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第二章 一元二次函数、方程和不等式—高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，，若，则的最小值为( )
A.4 B. C.2 D.
2．已知，则的最小值为( )
A.16 B.18 C.8 D.20
3．已知，则下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
4．设a、b、c均为实数，且，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
5．若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
6．若，，且，，则( )
A. B. C. D.
7．已知，则下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
8．若，，则M与N的大小关系为( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设a，b为正数，，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是( )
A. B. C. D.
10．下列关于不等关系的说法，正确的是( ).
A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足
B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为
C.不等式的含义是x不小于2
D.若或之中有一个正确，则正确
11．设正实数a、满足,则( )
A.有最大值 B.有最小值
C.有最小值 D.有最大值
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．基本不等式解决实际问题的思路和方法：
（1）先理解题意，设出__________，一般把要求最值的量定为函数；
（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的__________或__________问题；
（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
（4）根据实际背景写出答案.
13．已知正实数a，b满足，则的最小值是____________.
14．基本不等式表明：两个正数的算术平均数____________它们的几何平均数.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．解关于x的不等式，.
16．若二次函数在区间上有两个零点，求实数m的取值范围.
17．已知n,k均是正整数,且满足不等式,若对于某一给定的正整数n,存在唯一的正整数k,使该不等式成立.求所有符合条件的正整数n的最大值与最小值.
18．已知二次函数.
(1)若不等式的解集为,求a,b的值；
(2)若,且,,求的最小值.
19．已知,,且,求：
(1)的最小值；
(2)的最小值
参考答案
1．答案：A
解析：由，可得，所以，所以，当且仅当取等号，所以的最小值为4.故选A.
2．答案：B
解析：因为，所以，又因为，所以（当且仅当，即时，等号成立），故选B.
3．答案：A
解析：对于A选项，因为，则，可得，即，A错；
对于B选项，因为，则，B对；
对于C选项，因为，由不等式的性质可得，C对；
对于D选项，因为，则，
所以，D对.故选A.
4．答案：C
解析：对于A，B，当时，显然不成立，
对于C：由可得：，正确.
对于D，取，，满足，显然不成立，故选：C.
5．答案：B
解析：因为，所以，所以，故A错误；
，因为，所以，即，所以，故B正确；
C项中，取，，，则不满足，故C错误，
D项中应是.D错误，故选：B.
6．答案：B
解析：由，，得，，即，
，且，，.故选B.
7．答案：A
解析：
A √ 由，得.
B × 当时，.
C × 当，时，，而，.
D ×
8．答案：A
解析：，.
9．答案：AC
解析：A选项，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，故A正确；
B选项，当，时，，但，故B错误；
C选项，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，故C正确；
D选项，当，时，，但，故D错误.
故选AC.
10．答案：ACD
解析：因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”，不超过用“≤”表示，故选项A正确；
因为“非负数”即为“不是负数”，所以，故选项B错误；
因为不等式表示或，即x不小于2，故选项C正确；
因为不等式表示或，故若或中有一个正确，则一定正确，故选项D正确.
11．答案：ACD
解析：基本不等式的变形：.
,当且仅当时等号成立.A正确.
,,
,
当且仅当,时等号成立,此时,不合题意,所以,B错误.
,当且仅当时等号成立,C正确.
,当且仅当时等号成立,D正确.
故选：ACD.
12．答案：（1）变量
（2）最大值；最小值
解析：
13．答案：
解析：由题意，得，
则，
当且仅当，且，即，时，等号成立.
14．答案：不小于
解析：
15．答案：见解析
解析：原不等式可化为，，
当或时，，原不等式的解集为或；
当时，，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
16．答案：
解析：二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上.
因为二次函数在区间上有两个零点，
所以方程在区间内有两个不同的根，
记方程的两根分别为，，
则
解得，所以m的取值范围是.
17．答案：最大值18,最小值10.
解析：根据得,所以
于是,
因对于某一给定的正整数n,只有唯一的一个正整数k,使该不等式成立,
所以,解得,
又因为n为正整数,当时,,满足条件的正整数,17,有两个,不符合题意,应舍去;
当时,,满足条件的正整数,16,有两个,不符合题意,应舍去;
当时,,满足条件的正整数,只有一个,符合题意,
所以正整数n的最大值是18.
对于,
当时,由,得k无解,
当时,易得,对于k无解,
当时,由,,满足条件正整数,只有一个,符合题意,
所以正整数n的最小值是10.
18．答案：(1),
(2)9
解析：(1)不等式的解集为,则,
且的两根为和1,
则,所以；
(2)由,可得,即.
又,,所以,
当且仅当时,即,时等号成立.
19．答案：(1)64
(2)18
解析：(1),,,
,当且仅当时取等号,
,当且仅当时取等号,
故的最小值为64.
(2),则,
又,,
,
当且仅当时取等号,
故的最小值为18.
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