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广东省深圳市福田区2024-2025学年七年级下学期数学期末教学质量检测
一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的)
1．（2025七下·福田期末） 下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·福田期末） 某款无人机的影像传感器像素点间距为0.0000024米，能够捕捉到丰富的细节.数据0.0000024用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·福田期末） 小福每天早上七点在站台等候搭乘公共汽车，他把每天等待上车的时间整理如下：
等候次数 10 20 50 100 200 300
等待上车的时间少于5min的次数 5 13 38 79 162 240
等待上车的时间少于5min的频率 0.50 0.65 0.76 0.79 0.81 0.80
小福再等一次公共汽车，等待上车的时间少于5min 概率是（　　）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
4．（2025七下·福田期末） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·福田期末） 图1 是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性.如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·福田期末） 某款自行车的三角形车架中，有两根钢架长分别为5分米和8分米，则第三根的长可能是（　　）
A．3分米 B．9分米 C．13分米 D．15分米
7．（2025七下·福田期末） 图是一段双向等宽道路，点A，B是马路两边正对面的两个公交站牌，点E是隔离带EF中的一个花坛，.小田所在点C，学校门口D和花坛E在同一条直线上.小田测量出点A，C之间的距离是18m，就可知道学校门口D与公交站牌B之间的距离为18m.此方案的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．SSA D．SAS
8．（2025七下·福田期末） 如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办.某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲、乙、丙三个测试点.该机器人从甲处以1.5m/s的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以2m/s的速度匀速跑到丙处，停留15s后，从丙处匀速返回甲处.该机器人离测试点甲的距离y(m)与离开测试点甲的时间x(s)之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（　　）
A．该机器人从测试点甲到测试点乙用了20s
B．该机器人在测试点乙处停留了10s
C．测试点乙与测试点丙之间的距离为60m
D．该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为2.7m/s
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．（2025七下·福田期末） 计算：　 　.
10．（2025七下·福田期末） 如图，，要使，还需要添加一个条件是　 　 (添加一个即可).
11．（2025七下·福田期末） 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是　 　.
12．（2025七下·福田期末） 如图，四边形 ABCD 的面积是 10，各边的中点分别为 M，N，P，Q，MP 与 NQ 相交于点 O，图中阴影部分的总面积为　 　.
13．（2025七下·福田期末） 转化是解决数学问题的一种重要策略，可将不规则的图形转化为规则图形，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的.如图，是两个部分重合的等腰直角三角形，腰长分别为a，b(a>b)，a+b=7，a-b=2，阴影部分面积分别为，，则=　 　.
三、解答题(本题共7小题，其中第14题10分，第15题7分，第16题8分第17题8分，第18题8分，第19题9分，第20题11分，共61分)
14．（2025七下·福田期末） 计算：
（1） ；
（2） .
15．（2025七下·福田期末） 先化简，再求值：，其中，.
16．（2025七下·福田期末） 如图，在中，点D，E分别在边AB和AC上，过点C作交DE的延长线于点F，，
（1） 试说明：（将过程补充完整，并写出每一步的推理依据）
解： ∵，（已知）
∴，（ ▲ ）
∴，（ ▲ ）
∴ ▲ ，（已知）
∴ ▲ ，（ ▲ ）
∴.（等量代换）
（2） 若，，求的度数.
17．（2025七下·福田期末） 某景区向雪糕厂定制了一批包装相同的文创盲盒雪糕在景区小卖部售卖，其中巧克力口味50个，芒果口味40个，香蕉口味30个.
（1）小方从景区小卖部买一个雪糕，能买到巧克力口味是一个　 　事件(填写“必然”、“随机”、“不可能”)
（2）小程从景区小卖部买了一个雪糕，是芒果口味的概率是多少？
（3）因天气炎热，第一批雪糕供不应求，景区准备定制第二批雪糕，原计划各口味定制的数量与第一批定制的相同.后来，为了让旅客买到巧克力口味的概率为，需把部分香蕉口味的雪糕替换成巧克力口味，求替换的雪糕数量.
18．（2025七下·福田期末） 如图，点E，A，D，B在同一条直线上，，，.
