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2024-2025学年湖北省恩施州高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.计算( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. 极大值为，无极小值 B. 极小值为，无极大值
C. 极大值为，无极小值 D. 极小值为，无极大值
4.已知，，，三个函数图象如图所示，则，，的图象依次为图中的( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
5.学校有名男教师，名女教师，现在要随机选择名教师参加会议，下列事件中概率等于的是( )
A. 至少有名女教师 B. 有名或名女教师
C. 有名或名女教师 D. 恰有名女教师
6.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度及测量技术的原因，测得个数，，，，，则使这个数据的方差最小的为( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数，是其导函数，若是偶函数，是奇函数，当时，关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个距地心距离为，质量为的人造卫星，与地球之间的万有引力由公式给出，其中为地球质量，为引力常量，则( )
A. 关于的瞬时变化率为 B. 关于的瞬时变化率为
C. 关于的瞬时变化率为 D. 关于的瞬时变化率为
10.已知盒子中有个样品，个不同的正品和个不同的次品，现从中逐个抽取个样品方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为，则( )
A. B. 当或时，最大
C. D. 两种方案中第三次抽到次品的概率均为
11.已知三次函数，则( )
A.
B. 若有三个不同的实数根，则
C. 若，则
D. 若有三个不同的正实数根，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.除以的余数是______．
13.设随机变量，，则实数的值为______．
14.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中所有二项式系数之和为．
求的值；
求展开式中第项的系数与第项的系数的比值．
16.本小题分
某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验数据：
步频单位：步
步长单位：
若步频和步长近似为线性相关关系，当时，，，根据表中数据，求出关于的回归直线方程．
附：回归直线方程中．
记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，根据表中数据，若得出关于的经验回归方程为，且计算出在样本点处的残差为，求实数的值．
17.本小题分
已知曲线，曲线，直线与曲线，分别交于，两点，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，设直线与的交点为．
若为直角，求实数的值；
求点到直线的距离．
18.本小题分
已知函数，其中，为自然对数的底数．
当时，求函数的单调区间；
若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围；
若函数有两个零点，，求证：．
19.本小题分
甲乙两人进行象棋比赛，每局胜者得分，负者得分；平局两人均不计分按照规则，当一方的得分比另一方多分时即获胜，比赛结束已知每局中，甲获胜概率为，乙获胜概率为，平局的概率为，且每局互不影响，相互独立．
求甲在进行了局后获胜的概率；
若进行局后，记甲领先分的概率为，甲乙持平的概率为，求证：存在实数，使得为等比数列；
记甲乙两人进行局后恰好分出胜负的概率为，求．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.由题意可得，，解得；
由，二项式展开式的通项为，
可得，
所以第项的系数与第项的系数的比值为．
16.根据题意，可得，，
又由，，可得，
则，所以回归直线方程为；
根据题意可知，，解得，
因为，，
可得，解得．
17.因为，，
所以，，
则，，
根据题意可知，
所以，
解得；
由知，，
由，知，所以直线与必相交，
又由，，
联立两直线方程解得，，
即，
所以点到直线的距离为．
18.当时，函数，
可知函数的定义域为，且导函数，
设函数，那么导函数，
可知函数在单调递增，且，
当时，，即；当时，，即，
因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
根据题意可知：的定义域为，且导函数，
设函数，那么导函数，可知函数在单调递增，
由于存在极小值点，因此函数在存在零点，
即，可得．
那么，可得，
设函数，，且，
当，，，则；
当，，，则，
可得，，
因此．
令函数，可得，
根据题意可得：，
构建函数，则，
设，可得导函数，
令，解得；令，解得，
可知函数在上单调递减，在上单调递增，且，
可得，
构建函数，，
那么导函数，
可知在上单调递增，那么，即，
则，且，
又由于在上单调递减，所以，即．
19.甲在第局后胜出的得分情况为：，
概率为；
证明：进行第局后，设乙领先分的概率为，根据对称性有，
从而，
，
，
因此，解得，
因此当时，是公比为的等比数列；
由可知，当，，公比为，
因此，
当，，公比为，
因此，
可得，
要使得局后恰好分出胜负，那么，
则，
因此，．
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