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2024-2025学年四川省泸州市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.在中，，则( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则( )
A. B. C. D.
5.设，，表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
8.若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是实数 B. 若，则的虚部为
C. 若点的坐标为，则 D. 若，则或
10.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. 在上有最大值 D. 在上单调递增
11.如图，点是棱长为的正方体的侧面上的一个动点包含边界，则下列结论正确的是( )
A. 当时，点一定在线段上
B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
C. 当点在棱上运动时，的最小值为
D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，则 ______．
13.已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为______．
14.若，，且，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
Ⅰ若向量与共线，求；
Ⅱ已知，若，，，求实数的值．
16.本小题分
已知函数的最小值为，其图象经过点，且图象上相邻两个最高点之间的距离为．
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ若，且，求的值．
17.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，且．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若点在线段上，，，的面积为，求的长度．
18.本小题分
如图，四边形为矩形，四边形为梯形，，平面平面，，为的中点，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ若二面角为，求点到平面的距离．
19.本小题分
若函数在定义域内存在满足，则称为“局部反比例对称函数”．
Ⅰ已知函数是“局部反比例对称函数”，求的值；
Ⅱ求证：函数有两个零点，，且；
Ⅲ若是“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.Ⅰ由题意可得：．
因为向量与共线，
所以，解得：，
则，．
Ⅱ由向量，可得：，，，
所以，．
因为，，，
则，即，解得：．
16.Ⅰ因为函数的最小值为，所以，
因为函数图象上相邻两个最高点之间的距离为，
所以函数的最小正周期为，即，
又函数图象过点，所以，
又，所以，则
Ⅱ由Ⅰ知，，
又，则，
所以，
因为，
又
，
所以．
17.解：Ⅰ由，
根据正弦定理得：，，，为的外接圆的半径，
即有，
即，
则，
而，所以；
Ⅱ由题意，，则，
又，
由余弦定理得，则，
解得，
则，设，，，
由，
则，
则，
解得或，即或．
18.证明：连接交于点，连接，
因为四边形为矩形，
所以点是的中点，又因为点是的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
取中点，连接，
因为，所以
又，，所以四边形是矩形，
所以垂直平分，所以，
又，所以，即，
因为四边形为矩形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，，，平面，
所以平面；
因为，，所以，
由知道平面，而平面，
所以，
又因为，所以，
又，，，平面，
所以平面，
而，平面，所以，，
若二面角为，则，解得，
如图所示，取中点，连接，
因为平面，，所以平面，
而，平面，所以，，
又因为平面平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
因为，所以平面，
由题意可得，，
，，
所以，
所以，
设所求为，
则由等体积法有，
即，
解得．
19.Ⅰ因为函数是“局部反比例对称函数”，
所以，
化简得．
要使得等式成立，则，
解得．
又，所以或．
Ⅱ证明：因为，且，
所以，
，
所以，
所以为“局部反比例对称函数”．
又，
，
所以根据零点存在定理可知，在内存在一个零点，设为，
则，而，所以，
所以设，
则也是的一个零点，且．
Ⅲ因为是“局部反比例对称函数”，
所以在上有解，
化简得，
．
令，则，所以方程变为．
令，对称轴为，开口向上，
当时，，解得；
当时，，
解得，又，
所以．
综上，的取值范围是．
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