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2024-2025 学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | < 2}, = { 2,0,2,4}，则 ∩ =( )
A. {0,2} B. { 2,0,2} C. {0,2,4} D. { 2,0,2,4}
2
2+2 3
.不等式 1 ≥ 0 的解集为( )
A. [ 3, + ∞) B. ( ∞, 3] ∪ (1，+∞)
C. ( 3,1) ∪ (1, + ∞) D. [ 3,1) ∪ (1, + ∞)
3.已知 ( ) > 0， ( ) > 0，则“ ( | ) = ( )”是“ 与 相互独立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数 ( ) = 2 + 1，且 ( ) = 4，则 ( ) =( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4

5.已知由样本数据( , )( = 1,2,3, , 10)组成的一个样本，得到经验回归方程为 = 2 + 0.6，且 = 3，
去除两个样本点( 4, 6)和(4,8)后，新得到的经验回归直线斜率不变，则新得到的经验回归方程为( )

A. = 2 + 0.5 B. = 2 + 0.6 C. = 2 + 0.7 D. = 2 + 0.8
6 8.某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为9，当输入的问
1 1
题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为3 .已知输入的问题表达不清晰的概率为4，则智能客服的
回答被采纳的概率为( )
A. 23 B.
3 C. 4 D. 54 5 6
+ 2, ≤ 1,
7.已知函数 ( ) = 2 3 +4 , > 1的最小值为 1，则实数 的取值范围是( )
A. [ 1,0] B. ( 1,0] C. [ 1,0) D. ( 1,0)
8.已知 ( )是定义在 上的偶函数， 1， 2 ∈ [0, + ∞)，且 1 ≠ ,
( 1) ( 2)
2 < 2( 1 + 2)恒成立， (1) = 2，1 2
则满足 ( ) ≤ 2( )2的 的取值范围为( )
A. [ 1 1 , ] B. ( 2 , 1] ∪ [ , + ∞)
C. (0, 1 ] ∪ [ , + ∞) D. (
1
2 ,
2] ∪ [ , + ∞)
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数 的值越接近于 1
B.回归分析中，决定系数 2越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好
C.若随机变量 ～ (1, 2)，且 ( < 2) = 0.8，则 (0 < < 2) = 0.6
D.若两个随机变量 ， 满足 = 2 + 1，且 ( ) = 2，则 ( ) = 8
10.已知 > > 0，下列说法正确的是( )
A.若 > ，则 > B. + 若 > 0，则 > +
C. 2 + 2 1 2 11 1 > 2 D. + 2 > + 2
+
11.设 ( )是定义在 上的函数，满足 ( ) (4 ) = 0， (1 + ) + (1 ) = 2，则下列结论一定正确
的是( )
A. ( + 2) = ( 2) B. = ( + 2)是偶函数
C. (2025) = 0 D. 2026 =1 (2 ) = 2026
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 2.若幂函数 ( ) = ( 2 3 3) + 3在(0, + ∞)上是增函数，则实数 =______．
13.已知函数 ( ) = ( )2在 = 1 处有极小值，则实数 = ______．
14.一袋中有大小、质地相同的 5 个球，标号为 1，2，3，4，5.从中有放回的取球，每次取一个，一共取 5
次.把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有 3 个不同整数的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在网络信息发达的今天，学会甄别网络信息的真假至关重要，某高校随机抽取了 100 名学生，对其是否有
甄别习惯进行了调查统计，样本数据如下：
是否有甄别习惯
性别
没有甄别习惯有甄别习惯合计
男 25 35 60
女 15 25 40
合计 40 60 100
(1)依据小概率值 = 0.1 的独立性检验，分析表中的数据，能否据此认为是否有甄别习惯与性别有关？
(2)为进一步增强学生的网络信息甄别能力，该高校拟组织一场宣讲，以样本频率估计总体概率，从该校所
