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第三章 函数概念与性质—高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．下列函数中，不是幂函数的是( )
A. B. C. D.
2．有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且；（3）在上单调递增.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，那么他研究的函数是( )
A.① B.② C.③ D.④
3．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知n分别取，四个值，与曲线，，，相应的n依次为( )
A.2，，， B.2，，，
C.，，2， D.，，，2
4．已知函数，则“”是“是幂函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．已知函数，则( )
A． B． C．2 D．4
6．已知,则( )
A. B. C.1 D.2
7．已知幂函数,则是( )
A.偶函数且在上单调递增
B.偶函数且在上单调递减
C.奇函数且在上单调递增
D.奇函数且在上单调递减
8．已知函数满足,则( )
A. B.4 C. D.3
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则下列说法正确的是( )
A.这个函数有两个单调递增区间
B.这个函数有三个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值
10．下列说法正确的是( )
A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B.图象关于y轴对称的函数是偶函数
C.奇函数的图象一定过坐标原点
D.偶函数的图象一定与y轴相交
11．函数是上的减函数，且，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知函数,则________
13．已知,则___________．
14．已知函数,则______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知二次函数的最小值为1，且.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数a的取值范围；
（3）若，试求的最小值.
16．娄底四中校内有块空地,为美化校园环境,学校决定将空地建成一个小花园,市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工,据分析,这批机器可获得的利润y（单位：万元）与运转的时间x（单位：年）的函数关系为.
(1)当这批机器运转第几年时,可获得最大利润？最大利润是多少？
(2)当运转多少年时,这批机器的年平均利润最大？
17．小萌大学毕业后，家里给了她10万元，她想办一个“萌萌”加工厂.根据市场调研，她得出了一组毛利润y（单位：万元）与投入成本x（单位：万元）的数据如下：
投入成本x 0.5 1 2 3 4 5 6
毛利润y 1.06 1.25 2 3.25 5 7.25 9.98
为了预测不同投入成本情况下的利润，她想在两个模型，中选一个进行预测.
（1）根据投入成本为2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式，请你根据给定的数据选出一个较好的函数模型进行预测（不必说明理由），并预测她投入8万元的毛利润；
（2）若小萌准备最少投入2万元开办加工厂，请利用（1）中选定的模型，预测加工厂毛利润率r的最大值，并说明理由.（毛利润率）
18．设，若函数定义域内的任意一个实数x都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个实数x都满足.已知函数.
（1）证明：函数的图象关于点对称；
（2）已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围.
19．设函数为定义在上的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明在上的单调性.
参考答案
1．答案：A
解析：幂函数的通式为（为常数），则，，均符合幂函数的定义，
而不符合幂函数的定义.故选A.
2．答案：B
解析：①只满足值域是，且；③只满足在上单调递增；④只满足在上单调递增；
②是偶函数，在上单调递增，但其值域是.故选B.
3．答案：A
解析：曲线，单调递增且趋于平缓，所以曲线，相应的n的值分别为2，；曲线，单调递减且曲线在直线右侧更高，故曲线，相应的n的值分别为，.故选A.
4．答案：A
解析：若函数为幂函数，则，解得或.故“”是“是幂函数”的充分不必要条件.故选A.
5．答案：D
解析:∴，∴，∴.
故选：D.
6．答案：A
解析：.
故选：A.
7．答案：B
解析：为定义域上的偶函数且在上单调递减,选B
8．答案：A
解析：令,则;再令,则
联立两式解出,所以选A
9．答案：BC
解析：由题意作出该函数在上的图象，如图所示.
由图象可知该函数有三个单调递增区间，三个单调递减区间，在其定义域内最大值为7，最小值不为，故选BC.
10．答案：AB
解析：由奇函数、偶函数的性质，知A，B说法正确；
对于C，如，，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以C说法错误；
对于D，如，，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以D说法错误.故选AB.
11．答案：ABC
解析：A，B选项，是上的减函数，且，故，则，A，B正确；
C，D选项，因为，，所以，，C正确，D错误.故选ABC.
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：令,则,故,故
故答案为：.
14．答案：0
解析：因为函数,且,
所以,
故答案为:0.
15．答案：（1）
（2）
（3）当时，；当时，；当时，
解析：（1）是二次函数，且，
图象的对称轴为直线.
又的最小值为1，设.
又，.
.
（2）要使在区间上不单调，则，解得.
故实数a的取值范围是.
（3）由（1）知，图象的对称轴为直线.
若，则在上单调递增，；
若，即，则在上单调递减，；
若，即，则.
综上，当时，；当时，；当时，.
16．答案：(1)第7年时,可获得最大利润45万元
(2)2
解析：(1)故当时,y取得最大值,最大值为45,
所以这批机器运转第7年时,可获得最大利润45万元；
(2)记年平均利润为Z,则
当且仅当,即时,等号成立.
17．答案：（1）是较好的函数模型；当时，毛利润为17万元
（2）预测加工厂毛利润率r的最大值为.理由见解析
解析：（1）求第一个模型的解析式，
由已知数据可得解得
.
同理可求得.
是较好的函数模型.
当时，毛利润为17万元.
（2）预测加工厂毛利润率r的最大值为.理由如下：
.
任取，且，
则.
因为，所以，，所以，即，
所以在上单调递增，
当时，.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：，，
.
，
即对任意的，都有成立，
函数的图象关于点对称.
（2），易知在上单调递增，
在上的值域为.
记函数，的值域为A.
若对任意的，总存在，使得成立，则.
当时，，
，即函数的图象过对称中心.
①当，即时，函数在上单调递增.
由对称性知，在上单调递增，函数在上单调递增.
易知.又，，则.
由，得解得，又，.
②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增.
由对称性知，在上单调递增，在上单调递减.
结合对称性，知或.
，.
又，.
易知当时，.
又，，
当时，恒成立.
③当，即时，函数在上单调递减.
由对称性知，在上单调递减，函数在上单调递减.
易知，
又，，
则.
由，得
解得，又，.
综上可知，实数m的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）在上单调递增，证明见解析
解析：（1）为奇函数，，
，.
（2）在上单调递增.
证明：由（1）知，任取，且，
则，
，，，
，，
在上单调递增.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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