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2024-2025 学年云南省临沧市部分学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = { | < 3, ∈ }，集合 = {0,2,4,6,8}，则 中元素的个数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2 1 1.已知正数 ， 满足 + = 4，则 的最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 12 D.
1
4
3.已知向量 = (6, )， = (2, 3)，若 ⊥ ，则 =( )
A. 9 B. 9 C. 4 D. 4
4.已知 ( )为 上的奇函数，当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) = 4 2 ，则 (
1
2 ) =( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
5.若一个圆锥的轴截面是边长为 2 3的正三角形，则该圆锥的体积为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.若 = 3，则 2 =( )
A. 3 B. 3 C. 3 35 5 4 D. 4
7.小华为测量 ， (视为质点)两地之间的距离，选取 ， (与 ， 在同一水平面上)两点进行测量，已知
在 的正东方向上， = 2 = 40 米， 在 的北偏东 60°方向上， 在 的南偏西 30°方向上， = 30
米，则 ， 两地之间的距离是( )
A. 40 米 B. 10 13米 C. 10 19米 D. 60 米
8.已知函数 ( ) = (2 2 )，当 = 时， ( )取得最大值 ，则函数 ( ) = log | + |的大致图象为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (2, 3)， = (2,1)，则下列结论正确的是( )
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A. = 1 B. | | = 13
C. 2 1与 的夹角为钝角 D. 在 上的投影向量的坐标为( 5 , 5 )
10.连续抛掷一枚硬币两次，事件 表示“第一次硬币正面朝上”，事件 表示“第二次硬币反面朝上”，事
件 表示“两次硬币都正面朝上”，事件 表示“两次硬币朝上的情况不同”，则( )
A. 与 相互独立 B. 与 相互独立 C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
11.在正方体 1 1 1 1中， ， 分别为线段 ， 1的中点， 为正方形 1 1 内(包含边界)的
动点，则下列说法正确的是( )
A.三棱锥 1 1 的体积为定值
B.不存在点 ，使得平面 1 //平面
C.存在唯一的点 ，使得 1 //平面 1
D. 2 5直线 与平面 所成角的正弦值最大为 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数 5 是关于 的方程 2 10 + = 0( ∈ )的根，则 = ______．
13.已知半径为 2 的球 与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面
积为______．
14.已知函数 ( ) = 32 cos( + )( > 0)图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为 5， ( )在[2,4]上单调，
且 (2) + (4) = 0，则 = ______， 的最小正值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
3
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 1， = 3 2， 为钝角，△ 的面积为2．
(1)求角 ；
(2)求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
2024 年底我国一家公司的 发布，引起全球轰动.某单位引入该 ，并对员工进行了该 应用的培训，
为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该 应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来
后随机抽取了 100 名员工的成绩(单位：分)，根据这 100 名员工的成绩(成绩均在[50,100]之间)，将样本数
据分为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，绘制出频率分布直方图(如图所示)．
(1)求频率分布直方图中 的值；
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(2)估计这 100 名员工的竞赛成绩的平均数(同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表)；
(3)在样本中，从成绩在[50,60)和[60,70)内的员工中按分层抽样抽取 6 人，再从抽取的 6 人中随机抽取 2
人进行再培训，求这 2 人的成绩都在[60,70)内的概率．
17.(本小题 15 分)
若函数 ( )的定义域为 ，值域为 ，且 ，则称 ( )为“子集函数”．
(1) 1证明：函数 ( ) = 2是“子集函数”．
(2)判断函数 ( ) = 2 1 1 是否为“子集函数”，并说明理由．
(3) 若函数 ( ) = (2 + 6 )( > 0)

的定义域为[ 6 , 2 ]，且 ( )是“子集函数”，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = = 1，∠ = 120°， 为 的中点．
(1)证明： 1//平面 1 ．
(2)证明：平面 1 ⊥平面 1 1．
(3)求直线 1 与平面 1所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜 2 局，此人最终获胜，比赛结束；4 局
比赛后，没人累计获胜 2 局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比
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1 1 1
赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为2 , 6 , 3，且每局比赛的结果相互独立．
(1)求比赛 3 局结束的概率；
(2)求甲最终获胜的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.26
13.36
14. 3 4 4
15.(1) 1由△ 的面积 = 2 =
3
2，
1
可得2 × 1 × 3 2 =
3 2 3
2，解得 = 2 ，结合 > 2，可得 = 4；
(2) 3 因为 = 1， = 3 2， = 4，
2
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 1 + 18 2 × 1 × 3 2 × ( 2 ) = 25，解得 = 5，
所以△ 的周长 + + = 6 + 3 2．
16.(1)由频率和乘组距为 1 得：(0.005 + × 2+ 0.035 + 0.040) × 10 = 1，解得 = 0.010；

