资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 指数函数与对数函数—高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．求值：( )
A.1 B. C.2 D.
2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
3．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是.这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过( )
（参考数据：，，）
A.70天 B.80天 C.90天 D.100天
4．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法是把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算.已知，，设，则N所在的区间为( )
A. B. C. D.
5．若方程的两根为，，则的值为( )
A. B.6 C.36 D.1
6．已知，给出下面4个等式：
①；
②；
③；
④.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7．已知函数且是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时）,其中k为常数,在此条件下,已知训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时,训练时间增加（单位：小时）( )
A.2 B.4 C.6 D.8
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列结论中，正确的是( )
A.函数是指数函数
B.函数的单调递增区间是
C.若（，），则
D.函数（，）的图象必过定点
10．以下运算结果等于2的是( )
A. B. C. D.
11．下列函数有零点的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若对数函数的图象过点，则_________.
13．若正实数a，b满足，，则的值为__________.
14．已知，，则用a，b表示为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
（1）当时，成立，求x的取值范围；
（2）若定义在R上的奇函数满足，且当时，，求在区间上的解析式，并写出在区间上的单调性（不必证明）；
（3）对于（2）中的，若关于x的不等式在R上恒成立，求实数t的取值范围.
16．已知且，函数满足，.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）若函数和在区间上的单调性相同，求实数m的取值范围.
17．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并判断该函数的奇偶性；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围.
18．已知函数的两个零点分别为1和2.
（1）求m，n的值；
（2）若不等式在上恒成立，求k的取值范围；
（3）令，若函数在上有零点，求实数r的取值范围.
19．设函数，且，函数.
（1）求的解析式；
（2）若方程在上有两个不同的解，求实数b的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：.故选C.
2．答案：D
解析：A选项，，所以A错误.
B，D选项，由于，所以B错误，D正确.
C选项，不妨设，则，，
此时，所以C错误.故选D.
3．答案：B
解析：设x天后的“进步值”是“退步值”的5倍，则，即，两边同时取对数得，化简得，
所以.
故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天.故选B.
4．答案：C
解析：，
，.故选C.
5．答案：C
解析：方程的两根为，，所以，
故.故选C.
6．答案：B
解析：当，时，，，故①②错误；当时，，，③正确；当时，④错误.
因此只有1个正确，故选B.
7．答案：D
解析：由题意知在上单调递减，所以.
由在上单调递减，得，即.
由在R上单调递减，得，解得.
综上，实数a的取值范围是.故选D.
8．答案：C
解析：由题意得,
所以,所以,
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时,
训练时间增加为（小时）.
故选：C.
9．答案：BD
解析：由指数函数的定义得函数不是指数函数，A错误；
函数，设，则在上单调递增，在上单调递减，又在R上单调递减，因此函数的单调递增区间是，B正确；当时，由得，C错误；
在函数（，）中，由得，，即函数的图象必过定点，D正确.故选BD.
10．答案：BCD
解析：对于A，，不符合题意；
对于B，，符合题意；
对于C，，符合题意；
对于D，，符合题意.故选BCD.
11．答案：ABD
解析：A中，令，，方程有两个不相等的实数根，即该函数有两个零点；
B中，令，，
方程有两个相等的实数根，即该函数有一个零点；
C中，令，，方程没有实数根，即该函数无零点；
D中，令，，方程有两个不相等的实数根，即该函数有两个零点.
12．答案：
解析：设对数函数，且.因为函数图象过点，所以，得，所以.
13．答案：20
解析：
.
，
.
14．答案：
解析：.
15．答案：（1）
（2）在和上单调递减，在上单调递增
（3）
解析：（1）当时，，，，
，解得，
即x的取值范围为.
（2）函数是定义在R上的奇函数，，
又当时，，
，.
当时，，.
当时，，即，
.
故
在和上单调递减，在上单调递增.
（3），
由（2）知，若，则或或.
记.
当，即时，，符合题意.
当，即时，，
由在R上恒成立可得，所以.
当，即时，，
由在R上恒成立可得，
所以.
综上，实数t的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，解得，
当时，，无解，
故.
所以，则.
令，因为，所以，
故，，
当时，，当时，.
故函数在区间上的值域为.
（2）函数在R上单调递减，函数在R上单调递增.
由题意得函数与函数在区间上同增或者同减.
①若两函数在区间上均单调递增，则在区间上恒成立，
故解得；
②若两函数在区间上均单调递减，则在区间上恒成立，
故该不等式组无解.
综上，实数m的取值范围是.
17．答案：（1）解析式为，函数是偶函数
（2）
解析：（1）依题意得，
由得，解得.
因此，其定义域为R，
又，故函数是偶函数.
（2）不等式可化为，
依题意知对任意的恒成立.
令，，则，
令，
当时，，，
所以当时，y取得最大值，最大值为；
当时，，，所以当时，y取得最大值，最大值为68.
因为，所以，
所以实数m的取值范围为.
18．答案：（1），
（2）
（3）
解析：（1）由函数的两个零点分别为1和2，
可得，，解得，.
（2）由（1）可得.
由不等式在上恒成立，可得不等式在上恒成立，
，
在上的最小值为，.
（3）由（1）得.
函数在上有零点，
在上有解，
即在上有解，
令，则，
，
，
实数r的取值范围是.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）函数，且，
，，.
（2）方程，即，
令，由，得，
在上有两个不同的解等价于方程在上有两个不同的解.
在同一平面直角坐标系中作出函数，的图象及直线.
当时，；当时，.
由图知，当时，
函数，的图象与直线有两个交点，即方程有两个不同的解.
因此实数b的取值范围是.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