（1） 与全等吗？请说明理由；
（2） 尺规作图：作的角平分线，与AC交于点P（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3） 在条件（2）下，若，，求的面积.
19．（2025七下·福田期末） 综合与实践——万花筒里的数学
【发现问题】如图1，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到的图形数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律.
【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面镜成轴对称
【数学探究】
探究一：如图2，正方形 P 放在“镜子门”中间，当“镜子门”张角 为 时，正方形 P 关于镜子 OA 的轴对称图形是像 .
（1） 请你画出正方形 P 在镜子 OB 中的像 （不限作图工具）；
（2） 像 ，像 会在镜子中再次轴对称成像，像 关于 的轴对称图形是像 ，像 关于 的轴对称图形是像 ，请分析像 与像 　 　 重合（填写“是”或“否”）.
（3）探究二：如图3，当“镜子门”张角 大小是 的因数时，观察到的图形数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的.
改变张角的大小，并记录观察到的图形数量，得到以下表格：
的度数x/度 45 60 72 90 120
观察到的图形数量y/个 8 6 ▲ 4 3
①在这个变化过程中， ▲ 是自变量， ▲ 是因变量；
②补充上述表格；
③请写出观察到的图形数量y与的度数x的关系式： ▲ .
20．（2025七下·福田期末） 定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共角，且公共角所对的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”.例如，在图 1 中， 与 有公共边 MP 和公共角 ，且 ，则 与 是双赢三角形.
如图2，在 中，D 是 AB 边上任意一点，
（1） 若 和 是“双赢三角形”，，则 = 　 　；
（2） 如图3，延长 CD 到点 E，连接 AE 和 BE，，，，
① 试说明： 与 是“双赢三角形”；
② 若 ，，求 DE 的长；
③ 若 ，，求 的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： A、无对称轴，A错误.
B、无对称轴，B错误.
C、沿某条直线折叠，两旁部分可重合，C正确.
D、无对称轴，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形定义（沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合 ），逐一判断.
2．【答案】B
【知识点】还原用科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000024左起第一个非零数是2，它前面有6个0，所以0.0000024 = .
故答案为：B .
【分析】根据科学记数法表示较小数的规则，数出原数中第一个非零数字前0的个数得n，调整a满足
3．【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：观察表格，随着等候次数增加，等待时间少于5分钟的频率稳定在0.8左右，所以概率估计为0.8.
故答案为：D .
【分析】 利用 “大量重复试验中，频率趋近于概率” 的统计思想，看频率稳定值确定概率.
4．【答案】A
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：、幂的乘方，底数不变，指数相乘，，A正确.
、与不是同类项，不能合并，B错误.
、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，C错误.
、积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再相乘，，D错误.
故答案为： .
【分析】根据幂的运算规则（幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方 ）及同类项合并条件，逐一判断选项.
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解： 、与是同位角，同位角相等，两直线平行，可判断，A正确.
、与是对顶角，对顶角相等不能判定，B错误.
、与是邻补角，和为是必然，不能判定，C错误.
、与无直接平行判定关系，D错误.
故答案为：A .
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ），逐一分析选项中角的关系是否符合判定条件.
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，已知两边为分米、分米，则第三边，即第三边 .
故答案为： .
【分析】利用三角形三边关系（两边和大于第三边、两边差小于第三边 ），确定第三边的取值范围，再筛选选项.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由，可得，，又（双向等宽道路，、 正对面 ），所以，故，依据是.
故答案为： .
【分析】根据平行线性质得角相等，结合双向等宽道路隐含，用判定三角形全等，进而由全等性质得线段相等.
8．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、甲到乙速度，距离，时间，A正确.
B、乙处停留时间，B正确.
C、乙到丙时间，速度，距离，C正确.
D、甲到丙总距离，返回时间，速度，D错误.
故答案为：D .
【分析】结合函数图象，分段分析机器人运动状态（运动、停留 ），用“路程 = 速度×时间”计算各阶段路程、时间、速度，逐一验证选项.
9．【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据单项式乘多项式法则，用2m分别乘m和1，得2m·m + 2m·1 = 2 + 2m.
故答案为： .
【分析】 运用单项式乘多项式的运算规则，将单项式与多项式的每一项相乘后相加.
