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2024-2025学年天津一中高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合的子集的个数是( )
A. B. C. D.
2.命题：“，，使得”的否定是( )
A. ，，使得 B. ，，使得
C. ，，使得 D. 以上结论都不正确
3.展开式中第项的二项式系数为( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.化简的值为( )
A. B. C. D.
6.下列说法中正确的是( )
A. “与是对立事件”是“与互为互斥事件”的必要不充分条件
B. 已知随机变量服从二项分布，则
C. 已知随机变量服从正态分布且，则
D. 已知随机变量的方差为，则
7.哪吒之魔童闹海在内地市场的票房突破了亿大关，成为全球单一电影市场票房的最高纪录一款哪吒变脸玩具深受大家喜爱，某商家统计了最近个月销量，如表所示：若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是( )
时间
销售量万只
A. 由题中数据可知，变量与负相关
B. 线性回归方程中
C. 当时，残差为
D. 可以预测当时销量约为万只
8.已知定义在上的函数，满足为偶函数，若对于任意不等实数，，不等式恒成立，则不等式的解集为( )
A. B. ，或
C. D.
9.记表示，，这个数中最大的数已知，，都是正实数，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.若时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知函数，则 ．
12.函数的图象在处的切线方程为______．
13.已知二项式的展开式中，的系数为，则的系数为______．
14.某同学在高中的次数学考试中的成绩分别是，，，，，，，，，，则它的第六十百分位数是______．
15.大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是，专业技能考核合格和补考合格的概率都是，每一次考试是否合格互不影响则大学生甲不被淘汰的概率是______；若大学生甲不放弃每次考试的机会，表示他参加补考的次数，则的数学期望是______．
16.如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色其中一种为黄色对图中四个区域，，，进行染色，每个区域只能用一种染色若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有______种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有______种
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
学校将举行以“爱我中华”为主题的辩论赛，高二年级某班准备在名男辩手和名女辩手中选出名同学组成辩论队参赛，在选出的辩论队员中既有男队员又有女队员的条件下，回答下列问题：
女队员甲必须入选的概率是多少？
设辩论队中男队员的人数为，求的分布列和期望．
18.本小题分
如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，．
求证：平面；
求点到平面的距离；
求平面与平面的夹角正弦值．
19.本小题分
已知函数，．
若，求不等式的解集；
若，对，，使得成立，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
设函数有两个不同的零点，，
(ⅰ)求实数的取值范围：
(ⅱ)若，满足，求实数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.记事件为女队员甲必须入选，由古典概型计算公式可得．
随机变量的可能取值为，，，
，
，
，
故的分布列为：
数学期望．
18.证明：如图，取的中点，连接，
因为，所以，
又，所以，
易得，
因为，，
所以，解得，即，
所以，
又平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面．
解：由得平面，，
所以点到平面的距离是点到平面的距离的倍，即．
解：如图，分别以为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
因为平面，
所以为平面的一个法向量，
又，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，则，
所以，
所以平面与平面的夹角正弦值是．
19.解：令
，
解得或，
当时，则有，
不等式的解集为；
当时，则有，
不等式的解集为；
当时，则有，
不等式的解集为，
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
由，
代入整理得：，
令，
当，即时，对任意，
，
，即，
此时不等式组无解；
当，
即时，对任意，
，
，
解得；
当，
即时，对任意，
，
，即，
此时不等式组无解；
当，即时，对任意，
．
，即，
此时不等式组无解．
综上，实数的取值范围是．
20.解：函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的递增区间是，无递减区间；
当时，的递增区间是，递减区间是．
由，得，令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，恒成立，且，
由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点，
因此，即，
所以实数的取值范围是．
(ⅱ)由，得，且，
不妨设，将代入，
得，即，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递减，
有，即，函数在上单调递减，
由，得，则，
因此函数在上单调递减，即，
于是，有，则
又，令，
由(ⅰ)知，在上递增，而，因此在上递增，
则，即，解得，
所以的最大值是．
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