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有学生中随机抽取 3 人进行宣讲业务培训，求这 3 人中至少有 2 人有甄别习惯的概率．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，
( 2
≥ ) 0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + 4 2)
4 = 4 3 20 + 1 + 2 + 1 2 33 + 4 + 5 + 6 + 7
+ 8 4， > 0．
(1)求 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8；
(2)求 ( )的最小值；
(3)求 4的值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 的定义域与值域相同．
(1)求 的值；
(2)若 ( ) = [ ( )]2 2 ，讨论 ( )的单调性．
18.(本小题 17 分)
某校航空航天社团学生利用 训练平台对无人机完成飞行任务进行训练.无人机每轮训练有以下规律：若上
2
一轮成功，本轮成功概率为 ；若上一轮失败，本轮成功概率为2 .已知首轮成功概率为3，且前两轮都成功的
4
概率为9．
(1)求 ；
(2)在三轮训练中，求第一轮失败的条件下，第二轮、第三轮都成功的概率；
(3)设随机变量 表示三轮训练中成功的次数，求 的分布列及数学期望．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = (1 + 1 )．
(1)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)求证：当 > 0 时， ( ) < 1；
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(3)一袋中有大小、质地相同的 25 个小球，标号为 1 到 25.从中有放回的取球，每次取一个，一共取 ( ∈
, ≤ 25)次，并记录每次抽取的小球的号码，设记录的 个号码都不相同的概率为 25 .证明： =1 ! < 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.1
14.1225
15.(1)零假设 0：该校学生是否有甄别习惯与性别无关．
2
2 = 100×(25×25 15×35)40×60×40×60 ≈ 0.1736 < 2.706，
则根据小概率值 = 0.1 的独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，
即可以认为 0成立，故不能认为该校学生是否有甄别习惯与性别有关．
(2)由(1)可知抽取的 100 名学生中有甄别习惯的有 60 人，
60 3
故可估计该校学生有甄别习惯的概率为100 = 5．
所以随机抽取 3 人至少有 2 人有甄别习惯的概率为：
= 2 ( 3 )2 2 + ( 33 5 5 5 )
3 = 81125．
16.(1)由题意函数 ( ) = ( + 4 2)
4 = 0 4 + 31 + 2 2 + 3 1 + 4 + 5 + 26 + 3 47 + 8 ，
> 0．
可得当 = 1 时， 0 + 1 + 2 + 3 + 1 + 5 + 6 + 7 + 8 = (1) = 34 = 81．
(2) 4 4方法 1： + 2 ≥ 2 2 = 2，当且仅当 = 2 时，取等号．
所以 ( ) 4 = (2) = 2 = 16．
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2 ( ) = 4( + 4 2)3(1 4 ) = 4( + 4 2)3 ( +2)( 2)方法 ： ′ 2 2 ．
由 ′( ) > 0 得： > 2；由 ′( ) < 0 得：0 < < 2．
所以 ( )在(0,2)上单调递减，在(2, + ∞)上单调递增．
所以 ( ) 4 = (2) = 2 = 16．
(3) 1 4方法 ：由三项展开式可得通项为 = 4 4 ( ) ( 2) ，
所以 4 1 1 44 = ( 2) + 4 3 ( 2)
2 + 2 24 2(
4
2 )
2 = 16 + 192 + 96 = 304．
方法 2：
4 4 4 4
( ) = 0( + )4( 2)0 + 1( + )3( 2)1 + 2( + )2( 2)2 + 3( + )1( 2)3 4
4
4 4 4 4 + 4( + )
0(
2)4
= ( + 4 4 4 3 4 2 ) 8( + ) + 24( + ) 32( +
4
) + 16．
所以 2 2 14 = 4 × 4 + 24 × 2 × 4 + 16 = 304．
17.(1)由题意函数 ( ) = 2 的定义域与值域相同．
当 ≤ 0 时， ( )的定义域为 ，值域为( , + ∞)，不符合题意，舍去．
当 > 0 时，由 2 ≥ 0 ≥ 得： 2 ，
( ) [ 的定义域为 2 , + ∞)，值域为[0, + ∞)，