10．【答案】∠B=∠D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知，（公共边 ），添加以下条件之一可证全等；
若，则用（，， ）证全等；
若，则用（，， ）证全等；
若，则用（，， ）证全等.
故答案为：∠B=∠D或∠BAC=∠DCA或AD=BC或∠BAE=∠DCE或BE=DE.
【分析】根据全等三角形判定定理（、、 等 ），结合已知和公共边，补充对应角相等或对应边相等的条件.
11．【答案】58°
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因为直尺两边平行，三角尺直角为，，所以.
故答案为：58° .
【分析】利用直尺两边平行（隐含平行线性质 ）和三角尺直角，通过角的和差计算.
12．【答案】5
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，OD，
∵各边中点分别为M，N，P，Q，
∴AM=BM，CN=BN，CP=DP，AQ=DQ，
∴S△AOM=S△BOM①，
S△CON=S△BON②，
S△COP=S△DOP③，
S△AOQ=S△DOQ④，
①+②+③+④，得
S△AOM+S△CON+S△COP+S△AOQ=S△BOM+S△BON+S△DOP+S△DOQ，
∴S四边形AMOQ+S四边形CPON= ．
故答案为：5．
【分析】 本题考查了三角形中线的性质，连接OA，OB，OC，OD，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可．
13．【答案】7
【知识点】平方差公式及应用；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设重合部分面积为，则 ，由，，根据平方差公式.
故答案为：7 .
【分析】通过设重合部分面积，将转化为两个等腰直角三角形面积之差，再用平方差公式结合已知、的值计算.
14．【答案】（1）解：原式 =
= 3.
（2）解：原式 = .
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）按“负指数幂、乘方、零指数幂”的运算顺序，分别计算后求和.
（2）先运用同底数幂乘法（ ）、积的乘方（ ）法则展开，再合并同类项.
15．【答案】解：原式=
当x=2，y=1时，原式=5×1+2=7
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】 先运用完全平方公式、平方差公式展开括号，再合并同类项化简，最后代入求值.
16．【答案】（1）解：由，根据同旁内角互补，两直线平行，得 ，
因，根据两直线平行，同位角相等，得 ，
已知 ，由，根据两直线平行，内错角相等，得 ，
故（等量代换 ）.
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；CF∥AB；∠F；两直线平行，内错角相等.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定（同旁内角互补 ）和性质（同位角、内错角相等 ），逐步推导角的等量关系，关键是准确识别“三线八角”及对应定理.
（2）结合（1）中平行线结论，运用平行线性质转化角，再通过角的和差计算，核心是平行线性质的连续应用与角的合成.
17．【答案】（1）随机
（2）解：雪糕的总数有 120个，芒果口味的数量为 40 个，
所以，P(购买一个雪糕是芒果味)= .
（3）解：方法一：（个）或（个）.
答：需要替换的香蕉雪糕数量是10个.
方法二：解：设需要替换的香蕉雪糕数量为x个，根据题意，得
，
，
解这个方程，得，
答：需要替换的香蕉雪糕数量是10个.
方法三：解：设需要替换的香蕉雪糕数量为x个，根据题意，得
，
解这个方程，得，
答：需要替换的香蕉雪糕数量是10个.
【知识点】简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）解：因为买一个雪糕时，可能买到巧克力口味，也可能买到其他口味，结果不确定，所以是随机事件.
故答案为：随机.
【分析】（1）根据事件发生的确定性与不确定性，判断“随机事件”（结果不确定 ）.
（2）用概率公式（ ），先算总数，再求芒果口味概率.
（3）通过调整巧克力数量使概率为，可直接计算目标数量差，或用方程（根据概率公式、数量平衡 ）求解，核心是抓住“概率变化与数量调整”的关系.
18．【答案】（1）解： 或 与 全等.理由如下：
∵，且 ，
∴.
∵，
∴.
在和中，
（SAS）.
（2）解：如下图：
射线 BP 即为所求；
（3）解：如下图，过点 P 作 于点 H，
，
，
平分， 且 ，
，
，
，
.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）通过线段和差得边相等，平行线得角相等，结合（实际是，因直角 ）证全等，关键是条件转化与全等判定.
