 2)与曲线 ： = 1 2恰有两个公共点，则实数 的取值范围为( )
A. [0, 3) B. [0, 3 ) C. ( 3, 0] D. ( 33 3 , 0]
6.下列四个选项中最大的数是( )
A. log 330.7 B. 4 C. log43 D. 0.7
12
7.已知函数 ( )定义域为 ，满足 ( + 1) + ( 1) = 0，且 (0) = 1，则 (98) =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
8 1 2 7 5.已知圆台 1 2的上、下底面半径分别为 和 ，体积为 3 ，若圆锥的底面半径为 2，高与圆台 1 2
的高相等，则圆锥内最大的球的半径为( )
A. 5 B. 5 C. 55 2 D.
2 5
5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合 = { 2, 1,1,2}，从 中随机取出两个元素，组成一个有序数对( , )，则下列结论正确的是
( )
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A. 1为正数且 为正数的概率为6
B.在 1为正数的条件下， 为正数的概率为6
C. 2， 中恰有 1 个为正数的概率为3
D. ， 2中至少有一个为正数的概率为3
10.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，△ 的面积为 ，则下列结论正确的是( )
A. 3 若 = 2 ，则 = 3
B. = 3若 3

，则 = 3
C.若 = 3 , = 3( ) ，则 = 3
D. = 3 = 6, = 若 ， 3，则 =

4
11.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，直线 = + 1 与 相交于 ， 两点， 为坐标原点，则下列结论
正确的是( )
A.当 = 0 时，| | = 4 B. 为定值
C.当| | = 3| | 3时， = 3 D.线段 中点的坐标为(2
2 + 1,2 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.曲线 = ln(2 + 1) 在点(0, 1)处的切线方程为______．
13.将函数 ( ) = (0 < < 5)) 的图象向右平移4个单位后，所得图象的一条对称轴方程为 = 2，若
( ) = 2 2 3，则 ( 4 ) = ______．
14.银行发行的某种硬币正面记为 ，背面记为 ，小明有 枚这样的硬币，并将这些硬币从左至右排成一
行.他反复地进行如下操作：如果恰有 枚 面朝上，则他将从左至右的第 枚硬币翻转；如果所有硬币都是
面朝上，则停止操作.例如：当 = 3，并且初始转态是 ，则操作过程为： → → → →
，总共进行了 4 次操作后停止.对每个初始状态 ，记 ( )为小明从初始状态 开始至停止操作时的操作
次数，例如： ( ) = 4， ( ) = 0.当 = 4 时， ( )的最大值等于______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2024 年 1 月 24 日，云南省统计局发布数据，2023 年度云南省生产总值( )为 30021 亿元，年度
首次突破 3 万亿元.以下是 2020 年至 2024 年云南省生产总值表．
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年份 2020 年 2021 年 2022 年 2023 年 2024 年
年份代码 1 2 3 4 5
生产总值 (亿元) 24555 27146 28954 30021 31534
(1)根据以上数据，在答题卡上画出散点图，并判断成对数据是否线性相关？

(2)建立生产总值 (亿元)关于年份代码 的经验回归方程 = + ( , 精确到 1)，并预测 2025 年度云南省
生产总值．

参考公式： = =1
( )( )
, = ． =1 ( )2
16.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 的底面 为菱形， ⊥底面 ，连接 ．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若 = = 2，∠ = 3，求平面 与平面 夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知数列{ }满足 1 = 2， +1 +1 = 2 + 2 ．
(1) 证明：{ 2 }为等差数列；
2 3
(2)设 ( ) = + 1
+ + + ，求 ′( 1)．
2 3
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18.(本小题 17 分)
已知点 (1,0)，动点 到直线 ： = 4 的距离等于 2| |，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与 交于 ， 两点，在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐
标；若不存在，说明理由．
19.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = 22 + ( 1) ( > 0)．
(1)判断函数 ( )的零点个数；
(2)若 ( )存在两个零点 1， 2( 1 < 2)，证明：2 < 1 + 2 < 3．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1 = 0
13.19
14.10
15.(1)画出成对数据的散点图，如图所示：
从散点图看生产总值 (亿元)与年份代码 的数据呈现出正线性相关关系，且相关程度很强；

(2) = 1+2+3+4+5 = 3 = 24555+27146+28954+30021+31534由题意可知， 5 ， 5 = 28442，
5 所以 =1 ( )( ) = (1 3) × (24555 28442) + (2 3) × (27146 28442) + (4 3) ×
(30021 28442) + (5 3) × (31534 28442) = 16833，
5
2 2 2 2 2 2
=1 ( ) = (1 3) + (2 3) + (3 3) + (4 3) + (5 3) = 10，
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5

= =1 ( )( ) 16833所以 5 2 = 10 = 1683.3 ≈ 1683， =1 ( )

所以 = = 28442 1683.3 × 3 ≈ 23392，

所以生产总值 关于年份代码 的经验回归方程为 = 1683 + 23392，

当 = 6 时， = 1683 × 6 + 23392 = 33490，
所以根据预测 2025 年云南省生产总值的估计值为 33490 亿元．
16.(1)证明：连接 与 交于点 ，
因为 为菱形，所以 ⊥ ，
又 ⊥底面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
而 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)解：取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 // ，
又 ⊥底面 ，
所以 ⊥底面 ，
故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为 = = 2, ∠ = 3，
所以 = 2, = 2 3，
所以 ( 3, 0,0)， (0,1,0)， ( 3, 0,0)， (0, 1,0)， ( 3, 0,2)，
所以 = ( 3, 1,2)， = (0,2,0)， = ( 3, 1,0)，
2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 = 0