所以 2 = 0 得： = 1．
(2)由(1)可知 ( ) = [ ( )]2 2 = 2 2 1， ≥ 0，
′( ) = 2 2 2 = 2( 2 )，
当 ≤ 1 时， ′( ) ≥ 0 在[0, + ∞)上恒成立，
所以 ( )在[0, + ∞)上单调递增；
当 > 1 时， ′( ) < 0 得 0 ≤ < 2 ， ′( ) > 0 得 > 2 ；
所以 ( ) ( , + ∞) [0, 在 2 上单调递增，在 2 )上单调递减；
综上所述：当 ≤ 1 时， ( )在[0, + ∞)上单调递增；
当 > 1 ( ) ( 时， 在 2 , + ∞)上单调递增，在[0,

2 )上单调递减．
18.(1)设 ( = 1,2,3)表示第 轮训练成功．
( 4 2 2因为 1 2) = ( 1) ( 2| 1)，即9 = 3 ，解得： = 3．
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(2) ( 2 3| 1) = ( 2| 1) ( 3| 1
1
2) = 3 ×
2 = 23 9，
(3)随机变量 的所有取值可能为 0，1，2，3．

( = 0) = ( 1) ( 2| 1) ( 3| 1 2) =
1 2
3 × 3 ×
2
3 =
4
27，

( = 1) = ( 1) ( 2| 1) ( 3| 1 2) + ( 1) ( 2| 1) ( 3| 1 2) + ( 1) ( 2| 1) ( 3| 1 2)
= 2 × 1 × 2 + 1 × 1 × 1 + 1 × 2 × 1 73 3 3 3 3 3 3 3 3 = 27．

( = 2) = ( 1) ( 2| 1) ( 3| 1 2) + ( 1) ( 2| 1) ( 3| 1 2) + ( 1) ( 2| 1) ( 3| 1 2)
= 2 × 2 × 1 + 2 × 1 × 1 + 1 13 3 3 3 3 3 3 × 3 ×
2 8
3 = 27．
( = 3) = ( 1) ( 2| 1) (
2 2 2 8
3| 1 2) = 3 × 3 × 3 = 27．
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
4 7 8 8
27 27 27 27
( ) = 0 × 4 7 8 8 4727 + 1 × 27 + 2 × 27+ 3 × 27 = 27．
19.(1)因为 ( ) = (1 + 1 )，
所以 ′( ) = ln(1 + 1 ) 1 +1，
所以 (1) = 2， ′(1) = 2 12，
所以所求切线方程为 2 = ( 2 12 )( 1)，
即为(2 2 1) 2 + 1 = 0；
(2)当 > 0 时，要证： ( ) < 1 (1 + 1 ) < 1 ln(1 + 1 1，即证： ，只需证： ) < ，
令 ( ) = ln(1 + ) ， ≥ 0， ′( ) = 11+ 1 =

1+ ≤ 0 在[0, + ∞)上恒成立．
所以 ( )在[0, + ∞)上单调递减．
所以 ( ) ≤ (0) = 0．
1 1 1 1 1
令 = ，则 ln(1 + ) < 0，所以 ln(1 + ) < ，证毕．

(3) 25 25 25 1 = 25 ，所以 ! = 25 × ! = 25 = 25( 25 ) ，
所以25 25 1 1 1 1 2 1 2 25 1 25 1 25 =1 ! = =1 [ 25( 25 ) ] = 25( 25 ) + 25( 25 ) + . . . + 25( 25 ) = (1 + 25 ) 1．
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所以要证25 =1 ! < 1.即证：(1 +
1 25
25 ) 1 < 1
1
，即证：(1 + 25 )
25 < ，
只需证：25 (1 + 1 1 125 ) < 1 即证：ln(1 + 25 ) < 25，
由(2)知 ln(1 + ) < ，
令 = 125，得 ln(1 +
1 1
25 ) < 25．
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