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2024-2025学年广西桂林中学高一（下）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内， (3 )对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图所示，△ ′ ′ ′表示水平放置的△ 的直观图，则△ 的面积是( )
A. 2 2
B. 4
C. 2
D. 2
3.下列说法正确的是( )
A.若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面
B.与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线
C.空间三点确定一个平面
D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
4.下列统计量中，能度量样本 1， 2， 3，… 2023的离散程度的是( )
A.样本的平均数 B.样本的中位数 C.样本的众数 D.样本的标准差
5.已知随机事件 ， ， 中， 与 相互独立， 与 对立，且 ( ) = 0.3， ( ) = 0.6，则 ( ∪ ) =( )
A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72
6.已知圆台的上下底面的半径分别为 1 和 2，母线长为 2，则它的体积是( )
A. 14 B. 7 3 C. 14 D. 7 33 3
7.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知△ 的面积为 5 3， = 4， = 10，则 =( )
A. 21 B. 31 C. 41 D. 61
8 2.已知 cos( + ) = 3，cos( ) =
1
3，则 的值为( )
A. 13 B.
1
3 C. 3 D. 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点 是平面直角坐标系的原点，点 的坐标为(3,2)，点 的坐标为( 1,3)，若点 满足 = 2 ， ⊥
，垂足为 ，则( )
A. | | = 17 B. ∠ 是锐角 C.点 ( 5 7的坐标为 3 , 3 ) D.
= ( 9 613 , 13 )
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10.一个古典概型的样本空间 和事件 ， 关系用图表示，如图所示，其中 ( ) = 24， ( ) = 12， ( ) = 8，
( ∪ ) = 16，则下列结论中正确的是( )
A. ( ) = 4

B. ( ) = 56

C. ( ) = 13
D. 与 相互独立
11.在△ 中，点 ， 分别在 1和 上，且满足 = ， 3 +
= 0，点 在线段 上，且 =
+ ，则下列各组数据适合的是( )
A. = 13， = 0 B. =
1 = 12， 3 C. = 0
1
， = 2 D. =
1 1
6， = 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 = 1+