，即 ，
= 0 3 + + 2 = 0
取 = (2,0, 3)，

设平面 = 3 + + 2 = 0的法向量为 = ( , , )，则

，
= 3 + = 0
取 = (1, 3, 3)，
设平面 与平面 夹角为 ，
= | | 2+3 5则 | =|| | 7× 7 = 7，
所以平面 与平面 5夹角的余弦值为7．
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17.(1)证明：由 +1 +1 = 2 + 2 ，

可得 +1

2 +1 = 2 + 1，

所以{ 2 }是首项为
1
2 = 1，公差为 1 的等差数列．
(2) 由等差数列的通项公式得 2 = 1 + ( 1) × 1 = ，故 = 2
．
可得 ( )的导数为 ′( ) = 1 +
2
+
3

2 + + 1，
1 2 3
由 = 2
= 1 1 1 1 1得 2 ，所以 ′( ) =
2 1
2
+ 22 + 23 + + 2 ，
1
当 ≠ 2 时， ′( ) = 2
[1 (2) ]
1 ，2
1[1 ( 1) ]
所以 ′( 1) = 2 2 = 1 1 1
1+1 3 3
× ( 2 ) ．
2
18.(1)设点 ( , )，故| | = ( 1)2 + 2，而点 到直线 ： = 4 的距离为 = |4 |，
因为动点 到直线 ： = 4 的距离等于 2| |，
所以|4 | = 2 ( 1)2 + 2，
即(4 )2 = 4( 1)2 + 4 2，
2
所以动点 的轨迹 的方程为 +
2
．
4 3 = 1
(2)存在定点 ( , 0)满足题意，解答如下：
当直线斜率存在时，
设过点 的直线方程为 = ( 1)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 +
2
= 1,
联立方程 4 3
= ( 1),
消去 化简得(3 + 4 2) 2 8 2 + 4 2 12 = 0，
8 2 2
则 1 + 2 = 3+4 2 , =
4 12
1 2 ，3+4 2
则 = ( 1 )( 2 ) + 1 2 = 1 22 ( 1 + 2) + + 1 2，
又 21 2 = ( 1 1)( 2 1) = 2 1 2 2( 21 + 2) + ，
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所以 = (1 + 2) ( 2 + )( + ) + 21 2 1 2 + 2，
8 2 2
将 1 + 2 = 3+4 2 ,
4 12
1 2 = ，代入化简得：3+4 2
(4
2 8 5) 2+3 2= 123+4 2 ，
若 为定值，不妨设为 ，
(4 2 8 5) 2+3 2 12
则
3+4 2 = ，
则(4 2 8 5 4 ) 2 + 3 2 12 3 = 0，
要定值与 无关，
令 4 2 8 5 4 = 0，则 3 2 12 3 = 0，
解得 = 118 , =
135
64，
11 135
所以存在定点 ( 8 , 0)，使得
= 64．
3 3当过 的直线垂直 轴时，此时 (1, 2 ), (1, 2 )，
则 = 13564，满足条件．
11
所以在 轴上存在定点 ( , 0)，使得 8 为定值．
19.(1) ( )的定义域为(0, + ∞)，那么导函数 ′( ) = 1 + 1 = ( +1)(1 ) ，由于 > 0，
( +1)
因此 > 0，因此当 > 1， ′( ) < 0，当 0 < < 1， ′( ) > 0，
因此 ( )在区间(1, + ∞)上单调递减，在区间(0,1)上单调递增，
因此 ( )的极大值 ( ) = (1) =
2
2 ，
而 →+∞， ( ) → ∞， → 0， ( ) → ∞，
因此当 0 < < 2 时， ( ) < 0， ( )的零点个数为 0 个；
当 > 2 时， ( ) > 0， ( )的零点个数为 2 个；
当 = 2 时， ( ) = 0， ( )的零点个数为 1 个．
(2)当 > 2 时，根据第一问知，函数 ( )存在两个零点 1， 2，且 1 < 2．
由于 ( )在区间(1, + ∞)上单调递减，在区间(0,1)上单调递增，
2
又因为： → 0， ( ) → ∞， (1) = 2 > 0， (2) = 2 2 < 0，因此0 < 1 < 1，1 < 2 < 2，因此 1 + 2 <
3．
设函数 ( ) = ( ) (2 ) = ln(2 ) 2 + 2，1 < < 2，
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1 1 2( 1)2
那么导函数 ′( ) = + 2 2 = (2 ) > 0，因此 ( )在区间(1,2)上单调递增，
又因为 (1) = 0，所以 ( ) > 0，即 ( ) > (2 )，1 < < 2，
因为 1 < 2 < 2，则 ( 2) > (2 2)，
又 ( 1) = ( 2)，所以 ( 1) > (2 2)，而 0 < 1 < 1，0 < 2 2 < 1，
又 ( )在(0,1)上单调递增，故： 1 > 2 2，所以 1 + 2 > 2．
综上，2 < 1 + 2 < 3．
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