（2）运用尺规作角平分线的基本方法，保留作图痕迹即可，核心是角平分线的尺规作图步骤.
（3）利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ）得高相等，结合全等三角形性质得长度，最后用三角形面积公式计算，重点是性质应用与面积公式的结合.
19．【答案】（1）解：如下图，像 P2为所求；
（2）是
（3）①（或 ）；观察到的图形数量（或 ）； ② 补充上述表格5：③（或 ）.
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：因图形关于镜面对称，且，通过对称变换可知，像与像能重合.
故答案为：是 .
（3）解：①自变量是的度数（或 ），因变量是观察到的图形数量（或 ）.
②，故表格填 .
③由规律得（或 ）.
故答案为：①（或 ）；观察到的图形数量（或 ）； ② 补充上述表格5：③（或 ）
【分析】（1）运用轴对称图形的作图方法，找到顶点对称点并连接，核心是轴对称性质的应用.
（2）基于轴对称的对称性，分析多次对称后图形的重合情况，关键是理解对称变换的规律.
（3）识别自变量与因变量（主动变化与被动变化的量 ），通过除以张角度数得图形数量，总结出函数关系式，重点是规律观察与归纳.
20．【答案】（1）69°
（2）解：①理由如下：
，
，
.
在 和 中，
.
.
是公共边， 是公共角，，
与 是双赢三角形.
②∵，
∴，.
∴.
③∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：因和是“双赢三角形”，有公共边、公共角，且（隐含 ），
所以，
由“双赢”得，又，中，
故 .
故答案为：69°.
【分析】（1）依据“双赢三角形”定义，结合等腰三角形性质（等边对等角 ），计算角的度数，关键是识别“双赢”条件与等腰三角形的关联.
（2）①：通过角的等量代换（同角的补角相等 ）证三角形全等，再结合“双赢三角形”定义（公共边、公共角、对边相等 ）判定，核心是全等证明与定义匹配.
②：利用全等三角形的性质（对应边相等 ），通过线段和差计算，重点是全等性质的应用.
③：结合等腰三角形性质（等边对等角 ）、三角形内角和及全等性质，逐步推导角的度数，关键是角的转化与和差计算.
1 / 1广东省深圳市福田区2024-2025学年七年级下学期数学期末教学质量检测
一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的)
1．（2025七下·福田期末） 下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： A、无对称轴，A错误.
B、无对称轴，B错误.
C、沿某条直线折叠，两旁部分可重合，C正确.
D、无对称轴，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形定义（沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合 ），逐一判断.
2．（2025七下·福田期末） 某款无人机的影像传感器像素点间距为0.0000024米，能够捕捉到丰富的细节.数据0.0000024用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】还原用科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000024左起第一个非零数是2，它前面有6个0，所以0.0000024 = .
故答案为：B .
【分析】根据科学记数法表示较小数的规则，数出原数中第一个非零数字前0的个数得n，调整a满足
3．（2025七下·福田期末） 小福每天早上七点在站台等候搭乘公共汽车，他把每天等待上车的时间整理如下：
等候次数 10 20 50 100 200 300
等待上车的时间少于5min的次数 5 13 38 79 162 240
等待上车的时间少于5min的频率 0.50 0.65 0.76 0.79 0.81 0.80
小福再等一次公共汽车，等待上车的时间少于5min 概率是（　　）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：观察表格，随着等候次数增加，等待时间少于5分钟的频率稳定在0.8左右，所以概率估计为0.8.
故答案为：D .
【分析】 利用 “大量重复试验中，频率趋近于概率” 的统计思想，看频率稳定值确定概率.
4．（2025七下·福田期末） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：、幂的乘方，底数不变，指数相乘，，A正确.
、与不是同类项，不能合并，B错误.
、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，C错误.
、积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再相乘，，D错误.
故答案为： .
【分析】根据幂的运算规则（幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方 ）及同类项合并条件，逐一判断选项.
5．（2025七下·福田期末） 图1 是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性.如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解： 、与是同位角，同位角相等，两直线平行，可判断，A正确.
、与是对顶角，对顶角相等不能判定，B错误.
、与是邻补角，和为是必然，不能判定，C错误.
、与无直接平行判定关系，D错误.
