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2024-2025 学年河南省周口市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = {1,2,3,4}， = {2,3,4,5}，则 ∩ =( )
A. {1,2,3,4} B. {2,3,4} C. {2,4} D. {1}

2 6.已知复数 的共轭复数 = 2+ ，则 =( )
A. 12 65 + 5 B.
12 6 12 6 12 6
5 5 C. 5 + 5 D. 5 5
3.已知 = 5 6，且 ∈ ( , 2 )，则 sin 2 =( )
A. 336 B.
33
6 C.
3 3
6 D. 6
4.已知 ( ) = 25 1 是奇函数，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 12 D.
1
2
5 ( + 1. + 2)
6的展开式中 5的系数为( )
A. 30 B. 24 C. 18 D. 12
6.若函数 ( ) = 的图象与直线 2 = 0 相切，则 =( )
A. 1 B. 2 C. D. 2
2 27.已知双曲线 ： 2 9 2 = 1( > 0)的左、右焦点分别为 1、 2，过点 2且倾斜角为 45°的直线与双曲线
交于第一象限的点 ，延长 2至 使得| | = | 1|，若△ 1 2的面积为 12，则 的值为( )
A. 2 2 B. 6 C. 3 D. 1
8 2025
2
.已知在数列{ }中， 1 = 2， 2 = 2025， +1 = 2025 +2 ( ≥ 2)，则{ }中的最大项是( ) 1
A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2025
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某社区组织开展牙科、眼科义诊活动，其中某个星期内两个项目的参与人数记录如表：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
牙科 11 12 10 14 12 18 20
眼科 12 13 9 11 14 19 20
则( )
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A.牙科参与人数的众数为 12，中位数为 13
B.眼科参与人数的极差为 11，平均数为 14
C. 3用频率估计概率，牙科任意 1 天参与人数不低于 14 的概率为7
D. 3从这 7 天中任意取出连续的 2 天，这 2 天眼科参与人数均不低于 14 的概率为7
10.如图所示，圆锥 1的轴截面 是面积为 4 3的正三角形，用平行于圆锥
1底面的平面截该圆锥，截面圆 2与 ， 分别交于点 ， ，且 = 2，则( )
A.圆锥 1的表面积为 12
B.圆台 1 2的高为 3
C. 2 3圆锥 2的体积为 3
D.从点 出发沿着该圆锥侧面到达 中点的最短路程为 5
11.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，且在第一象限， 在 上的射影为 ，
线段 与 的交点为 ， 在 上的射影为 ，且∠ = ∠ + 6，过点 作 的切线与 轴交于点 ，则( )
A. 为线段 的中点 B. ∠ = 2∠
C. ⊥ D. △ 是等边三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 ， 满足| | = | | = 3，| + 3 | = 3 13，则向量 与 的夹角为______．
13.在平面直角坐标系 中，已知点 (0,3)与点 (0, 3)，若圆 ：( 2 )2 + ( )2 = 1( > 0)上存在
点 ，满足| |2 + | |2 + | |2 = 30，则 的取值范围是______．
14 5 1.将函数 ( ) = cos( 2 )的图象上所有点的横坐标变为原来的 ( > 0)倍，纵坐标不变，得到函数 ( )
的图象，若 ( )在区间( , 2 )内恰有 3 个最值点，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记 为正项数列{ }的前 项和，且 1 = ( + 1) ．
(Ⅰ)求 1， 2；
(Ⅱ)求{ }的通项公式；
(Ⅲ)求数列{ 2 }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
为加强消防安全管理，某公司组织全体员工进行消防安全知识考试，所有考试成绩(单位：分)按照[40,50)，
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[50,60)，…，[90,100]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于 60 分为合格．
(Ⅰ)求图中 的值；
(Ⅱ)按照各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取 20 人，求抽取的成绩不合格的员工人数；
(Ⅲ) 1公司对成绩不合格的员工进行培训后补考，假设成绩在[40,50)内的员工有2的概率补考合格，成绩在
[50,60) 2内的员工有3的概率补考合格，且每个人补考是否合格相互独立，设(Ⅱ)中抽取的成绩不合格的员工
中补考合格的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， ⊥ ， = = = 4， = 2， 在棱
上，且 ⊥平面 ．
(Ⅰ)设 = ，求 的值；
(Ⅱ)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)过点 (2,1)
3
，且离心率 = 2 ，过点 (4,0)的直线 与 交于 ， 两点，
直线 ， 与直线 = 4 分别交于点 ， ．
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(Ⅰ)求 的方程．
(Ⅱ)记直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： + 为定值．
(Ⅲ)是否存在实数 ，使得 △ = ( 表示面积)恒成立？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明
理由．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 3， ( ) = ， ∈ ．
(Ⅰ)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(Ⅱ)若 = 1，证明： > 0 1， ( ) > ；
( ), < 1
(Ⅲ)设函数 ( ) = ( ), ≥ 1，若在曲线 = ( )上存在两点 ， ，在 轴上存在一点 ，使得四边形
为矩形( 为坐标原点)，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.[ 5 , 3 55 5 ]
14.154
15.(Ⅰ)因为 1 = ( + 1) ．
当 = 1 时， 21 = 2 1，又 > 0，故 1 = 2，
当 = 2 时， 1( 1 + 2) = 3 2，将 1 = 2 代入，得 2 = 4．
(Ⅱ)因为 2 = ( + 1) ，所以 2 +1 = ( + 2) +1，
两式相减，得 2 +1 = ( + 2) +1 ( + 1) ，即 +1 = ( + 1) ，

