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2024-2025学年四川省雅安市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
3.样本数据，，，，，，，，的第百分位数是( )
A. B. C. D.
4.在正方体中，与所成的角为( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则角( )
A. B. C. 或 D.
6.设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.菱形的边长是，且在方向上的投影向量为，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校有高中学生人，其中男生人，女生人，有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法，从个学生中抽取一个容量为的样本，并观测样本的指标值单位：，计算得男生样本的均值为，方差为，女生样本的均值为，方差为，则下列说法正确的是注：总体划分为层，通过分层抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则
A. 抽取的男生人数为
B. 抽取的女生人数为
C. 估计该校高中学生身高的总体均值约为
D. 估计该校高中学生身高的总体方差约为
10.已知函数的部分图象如图所示，其中点，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数是奇函数
C. 的图象可由函数的图象向右平移个单位得到
D. 在区间上单调递增
11.如图，在圆柱中，轴截面是边长为的正方形，是以为直径的圆上一动点异于，，与圆柱的底面圆交于点，若平面平面，则( )
A.
B. 直线与直线有可能垂直
C. 与平面所成角的余弦值的取值范围为
D. 三棱锥的外接球的表面积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长是，则它的体积是______．
14.在中，为坐标原点，，，，则面积的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
当时，求；
设，在复平面内对应的点分别为，，若，求的值．
16.本小题分
从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
频数
在答题卡上按照示例补全这些数据的频率分布直方图；
估计这种产品质量指标值的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品的”的规定？
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，若，．
求角的大小；
若的周长为，求边上的中线的长度．
18.本小题分
如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接．
证明：平面；
若，证明：平面；
若二面角的正弦值为，求的长．
19.本小题分
已知函数．
当，时，求在上的最小值；
当时，方程在内有两个不相等的实数根，．
求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
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10.
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13.
14.
15.当时，，则，
，
；
由，在复平面内对应的点分别为，，可得，所以，，
则，
由，则，解得或．
16.由频数分布表中对应频数，可得频率分布直方图中各个小长方形的高，
补全直方图如图所示：
根据频率分布直方图，可得这种产品质量指标值的平均数为：
．
质量指标值不低于的产品所占比例的估计值为，
所以能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品的”的规定．
17.根据题意可知，，得，又，
，得，又，，
由及正弦定理得，
，又，，
，得；
由知，，，则，
，又，得，
的周长为，，解得，
设的中点为，则，如图所示，
在中，由余弦定理，可得，
，
边上中线的长为．
已知条件结合余弦定理求得，再由正弦定理求；
由求出角，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求边上中线的长．
本题考查了解三角形，属于中档题．
18.证明：如图，取的中点，连接，，
因为为中点，所以且，
又因为，且，
所以且，
故四边形为平行四边形，
故BE，平面，平面，
所以平面．
证明：如图，
取的中点，连接，则，
因为，
所以，又因为，，
所以四边形为正方形，所以，
且，
在三角形中，，在三角形中，
因为，故BC，
又因为底面，底面，
所以，
又因为，且，平面，
所以平面．
如图，作交于，作交于点，连接，
由，，所以，所以，
又因为底面，且底面，所以，
又，且，平面，所以平面，
因为平面，所以，又，且，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，又，，，平面，
所以平面，
所以二面角的平面角为，
设，在三角形中，利用等面积法得，
在三角形中，，
利用等面积法得，
因为二面角的正弦值为，
所以，
整理得，
即，，
故或舍，
故AD．
19.当，时，；
由于，所以，
所以当，即时，取得最小值，最小值为．
当时，，
所以
，
若，则，令，则，
方程在上有两个不相等的实数根，，
即存在两个不相等的，满足，其中，，
因为的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，
当或时，，当时，，
所以，且．
证明：由，，即，
不妨设，则，即，
又，所以，则，故，
假设，则，即，
故，
所以，又，
所以，即，这与前面矛盾，故假设错误，
所以．
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