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2024-2025学年湖南省多校联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知向量与的夹角为，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.已知一组样本数据，，，的平均数为，方差为，则( )
A. ，，，的平均数为
B. ，，，的方差为
C. ，，，的分位数为
D. ，，，的极差为
5.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙两人组成“星队”参加必修二数学知识竞答已知甲每次答对的概率为，乙每次答对的概率为在每次答题中，甲和乙答对与否互不影响两人约定如下：每次由一人答题，若答对，下一次由另一人答题；若答错，则继续答题约定甲先答题，则前次中甲恰好答题次的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是( )
A. B. 在区间上单调递减
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若与是互斥事件，则与也是互斥事件
B. 若事件、满足，则与是对立事件
C. 若与是互斥事件，则
D. 若，，与相互独立，则
10.已知复数满足，则下列结论正确的是( )
A. 的虚部为
B.
C. 的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限
D. 若复数满足，则的最大值为
11.如图，在直三棱柱中，，，点是线段的中点，点是棱上的动点，则( )
A.
B. 存在点，使得平面
C. 三棱锥的体积为
D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆台形容器的上底面半径为，下底面半径为，高为，装满水后再全部倒入一个底面半径为，高为的圆柱形容器中，则水深为______．
13.已知函数若关于的方程恰有个不同的实根，则实数的取值范围是______．
14.如图，在棱长为的正方体中，为棱上一点，满足，为正方形内一动点含边界，且满足平面，则线段长度的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若且的面积为，求的周长．
16.本小题分
年春节期间，国产电影哪吒之魔童闹海凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于年月日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至年月日，总票房含港澳台和海外票房已超亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
Ⅰ求频率分布直方图中的值与样本中年龄的第百分位数．
Ⅱ从样本中年龄为，，的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取人，则年龄在中的观众应抽取多少人？
Ⅲ若样本中年龄在的观众年龄的平均数是，方差是，年龄在的观众年龄的平均数是，方差是，求这两组样本总的平均数和方差．
17.本小题分
已知函数且，的图象经过点．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ若函数有且只有一个零点，求实数的值．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，平面，为棱的中点，且，，直线与平面所成的角为．
Ⅰ证明：．
Ⅱ在棱上是否存在一点，使得直线平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由．
Ⅲ求直线与平面所成角的正切值．
19.本小题分
圆内接四边形有诸多良好的性质，其中托勒密定理极其优美，即在圆内接四边形中，，试利用该定理解决下列问题：
Ⅰ设正三角形内接于圆，点在劣弧上不与点，重合，证明：．
Ⅱ在圆内接四边形中，，，，，，证明：
；
四边形的面积．
参考答案
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14.
15.根据，
由正弦定理得，整理得，
根据余弦定理得，结合，可得；
由，解得，
根据余弦定理得，
即，可得，
所以，可得的周长．
16.Ⅰ根据频率分布直方图的性质可知，，解得，
由频率分布直方图可知的频率为，而的频率为，
所以第百分位数在区间内，设第百分位数为，
则，解得，
所以第百分位数为；
Ⅱ由频率分布直方图可知年龄为，，的三组观众频率之比为：：：，
所以按比例用分层随机抽样的方法抽取人，则年龄在中的观众应抽取人；
Ⅲ由频率分布直方图可知的频率为，的频率为，
所以，
．
17.Ⅰ把点代入解析式可得：，解得，，
故的解析式为．
Ⅱ函数有且只有一个零点方程有且只有一个零点，
因为，且的定义域为，所以为偶函数，
由可得，因此．
18.Ⅰ证明：由平面，平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，又平面，
所以；
Ⅱ存在点为中点时，平面，即，
证明如下：
取的中点，连接，取的中点为，连接，，
所以，又点为中点，
所以，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
Ⅲ连接，由平面，
所以为直线与平面所成的角，
所以，
在中，，
所以，
因为，所以，
所以，
由得，
所以，
设点到平面的距离为，
在中，，
所以，
因为，
所以，
所以，
，
因为，
所以，
得，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，
所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正切值为．
19.证明：Ⅰ由托勒密定理可知：，
因为正三角形内接于圆，即，
即成立；
Ⅱ证明：由圆的内接四边形可得：，
由余弦定理及诱导公式可得：，
即，
，，，，，
即，
整理可得：；
由余弦定理可得：
，
则
，
所以
．
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