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第五章 三角函数—高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知,,则( )
A. B. C. D.
2．已知扇形的周长为,则该扇形的面积S最大时,圆心角的大小为( ).
A.4弧度 B.3弧度 C.2弧度 D.1弧度
3．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是( )
A． B． C． D．
4．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,则可以是( )
A. B. C. D.
5．若,是第二象限的角,则的值等于( )
A. B. C. D.
6．已知函数,若方程在上恰有两个不同的实根,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7．要得到函数的图象,只要把函数的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
8．已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为
B.的图象关于直线对称
C.在区间上单调递增
D.的图象关于点对称
10．下列函数中最小正周期为的是（ ）
A. B. C. D.
11．设函数，则下列结论错误的是( )
A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为 D.的最大值为1
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．将函数的图像向左平移个单位,得到函数的图象.若在上为增函数,则的最大值为___________________.
13．函数的定义域是____.
14．将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则在上的最小值为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．一个扇形所在圆的半径为5,该扇形的周长为15.
(1)求该扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积.
16．已知矩形中，，的中点为M，将绕着折起，折起后点A记作P点（不在平面内），连接、得到几何体，为直角三角形.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的正弦值.
17．(1)已知，求的值；
(2)已知，且，求的值.
18．“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系.三角函数线经常可以理解为将单位圆上一点的坐标分别看作这点所在角的余弦和正弦这样在解决和同一个角的余弦与正弦的方程或不等式或函数问题时可以把余弦与正弦还原成单位圆上一个点的坐标，通过几何意义来解决相关问题.例如要求的取值范围，只需设，即，使该条直线与单位圆的有公共点时在y轴截距的取值范围即可.
(1)当设时，利用上述内容求的取值范围；
(2)利用恒等式和，求和的最小值；
(3)已知：若，，则有.现有实数x，y满足，求二元函数的最大值.
19．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将得到的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到函数的图象.
(1)求的解析式及单调递增区间；
(2)求在上的值域；
(3)求函数在上的零点之和.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,又,
所以,
所以.
故选：D.
2．答案：C
解析：设扇形半径为r,弧长为l.
扇形的周长为,,即,
,
当半径时,扇形的面积最大,为,
此时,.
故选：C.
3．答案：B
解析:因为相互啮合的两个齿轮，大轮48齿，小轮20齿，
所以当大轮转动一周时时，大轮转动了48个齿，
所以小轮此时转动周，
即小轮转动的角度为.
故选：B
4．答案：C
解析：因为,
将函数的图象向左平移个单位后得到函数,
所以,则,,,,
对于A,若,代入得,故A错误;
对于B,若,代入得,故B错误;
对于C,当时,,故C正确;
对于D,若,代入得,故D错误.
故选:C.
5．答案：C
解析：由于,是第二象限的角,
所以,
所以.
故选：C.
6．答案：A
解析：由,解得或,
化简可得或,
当时,；当时,；当时,；
当时,,
由题意可得,解得.
故选：A.
7．答案：D
解析：,
则把函数图象上所有的点向右平移个单位即可.
故选：D.
8．答案：D
解析：因为，
又，
所以，
所以.
故选：D
9．答案：ABD
解析：对于选项A，因为，
其图象向右平移个单位长度后得到函数
的图象，
所以的最小正周期为，故A正确；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，当时，，
则在区间上单调递增是不正确的，故C错误；
对于选项D，，
函数的图象关于点对称，故D正确，
故选：ABD.
10．答案：ACD
解析:对于A，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，因为，所以的最小正周期为，故B错误；
对于C，的最小正周期为，故C正确；
对于D，作的图象，如图，由图可知的最小正周期为，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BD
解析：由周期公式知，A正确；
因为不是最值，
所以直线不是函数的对称轴，B错误；
因为，
所以是函数的零点，C正确；
由正弦函数的值域可知，的最大值为2，D错误.
故选：BD
12．答案：2
解析：根据“左加右减”原则,向左平移个单位,
可知,
在上为增函数,可知周期,所以,即,的最大值为2.
13．答案：
解析:由题意可知需满足,
即，故函数的定义域为.
故答案为：.
14．答案：/
解析：由题得,
因为,,,
所以函数的值域为,故所求为.
故答案为:.
15．答案：(1)1
(2)
解析：(1)由题意可知扇形的半径,周长,
弧长,
圆心角
(2)由(1)可得,扇形面积.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：如图，连接，连接交于点E，则，
翻折前，翻折后，则有，
由于为直角三角形，且，
，
因此必有，
又因为，、平面，
则面，
因为平面，从而可得，
又因，，
则，所以，.
又因，、平面，
即面，
因为平面，
因此，面面.
(2)如图，取中点为N，
中点为O，连接，
由(1)可知，平面平面，
因为，O为的中点，则，
因为平面平面，
平面，所以，面，
因为O、N分别为、的中点，则，
因为，则，
以点O为坐标原点，分别以、、方向为x、y、z轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系.
则、、、，
得，，，，
设平面的一个法向量为，
由，
则，
取，则，，
得到，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，则，
则，
从而，
也即平面与平面所成夹角的正弦值为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)，
(2)因为，所以，
，
所以
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因为，
可设，
所以，所以，
又，为x轴上方的半圆，
故直线与，有公共点，
所以，
所以，
又直线过点时，，
又直线在y轴上的截距为-t，所以，
所以的取值范围为；
(2)设，
则，则，
由(1)可得，
所以的最小值为；
当时，
，
表示点到点和的距离之和，
所以.
当时，
，
表示点到点和的距离之差，
所以.
的最小值为.
(3)因为，
故，
故，同理.
由已知得若，
则有.
令，则，
且；
设，
由
，
所以
，
所以可得
，
其表示点
到点和的距离之差再加上，
所以，
当且仅当，
即，
此时满足.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由题意可知,
由,
解得,
所以的单调递增区间为.
(2)由,得,
由正弦函数的图象可知,,
所以在上的值域为.
(3)
,
由,得,解得,
即或
即或,
因为,所以或或或,
故在上的零点之和为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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