(2) = 10 × (0.005 × 55 + 0.010 × 65 + 0.035 × 75 + 0.040 × 85 + 0.010 × 95) = 79，
故可估计这 100 名员工的竞赛成绩的平均数为 79；
(3) 0.010 0.0050.010+0.005 × 6 = 4，0.010+0.005 × 6 = 2，
因此这 6 名员工中成绩在[60,70)的有 4 人，分别为 、 、 、 ，
这 6 名员工中成绩在[50,60)的有 2 人，分别为 、 ，
这 6 名员工中随机抽取 2 名员工的不同情况有：{ 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 }，共 15 种，
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其中这 2 名员工的成绩都在[60,70)内情况有：
{ 、 、 、 、 、 }，共 6 种；
因此参赛成绩都在[60,70) 6 2内的概率为15 = 5．
17.(1) 1证明：若 ( ) = 2，则定义域为 = ( ∞,0) ∪ (0, + ∞)，
值域为 = (0, + ∞)，
因为 ，
所以 ( ) = 1 2是“子集函数”；
(2) ( )不是“子集函数”，理由以下：
由于2 1 ≥ 0，可得 ≥ 0，
所以函数 ( )的定义域为[0, + ∞)，
因为 2 1 ≥ 0，所以 ( ) ≥ 1，即 ( )的值域为[ 1, + ∞)，
因为[ 1, + ∞) [0，+∞)，
所以 ( )不是“子集函数”；
(3) 7 因为 6 ≤ ≤ 2，所以 6 ≤ 2 + 6 ≤ 6，
1所以 2 ≤ sin(2 +

6 ) ≤ 1，
因为 > 0，
所以 ( ) [ 1的值域为 2 , ]，
因为 ( )是“子集函数”，
所以[ 12 , ] [
, 6 2 ]，
12 ≥

6
则 ≤ ，解得 0 < ≤

2 3
，
> 0

故 的取值范围为(0, 3 ]．
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18.(1)证明：如图，连接 1交 1于点 ，连接 ，
在直三棱柱 1 1 1中， = = 1，所以四边形 1 1为正方形，
所以 为 1的中点，又 为 的中点，所以 1// ，又 1 平面 1 ，
平面 1 ，所以 1//平面 1 ；
(2)证明：在直三棱柱 1 1 1中， = ， 为 的中点，
所以 ⊥ ，又 平面 ， 1 ⊥平面 ，所以 ⊥ 1，
∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1，所以 ⊥平面 1 1，又 平面 1 ，
所以平面 1 ⊥ 1 1
(3)解：以 为原点， 为 轴， 为 轴，过点 在平面 1 1作 的垂线作为 轴，
如图所示，设 = 2，
又∠ = 120°，所以 = ∠ = 2 30° = 1， = ∠ = 2 30° = 3，
所以 (0,0,0), (0,1,0), 1(0,1,2), 1( 3, 0,2)，
则 1 = (0,1,2), = (0,1,0), 1 = ( 3, 0,2)，
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )
= 0 = 0
则 ，即 ， 1 = 0 3 + 2 = 0
令 = 2，所以 = (2,0, 3)，
可得 1 = 2 × 0 + 0 × 1 3 × 2 = 2 3，| | = 4 + 0 + 3 = 7，| 1| = 0 + 1 + 4 = 5，
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cos < >=
2 3
所以 ， 11 = 7× 5 =
2 105
35 ，| | | 1|
所以直线 1 与平面 1所成角的正弦值为|cos < ， > | =
2 105
1 ．35
19.(1)根据题意，设 =“比赛 3 局结束”，
比赛 3 局结束的情况有以下两种：
1 1
第一种情况，甲获胜，即前 2 局比赛中甲获胜 1 局，且第 3 局比赛甲获胜，其概率为( 32 ) × 2 = 4；
1 2 4
第二种情况，乙获胜，即前 2 局比赛中乙获胜 1 局，且第 3 局比赛乙获胜，其概率为( 23 ) × 3 × 2 = 27．
( ) = 1故 4 +
4 43
27 = 108；
(2)根据题意，设 =“甲最终获胜”，
甲最终获胜的情况有以下三类：
1 1
第一类情况，比赛三局甲获胜，即甲连胜 2 局，比赛结束，其概率为( 2 )
2 = 4；
1 1
第二类情况，比赛是局甲获胜，即前 2 局比赛中甲获胜 1 局，且第 3 局比赛甲获胜，其概率为( 32 ) × 2 = 4；
第三类情况，比赛五局甲获胜，即 4 局比赛后甲最终获胜，包含三种情况：
1 1 1
①甲获胜 1 局，其他 3 局平局，其概率为 = ( ) × ( )31 2 6 × 4 = 108，
②前 3 局比赛中甲获胜 1 局，其他 2 1 1 1局平局，且第 4 局比赛甲获胜，其概率为 2 22 = ( 2 ) × ( 6 ) × 3 = 48，
③前 3 局比赛中甲获胜 1 局，乙获胜 1 局，其他 1 局平局，且第 4 局比赛甲获胜，
1 1 1 1
其概率为 23 = ( 2 ) × 3 × 6 × 6 = 12，
1 1 1 1 1 265
故甲最终获胜的概率 = 1 + 2 + 3 = 4 + 4 + 108 + 48 + 12 = 432．
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