故答案为：A .
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ），逐一分析选项中角的关系是否符合判定条件.
6．（2025七下·福田期末） 某款自行车的三角形车架中，有两根钢架长分别为5分米和8分米，则第三根的长可能是（　　）
A．3分米 B．9分米 C．13分米 D．15分米
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，已知两边为分米、分米，则第三边，即第三边 .
故答案为： .
【分析】利用三角形三边关系（两边和大于第三边、两边差小于第三边 ），确定第三边的取值范围，再筛选选项.
7．（2025七下·福田期末） 图是一段双向等宽道路，点A，B是马路两边正对面的两个公交站牌，点E是隔离带EF中的一个花坛，.小田所在点C，学校门口D和花坛E在同一条直线上.小田测量出点A，C之间的距离是18m，就可知道学校门口D与公交站牌B之间的距离为18m.此方案的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．SSA D．SAS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由，可得，，又（双向等宽道路，、 正对面 ），所以，故，依据是.
故答案为： .
【分析】根据平行线性质得角相等，结合双向等宽道路隐含，用判定三角形全等，进而由全等性质得线段相等.
8．（2025七下·福田期末） 如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办.某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲、乙、丙三个测试点.该机器人从甲处以1.5m/s的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以2m/s的速度匀速跑到丙处，停留15s后，从丙处匀速返回甲处.该机器人离测试点甲的距离y(m)与离开测试点甲的时间x(s)之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（　　）
A．该机器人从测试点甲到测试点乙用了20s
B．该机器人在测试点乙处停留了10s
C．测试点乙与测试点丙之间的距离为60m
D．该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为2.7m/s
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、甲到乙速度，距离，时间，A正确.
B、乙处停留时间，B正确.
C、乙到丙时间，速度，距离，C正确.
D、甲到丙总距离，返回时间，速度，D错误.
故答案为：D .
【分析】结合函数图象，分段分析机器人运动状态（运动、停留 ），用“路程 = 速度×时间”计算各阶段路程、时间、速度，逐一验证选项.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．（2025七下·福田期末） 计算：　 　.
【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据单项式乘多项式法则，用2m分别乘m和1，得2m·m + 2m·1 = 2 + 2m.
故答案为： .
【分析】 运用单项式乘多项式的运算规则，将单项式与多项式的每一项相乘后相加.
10．（2025七下·福田期末） 如图，，要使，还需要添加一个条件是　 　 (添加一个即可).
【答案】∠B=∠D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知，（公共边 ），添加以下条件之一可证全等；
若，则用（，， ）证全等；
若，则用（，， ）证全等；
若，则用（，， ）证全等.
故答案为：∠B=∠D或∠BAC=∠DCA或AD=BC或∠BAE=∠DCE或BE=DE.
【分析】根据全等三角形判定定理（、、 等 ），结合已知和公共边，补充对应角相等或对应边相等的条件.
11．（2025七下·福田期末） 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是　 　.
【答案】58°
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因为直尺两边平行，三角尺直角为，，所以.
故答案为：58° .
【分析】利用直尺两边平行（隐含平行线性质 ）和三角尺直角，通过角的和差计算.
12．（2025七下·福田期末） 如图，四边形 ABCD 的面积是 10，各边的中点分别为 M，N，P，Q，MP 与 NQ 相交于点 O，图中阴影部分的总面积为　 　.
【答案】5
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，OD，
∵各边中点分别为M，N，P，Q，
∴AM=BM，CN=BN，CP=DP，AQ=DQ，
∴S△AOM=S△BOM①，
S△CON=S△BON②，
S△COP=S△DOP③，
S△AOQ=S△DOQ④，
①+②+③+④，得
S△AOM+S△CON+S△COP+S△AOQ=S△BOM+S△BON+S△DOP+S△DOQ，
∴S四边形AMOQ+S四边形CPON= ．
故答案为：5．
【分析】 本题考查了三角形中线的性质，连接OA，OB，OC，OD，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可．
13．（2025七下·福田期末） 转化是解决数学问题的一种重要策略，可将不规则的图形转化为规则图形，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的.如图，是两个部分重合的等腰直角三角形，腰长分别为a，b(a>b)，a+b=7，a-b=2，阴影部分面积分别为，，则=　 　.
