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2024-2025学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.某校高一有名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有人选三国演义，人选水浒传，人选西游记，人选红楼梦，若采用分层抽样的方法随机抽取名学生分享他们的读后感，则选西游记或红楼梦的学生抽取的人数为( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.已知四棱锥的高为，其底面水平放置时的斜二测画法直观图为平行四边形，如图所示，已知，，则四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.若点是的外心，，则( )
A. B. C. D.
6.已知的三条边长分别为，，，且：：：：，则此三角形的最大角与最小角之和为( )
A. B. C. D.
7.若将函数的图象向左或右平移个单位，所得的图象与的图象关于轴对称，则的最小正值是( )
A. B. C. D.
8.已知圆锥的侧面面积为，母线长为，则圆锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知中，点，，分别为，，的中点，则( )
A. B.
C. 点的坐标为 D. 的面积为
10.某中学冬季田径运动会中，高一男子跳高比赛组的前七名成绩单位：厘米为：，，，，，，，则( )
A. 该组数据的极差是 B. 该组数据的中位数是
C. 该组数据的分位数是 D. 该组数据的平均数为
11.记，，则( )
A. 的取值范围为 B. 若，则
C. 的最小值为 D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数满足，则的最大值为______．
13.样本中共有个数据值，其中前四个值分别为，，，，第五个值丢失，若该样本的平均数为，则样本方差为______．
14.如图，，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得，，，则，两点间的距离为______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在边长为的菱形中，，，设，．
用，，表示，并求；
若，，求实数的值．
16.本小题分
某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出米的山峰就有座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择名游客对景区进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，求的值；
估计这名游客对景区满意度评分的中位数和平均数每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数．
17.本小题分
已知向量，，设函数，．
求的最小正周期；
求的单调递增区间；
设，且，，求的值．
18.本小题分
已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，．
求；
若，求的面积；
若为锐角三角形，且，求的取值范围．
19.本小题分
如图，图，在正方体中，为的中点．
图中求证：平面；
图中求二面角的正切值；
图中，已知，为的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，求三棱锥的体积的最小值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.已知在边长为的菱形中，，，
又，，
则．
因为，，
所以，
则，
所以；
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，
解得．
16.根据题意可知，，可得；
因为，
，
所以中位数在区间内，令其为，
则，解得，
所以满意度评分的中位数约为，
由频率分布直方图可知，平均数为：
．
17.已知向量，，设函数，，
则
，
由，
得的最小正周期为．
由知，
令，，
即，，
所以的单调递增区间为，．
由题意
，
又，
所以，
又，
则，
即，
又，
即，
所以，
即，
故的值为．
18.因为，
由余弦定理可得，解得．
又因为，所以，所以．
由可知：，，且，
由余弦定理得，
且，可得，
所以的面积．
由可知：，，
由余弦定理可得，
且为锐角三角形，
则，解得，
因为，可得
则，
可得．
19.证明：如图所示，连接，交于，连接，
是正方体，是正方形，为的中点，
又为的中点，则，平面，平面，
平面；
如图所示，过作交的延长线于，连结，
平面，是在平面内的射影，
平面，，，
平面，平面，，
为二面角的平面角．
设正方体的棱长为．
是的中点，且，
则在直角中，，，
，，，
二面角的正切值为．
如图所示，设为的中点，连接交于，
设，，
，，，
≌，，
，即，，
又平面，平面，，
又，平面，
平面，，
又平面，就是三棱锥的高，
，
，且，
，
则，
即，
，
，
当且仅当，即时取等号，
此时
，
解得，即．
即三棱锥的体积的最小值为．
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