故 +1

+1 = ，于是{ }是常数列，

所以 =
1
1 = 2，故 = 2 ．
(Ⅲ)由(1)可知 2 = 2 2 +1 = 2 +2，
故 = 1 × 23 + + ( 1) 2 +1 + 2 +2 ，
2 = 1 × 24 + + ( 1) 2 +2 + 2 +3，
两式相减，得 = 2 +3 (23 + + 2 +2)
23 2 +3= 2 +3 +31 2 = ( 1) 2 + 8．
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16.(Ⅰ)由已知可得(0.005 + + 0.020 + 0.030 + 0.025 + 0.005) × 10 = 1，
解得 = 0.015；
(Ⅱ)由题意，成绩不合格的员工频率为(0.005 + 0.015) × 10 = 0.2，
故抽取的成绩不合格的员工人数为 20 × 0.2 = 4；
(Ⅲ)因为[40,50) 1与[50,60)的频率之比为3，
所以抽取的成绩不合格的员工中，成绩在[40,50)内的有 1 人，在[50,60)内的有 3 人，
的可能取值为 0，1，2，3，4，
( = 0) = 12 × (
1
3 )
3 = 154，
( = 1) = 12 × (
1
3 )
3 + 1 × 1 22 3 × 3 × (
1 )2 = 73 54，
( = 2) = 1 × 1 × 2 × ( 1 )2 + 1 × 2( 2 )2 12 3 3 3 2 3 3 × 3 =
1
3，
( = 3) = 12 ×
2 2 2 1 1 3 2 3 10
3( 3 ) × 3 + 2 × 3( 3 ) = 27，
( = 4) = 1 2 3 42 × ( 3 ) = 27．
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
1 7 1 10 4
54 54 3 27 27
所以 ( ) = 0 × 1 7 1 1054 + 1 × 54 + 2 × 3+ 3 × 27 + 4 ×
4 5
27 = 2．
17.解：(Ⅰ)因为 ⊥平面 ，且 ⊥ ，
故以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (4,0,0)， (0,2,0)， (4,4,0)， (0,0,4)，
所以 = ( 4,2,0)， = (4,2,0)，
所以 = = (4 , 2 , 0)，即 (4 , 2 + 2,0)，
所以 = (4 , 2 + 2,0)，
因为 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，
所以 = ( 4,2,0) (4 , 2 + 2,0) = 4 × 4 + 2(2 + 2) + 0 = 0 1，解得 = 3．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， = (4,0, 4)， = (4,4, 4)，
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= ( , , ) = 4 4 = 0设平面 的法向量为 ，则