【答案】7
【知识点】平方差公式及应用；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设重合部分面积为，则 ，由，，根据平方差公式.
故答案为：7 .
【分析】通过设重合部分面积，将转化为两个等腰直角三角形面积之差，再用平方差公式结合已知、的值计算.
三、解答题(本题共7小题，其中第14题10分，第15题7分，第16题8分第17题8分，第18题8分，第19题9分，第20题11分，共61分)
14．（2025七下·福田期末） 计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式 =
= 3.
（2）解：原式 = .
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）按“负指数幂、乘方、零指数幂”的运算顺序，分别计算后求和.
（2）先运用同底数幂乘法（ ）、积的乘方（ ）法则展开，再合并同类项.
15．（2025七下·福田期末） 先化简，再求值：，其中，.
【答案】解：原式=
当x=2，y=1时，原式=5×1+2=7
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】 先运用完全平方公式、平方差公式展开括号，再合并同类项化简，最后代入求值.
16．（2025七下·福田期末） 如图，在中，点D，E分别在边AB和AC上，过点C作交DE的延长线于点F，，
（1） 试说明：（将过程补充完整，并写出每一步的推理依据）
解： ∵，（已知）
∴，（ ▲ ）
∴，（ ▲ ）
∴ ▲ ，（已知）
∴ ▲ ，（ ▲ ）
∴.（等量代换）
（2） 若，，求的度数.
【答案】（1）解：由，根据同旁内角互补，两直线平行，得 ，
因，根据两直线平行，同位角相等，得 ，
已知 ，由，根据两直线平行，内错角相等，得 ，
故（等量代换 ）.
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；CF∥AB；∠F；两直线平行，内错角相等.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定（同旁内角互补 ）和性质（同位角、内错角相等 ），逐步推导角的等量关系，关键是准确识别“三线八角”及对应定理.
（2）结合（1）中平行线结论，运用平行线性质转化角，再通过角的和差计算，核心是平行线性质的连续应用与角的合成.
17．（2025七下·福田期末） 某景区向雪糕厂定制了一批包装相同的文创盲盒雪糕在景区小卖部售卖，其中巧克力口味50个，芒果口味40个，香蕉口味30个.
（1）小方从景区小卖部买一个雪糕，能买到巧克力口味是一个　 　事件(填写“必然”、“随机”、“不可能”)
（2）小程从景区小卖部买了一个雪糕，是芒果口味的概率是多少？
（3）因天气炎热，第一批雪糕供不应求，景区准备定制第二批雪糕，原计划各口味定制的数量与第一批定制的相同.后来，为了让旅客买到巧克力口味的概率为，需把部分香蕉口味的雪糕替换成巧克力口味，求替换的雪糕数量.
【答案】（1）随机
（2）解：雪糕的总数有 120个，芒果口味的数量为 40 个，
所以，P(购买一个雪糕是芒果味)= .
（3）解：方法一：（个）或（个）.
答：需要替换的香蕉雪糕数量是10个.
方法二：解：设需要替换的香蕉雪糕数量为x个，根据题意，得
，
，
解这个方程，得，
答：需要替换的香蕉雪糕数量是10个.
方法三：解：设需要替换的香蕉雪糕数量为x个，根据题意，得
，
解这个方程，得，
答：需要替换的香蕉雪糕数量是10个.
【知识点】简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）解：因为买一个雪糕时，可能买到巧克力口味，也可能买到其他口味，结果不确定，所以是随机事件.
故答案为：随机.
【分析】（1）根据事件发生的确定性与不确定性，判断“随机事件”（结果不确定 ）.
（2）用概率公式（ ），先算总数，再求芒果口味概率.
（3）通过调整巧克力数量使概率为，可直接计算目标数量差，或用方程（根据概率公式、数量平衡 ）求解，核心是抓住“概率变化与数量调整”的关系.
18．（2025七下·福田期末） 如图，点E，A，D，B在同一条直线上，，，.
（1） 与全等吗？请说明理由；
（2） 尺规作图：作的角平分线，与AC交于点P（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3） 在条件（2）下，若，，求的面积.