.已知复数 2 ，其中 是虚数单位，则 = ______．
13.已知某学校音乐社、舞蹈社和美术社三个社团的学生人数之比为 2：3：4，其中这三个社团中会乐器的
人数占各社团人数的比例分别为 30%，20%，25%．
( )现从这三个社团中各随机抽取一人，则这三人均会乐器的概率为______；
( )若将这三个社团成员组成一个联合团体，从中随机抽取一人，则此人不会乐器的概率为______．
14.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个
球围成的几何体.如图所示，已知正四面体 的棱长为 2，若勒洛四面体
内有一球，则该球的最大半径为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设 ( ) = ．
(1) 若 ∈ [0,2 )，且 ( + 3 ) = ( )
1
2，求 的值；
(2) 1在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，设 为 边的中点.若 ( ) = 2， = 6，且 + = 3，
求| |的大小；
(3)设常数 ∈ (0, ).求证：对任意 ∈ ，关于 的不等式 ( ) ≤ ( )在区间[ , + ]上均有解．
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16.(本小题 15 分)
某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动.已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如
下表所示：
参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲
参加环境保护知识宣讲 6 人 4 人
未参加环境保护知识宣讲 5 人 30 人
(1)从该班随机选取 1 名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率；
(2)已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的 6 名学生中，有 4 名男生和 2 名女生.现从这 6
名学生中随机选取 2 人作为主讲人，求选取的 2 人中恰有 1 名男生和 1 名女生的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，∠ = 120°， = 2， ∩ = ， ⊥底面 ，
= 2，点 在棱 上．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 //平面 ，求 ；
(3)当 取得最小值时，求二面角 的余弦值．
18.(本小题 17 分)
记△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，向量 = ( , 3 ), = ( , )，且 // ．
(1)求角 ；
(2)若 = 2 3，点 为△ 的内心，求△ 面积的最大值．
19.(本小题 17 分)
如图 1，在直角梯形 中， // ，∠ = 90°， = 4， = 2， = 3，点 在 上，且 = 2，
将△ 沿 折起，使得平面 ⊥平面 (如图 2). 为 中点．
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(Ⅰ)求证： ⊥平面 ；
(Ⅱ)求四棱锥 的体积；
(Ⅲ) 在线段 上是否存在点 ，使得 //平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13. 3 34200 45
14. 2 32
15.(1)由题意可得 cos( + 3 ) =
1
2，
1
即2
3 1
2 = 2，
3 + = 1 2( 3 + 1 ) = 1 2 ( + 可得 ，即 2 2 ，即 6 ) = 1，
∈ [0,2 ) + ∈ [ 13 因为 ，所以 6 6 , 6 )，
+ 5 可得 6 = 6， 6，
即 = 0 2 ， 3；
(2) ( ) = 1 = 1因为 2，可得 2， ∈ (0, )，
可得 = 3，
又因为 = 6，且 + = 3，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
即 6 = 9 3 ，解得 = 1，
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又因为 为 的中点，所以 2 = + ，
2 2 2
两边平方可得 4 = + + 2 = 2 + 2 + 2 = ( + )2 = 9 1 = 8，
可得| | = 2；
(3)若 ( ) ≤ ( )，则 + 2 ≤ < + 2 ，或 + 2 ≤ < + 2 ， ∈ ，
又( + ) ( ) = 2 ，所以区间[ , + ]总与 的取值范围有交集，
即 ( ) ≤ ( )在区间[ , + ]上均有解．
16.(1)由题意知，至少参加一项活动的学生人数为：6 + 4 + 5 = 15，
班级学生总数为 15 + 30 = 45．
15 1
因此，该学生至少参加一项活动的概率 = 45 = 3；
(2)设 4 名男生分别为 ， ， ， ；2 名女生分别为 ， ，
记这 6 名学生中随机选取的 2 人为 1和 2，则可用( 1, 2)表示样本点，
样本空间 = {( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，
( , )，( , )，( , )}，
所以 ( ) = 15，
记事件 =“选取的 2 人中恰有 1 名男生和 1 名女生”，
则 = {( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )}，
所以 ( ) = 8，
因为 中每一个样本点的可能性都相等，
( ) 8
所以 ( ) = ( ) = 15．
17.(1)证明：在四棱锥 中，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
因为四边形 为菱形，所以 ⊥ ．
又因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)连接 ，如图所示：
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因为 //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ．
因为 是 中点，所以 是 中点．
因为 ⊥平面 ，| | = 2，
1
所以 到平面 的距离 = 2 | | = 1．
因为在菱形 中，∠ = 120°，| | = 2，
所以 1△ = 2 × | | × | | × sin(180° 120°) =
1 3 ，
2 × 2 × 2 × 2 = 3
所以 1 1 3 = = × △ × = × 3 × 1 = ．3 3 3
(3)由(1)知： ⊥平面 ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
得 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
故∠ 即为二面角 的平面角．
当 取得最小值时，有 ⊥ ，
又因为 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ．
又因为在菱形 中，∠ = 120°，| | = 2，
所以| | = | |2 + | |2 2| || | 120°
= 22 + 22 2 × 2 × 2 × ( 1) = 2 3， = 3，2
又因为 = 2，
所以| | = | |2 + | |2 = 7，
又因为在△ 1中， △ = 2 × × =
1
2 × × ，
所以 = 2 21．7
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2 21
则在△ 中，cos∠ = = 7 21， 2 = 7
所以二面角 的余弦值为 21．
7
18.(1)由题意得 3 = 0，
由正弦定理得 3 = 0，
因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
所以 3 = 0，
所以 = 3，又 ∈ (0, )，

所以 = 3．
(2)设△ 的内切圆半径为 ，
所以△ 1 1的面积 △ = 2 ( + + ) = 2 (2 3 + + ) ，
1 3
又 △ = 2 = 4 ，
= 3 所以 2(2 3+ + )，
因为点 为△ 的内心，
1 1 3 3 所以 △ = 2 = 2 × 2 3 × 2(2 3+ + ) = 2( + +2 3)，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，
即 2 + 2 = 12，
所以( + )2 3 = 12，即 3 = ( + )2 12，
( + )2
由基本不等式得 ≤ 4 ，
解得 + ≤ 4 3，当且仅当 = = 2 3等号成立．
2
所以 3 ( + ) 12 + 2 3 1△ = 2( + +2 3) = 2( + +2 3) = 2 ≤ 2 (4 3 2 3) = 3，
所以△ 的面积的最大值为 3．
19.(Ⅰ)证明：因为 为 中点， = = 2，
所以 ⊥ ．
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，
所以 ⊥平面 ．
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(Ⅱ)解：在直角三角形 中，∵ = = 2，
∴ = 2 2，
∴ = 12 = 2．
所以四棱锥 1的体积的体积为 = 3 梯形 =
1
3 ×
1
2 × (1 + 4) × 2 × 2 =
5 2
．
3
(Ⅲ)解：过点 作 // 交 于点 ，过点 作 // 交 于点 ，连接 ，
因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
同理 //平面 ，
又因为 ∩ = ， 、 平面 ，
所以平面 //平面 ．
因为 平面 ，
所以 //平面 ．
所以在 上存在点 ，使得 //平面 ．
∵ // ， // ，∴四边形 是平行四边形，∴ = = 1，
∴ = 3，
又 // ，
∴ =

=
3
4．
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