，
= 4 + 4 4 = 0
取 = (1,0,1)，
由(Ⅰ)得，平面 的一个法向量为 = ( 4,2,0)，
所以 cos < ， >=
= 4 = 10，
| | | | 2×2 5 5
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 10．
5
18.(Ⅰ)因为椭圆 过点 (2,1)，且离心率 = 32 ，
4 1
2 + 2 = 1
所以 = 3 ， 2
2 = 2 + 2
解得 2 = 8， 2 = 2，
2 2
则椭圆 的方程为 8 +

2 = 1；
(Ⅱ)显然直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 = ( 4)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 4)
联立 2 2 ，消去 并整理得(4 2 + 1) 2 32 2 + 64 2 8 = 0，
8 + 4 = 1
此时 = ( 32 2)2 4(4 2 + 1)(64 2 8) = 32(1 4 2) > 0，
1
解得 2 < <
1
2，
32 2 2
由韦达定理得 1 + 2 = 4 2+1， 1 2 =
64 8
4 2+1，
因为 =
1 1
2，且 = 0 时， =± 2
所以直线 与 相切，
由椭圆的对称性可知 1 ≠ 2， 2 ≠ 2，
+ 1 1 2 1 ( 1 4) 1 ( 1 4) 1此时 = + =1 2 2 1 1 2
+ 2 2
= [2 1 2 6( 1+ 2)+16] ( 1+ 2)+4 1 2 2( 1+
，
2)+4
2 2
+ = 32 = 64 8因为 1 2 4 2+1， 1 2 4 2+1，
解得 + = 1，
则 + 为定值，定值为 1；
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(Ⅲ)设存在实数 ，使得 △ = 恒成立．
= 4
联立 1 = ( 2)
，
解得 = 2 + 1，
即 (4,2 + 1)，
= 4
联立 1 = ( 2)
，
解得 = 2 + 1，
即 (4,2 + 1)，
由(Ⅱ)知 2 + 1 + 2 + 1 = 2( + ) + 2 = 0，
所以 △ = ，
此时点 ， 到直线 的距离相等，
则 △ = ．
故 = 1．
19.(Ⅰ)由题意知导函数 ′( ) = 2 3 2，
因此又 (1) = 0， ′(1) = 1，
因此 = ( )在点(1, (1))处的切线为 = + 1．
(Ⅱ)证明：若 = 1，那么函数 ( ) = ．
由于 ≤ 1 1，因此 + ≥ +
1
1(仅当 = 2 +

2 ∈ 时取等号)．
设函数 ( ) = + 1 1 1 1 1 ，那么导函数 ′( ) = 2 = 2 ，
当 > 1 时， ′( ) > 0，当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，
因此 ( )在(1, + ∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
1
因此 ( ) ≥ (1) = 0，即 + 1 ≥ 0，仅当 = 1 时取等号．
因此 + 1 > 0，即 > 0, ( ) >
1
．
2 3(Ⅲ)由题意得函数 ( ) = , < 1, , ≥ 1.
由于四边形 为矩形，因此 ， 在 轴的两侧， ⊥ ，且 ， 的横坐标互为相反数．
设 ( , 2 + 3)， ( , ( ))( > 0)，
那么 = 2 + ( )( 2 + 3) = 0．( )，
如果 0 < < 1，那么方程( )为 2 + ( 2 3)( 2 + 3) = 0，化简得 4 2 + 1 = 0，无解；
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如果 > 1，那么方程( )为 2 + ( ) ( 2 + 3) = 0 1，即 = ( + 1) ．
设 ( ) = ( + 1) ，则 ′( ) = + 1 + 1 ，
显然，当 > 1 时， ′( ) > 0，即 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
又 (1) = 0，当 →+∞时， ( ) →+∞，所以 ( )的值域为(0, + ∞)，
又当 > 0 1时， > 0，所以方程( )总有解，
因此 的取值范围是(0, + ∞)．
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