【答案】（1）解： 或 与 全等.理由如下：
∵，且 ，
∴.
∵，
∴.
在和中，
（SAS）.
（2）解：如下图：
射线 BP 即为所求；
（3）解：如下图，过点 P 作 于点 H，
，
，
平分， 且 ，
，
，
，
.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）通过线段和差得边相等，平行线得角相等，结合（实际是，因直角 ）证全等，关键是条件转化与全等判定.
（2）运用尺规作角平分线的基本方法，保留作图痕迹即可，核心是角平分线的尺规作图步骤.
（3）利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ）得高相等，结合全等三角形性质得长度，最后用三角形面积公式计算，重点是性质应用与面积公式的结合.
19．（2025七下·福田期末） 综合与实践——万花筒里的数学
【发现问题】如图1，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到的图形数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律.
【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面镜成轴对称
【数学探究】
探究一：如图2，正方形 P 放在“镜子门”中间，当“镜子门”张角 为 时，正方形 P 关于镜子 OA 的轴对称图形是像 .
（1） 请你画出正方形 P 在镜子 OB 中的像 （不限作图工具）；
（2） 像 ，像 会在镜子中再次轴对称成像，像 关于 的轴对称图形是像 ，像 关于 的轴对称图形是像 ，请分析像 与像 　 　 重合（填写“是”或“否”）.
（3）探究二：如图3，当“镜子门”张角 大小是 的因数时，观察到的图形数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的.
改变张角的大小，并记录观察到的图形数量，得到以下表格：
的度数x/度 45 60 72 90 120
观察到的图形数量y/个 8 6 ▲ 4 3
①在这个变化过程中， ▲ 是自变量， ▲ 是因变量；
②补充上述表格；
③请写出观察到的图形数量y与的度数x的关系式： ▲ .
【答案】（1）解：如下图，像 P2为所求；
（2）是
（3）①（或 ）；观察到的图形数量（或 ）； ② 补充上述表格5：③（或 ）.
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：因图形关于镜面对称，且，通过对称变换可知，像与像能重合.
故答案为：是 .
（3）解：①自变量是的度数（或 ），因变量是观察到的图形数量（或 ）.
②，故表格填 .
③由规律得（或 ）.
故答案为：①（或 ）；观察到的图形数量（或 ）； ② 补充上述表格5：③（或 ）
【分析】（1）运用轴对称图形的作图方法，找到顶点对称点并连接，核心是轴对称性质的应用.
（2）基于轴对称的对称性，分析多次对称后图形的重合情况，关键是理解对称变换的规律.
（3）识别自变量与因变量（主动变化与被动变化的量 ），通过除以张角度数得图形数量，总结出函数关系式，重点是规律观察与归纳.
20．（2025七下·福田期末） 定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共角，且公共角所对的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”.例如，在图 1 中， 与 有公共边 MP 和公共角 ，且 ，则 与 是双赢三角形.
如图2，在 中，D 是 AB 边上任意一点，
（1） 若 和 是“双赢三角形”，，则 = 　 　；
（2） 如图3，延长 CD 到点 E，连接 AE 和 BE，，，，
① 试说明： 与 是“双赢三角形”；
② 若 ，，求 DE 的长；
③ 若 ，，求 的度数.
【答案】（1）69°
（2）解：①理由如下：
，
，
.
在 和 中，
.
.
是公共边， 是公共角，，
与 是双赢三角形.
②∵，
∴，.
∴.
③∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：因和是“双赢三角形”，有公共边、公共角，且（隐含 ），
所以，
由“双赢”得，又，中，
故 .
故答案为：69°.
【分析】（1）依据“双赢三角形”定义，结合等腰三角形性质（等边对等角 ），计算角的度数，关键是识别“双赢”条件与等腰三角形的关联.
（2）①：通过角的等量代换（同角的补角相等 ）证三角形全等，再结合“双赢三角形”定义（公共边、公共角、对边相等 ）判定，核心是全等证明与定义匹配.
②：利用全等三角形的性质（对应边相等 ），通过线段和差计算，重点是全等性质的应用.
③：结合等腰三角形性质（等边对等角 ）、三角形内角和及全等性质，逐步推导角的度数，关键是角的转化与和差计算.
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