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2024-2025学年贵州省遵义市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.样本数据，，，，，，的分位数是( )
A. B. C. D.
5.被誉为中国现代数学之父的华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征例如：函数图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
6.已知向量，，且满足，则( )
A. B. C. D.
7.在矩形中，，点满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角的终边经过点，则( )
A. B.
C. D.
10.若正实数，满足，则( )
A. 有最大值 B. 有最大值
C. 的最小值是 D. 的最小值是
11.现有个分别标有数字，，，，，的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是，事件乙：第二次取出的球的数字是，事件丙：两次取出的球的数字之和是，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是，则( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互对立 D. 丙与丁互斥
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为______．
13.已知，，则 ______．
14.已知的内角、、所对的边分别为、、，若，且，则外接圆的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和对称轴；
已知函数，求函数的单调递增区间．
16.本小题分
为响应国家“体重管理年”三年行动的号召，某单位开展健步走活动，现统计该单位名员工月日至月日的步数信息其中甲、乙两位员工这天的步数折线图如图所示：
求从这天中随机选取一天，该天甲比乙的步数多的概率；
整理这名员工天的健步走数据，得到频率分布直方图如图所示现将该单位员工每天的步数从多到少进行排名，已知某天甲与乙的步数排名分别为第名和第名，试判断这是哪一天的数据，并说明理由．
17.本小题分
在中，角、、对应的边分别为、、，若．
求角；
若，，求的周长．
18.本小题分
已知函数，．
若，证明：为偶函数；
若，求函数的最小值；
(ⅱ)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知平面向量，，、的夹角为．
若，求的值．
已知，．
求的解析式；
若，证明：不等式恒成立．
参考答案
1.
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13.
14.
15.由题意得的最小正周期，
令，解得，所以的对称轴为．
，
设，，解得，，
可得的单调递增区间为．
16.由折线图可知，只有第日和第日，甲比乙的步数多，
所以所求概率为；
因为步数在的有人，
同理在的有人，
在的有人，
在的有人，
在的有人，
在的有人，
又这一天甲的步数的排名是名，乙的步数排名是名，
所以甲的步数在区间，乙的步数在区间，
根据折线图可知，月日的数据符合，所以这一天是月日．
17.因为．
由正弦定理可知，，
即，
所以，则；
，得，
由余弦定理可知，，
即，所以，则，
所以的周长为．
18.证明：时，函数，定义域为，且，
因此是偶函数；
当时，，
当时，，得，在单调递减，
最小值时取得为，因此，
二次函数的对称轴是，
当时，即时，单调递增，最小值是，因此的最小值是
当时，即，的最小值是，
那么函数的最小值是，
综上可知，时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是．
(ⅱ)根据题意可知，，
，，设，则，
函数的最小值是，
由(ⅰ)可知，当时，的最小值是，，成立，
当时，的最小值是，则
则，，则，
综上可知，．
19.已知平面向量，，
若，
根据两向量平行的性质：若，
，，
，可得：，即，，
由，可得或，，
解得或，，
综上，的值为或，；
，
因为，所以，，
所以．
证明：因为，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，，
所以，
即，
所以不等式恒成立．
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