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浙江省绍兴市上虞区2025届高三下学期５月高考及选考适应性考试数学试卷
1．（2025·上虞模拟）设集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·上虞模拟）已知复数为纯虚数虚数单位，则实数　　
A．1 B． C．2 D．
3．（2025·上虞模拟）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·上虞模拟）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、心理6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法总数是（　　）
A．192 B．144 C．124 D．216
5．（2025·上虞模拟）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1） （　　）（注：，）
A．30 B．31 C．32 D．33
6．（2025·上虞模拟）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·上虞模拟）已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·上虞模拟）已知函数，当且仅当有，则（　　）
A． B．1 C． D．2
9．（2025·上虞模拟）下列结论正确的是（　　）
A．若随机变量X的方差，则
B．若随机变量Y服从两点分布，且，则
C．若随机变量ξ服从正态分布，，则
D．若随机变量η服从二项分布，则
10．（2025·上虞模拟）曲线，A，B是曲线C上任意两点，则（　　）
A．曲线C的图象关于原点对称 B．的最大值
C．直线AB与曲线C没有其它交点 D．曲线C所围成的面积为
11．（2025·上虞模拟）已知数列中，数列中，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则数列为等比数列
C．若，则数列为常数列 D．若，则
12．（2025·上虞模拟）已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为　 　．
13．（2025·上虞模拟）已知定义在R上的函数满足且，则　 　．
14．（2025·上虞模拟）已知平行四边形ABCD满足，则　 　．
15．（2025·上虞模拟）已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点．
（1）求证：面面；
（2）若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长．
16．（2025·上虞模拟）已知函数，．
（1）若在处的切线方程为，求实数m的值；
（2）讨论的单调性.
17．（2025·上虞模拟）在三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，的面积为S且．
（1）求角B的大小；
（2）设点M是三角形内一点，且，，过点M作直线l分别交BA，BC（或延长线）于点P，Q，求的最大值．
18．（2025·上虞模拟）已知抛物线的焦点到准线的距离是．
（1）求抛物线方程；
（2）设点是该抛物线上一定点，过点A作互相垂直的直线分别交抛物线C于点B，C，连接BC．
（ⅰ）求证：直线BC恒过一定点；
（ⅱ）过点A，B，C分别作切线，三条切线两两相交于P，Q，R，若的面积为，求直线BC的方程．
19．（2025·上虞模拟）已知数列满足：①，②，则称数列有性质Ω，数列称为“Ω数列”，记．
（1）若，写出的所有可能值（直接给出答案即可）；
（2）当，时，设；数列为等差数列．请判断p是q的什么条件？并说明理由；
（3）若Ω数列符合且，记集合．在中任取两个不同元素x，y，求：x且的概率最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】因为，所以，解得：，
所以，
对于A、B，，故A错误，B正确；
对于C、D，，故CD错误；
故答案为：B.
【分析】利用解一元二次不等式求出，结合交集和并集的运算求解即可得到结果.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】为纯虚数，
，，
，
故答案为B．
【分析】利用复数的运算法则化简，结合纯虚数的定义求解即可得到结果.
3．【答案】C
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】因为关于直线对称的点为，则的对称点为，
又在函数的图象上，故，解得，
故答案为：.
【分析】利用点关于直线对称进行求解即可得到结果.
4．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】数学课排在上午有种，体育课排在下午有种，
剩下的语文、政治、英语、心理4堂课有种，
所以种.
故答案为：A.
【分析】利用分步计数原理结合排列组合进行求解即可得到结果.
5．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，
由题意：，.
于是，
所以.
故答案为：C.
【分析】 利用对数运算化简即可得到结果.
6．【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】由题意，设外接球的半径为，则，
则正四棱锥的体积为，解得，
所以球的表面积为．
故答案为：D
【分析】根据题意，由于正方形在球的一个大圆上，求正方形的对角线进而求出半径，结合球的表面积公式求解即可得到结果.
7．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】根据题意，画出图像
由双曲线可知：，
所以，，
令，则，解得：，不妨设，
所以，
因为为的角平分线，所以由角平分线定理可得：，
所以，又因为，所以，，
所以，所以，
因为，所以的高为，
所以，
又因为，
解得：，同理，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意，将A点的横坐标代入曲线方程求出其坐标，进而求出的边长，求出其面积，结合面积公式以及等面积法求出内切圆半径，进而代入式子进行化简即可得到结果.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意可知，
，解得，
当时，则，
又，所以，所以，
验证：，
，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，，
所以当且仅当时，，所以成立.
故答案为：B.
【分析】由题意，因为当且仅当有 ，则有，进而求出a的值，得到式子，并且定值得到，接着利用求导，利用导函数的正负值判断函数的单调性，进而验证即可得到结果.
9．【答案】B,C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】若，则，故错误；
若随机变量Y服从两点分布，则，故，
，故正确；
若随机变量ξ服从正态分布，，则
，，
故正确；
若随机变量η服从二项分布，则
故错误.
故答案为：.
【分析】A：利用方差的性质求解判断；B：利用二点分布求出概率，进而求出均值；C：利用正态分布的对称性进行判断；D：利用二项分布求解概率。
10．【答案】A,B,D
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用；椭圆的定义；双曲线的定义；曲线与方程
【解析】【解答】对于曲线C，当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分；
当时，曲线表示坐标原点；即其图象如图所示，
由图可知，
对于A，因为，所以，
即点与点均符合曲线C的方程，所以曲线C关于原点对称，A正确；
对于B，曲线上两点之间最大距离，如图中，故B正确；
对于C，直线AB取除了有，与曲线C有其它交点，故C错误；
曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为，故D正确；
故答案为：ABD．
【分析】根据题意，利用分类讨论：， ；， ；， ；， ； ，求出对应曲线，接着对每一个选项进行判断即可得到结果.
11．【答案】A,D
【知识点】组合及组合数公式；二项式定理的应用
【解析】【解答】对于A：当，则，又，
所以，故A正确；
对于B：当，则，
又，所以，
则，不为常数，所以数列不是等比数列，故B错误；
对于C：当，则，
则，，
，
所以数列不是常数列，故C错误；
对于D：首先证明，
考虑多项式中的系数，
一方面：代数式中，的系数为；
另一方面：代数式中，
的系数为；
因为，所以；
所以.
当时，
，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意，利用代入求解出，进而求出；B：由求出的表达式，进而利用等比数列的递推公式进行判断；C：当，采用特殊值法分别求出、、进行判断；D：根据组合数的性质判断。
12．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆的左顶点为，
所以，则，所以该椭圆的离心率.
故答案为：
【分析】根据顶点坐标先求出方程，进而求出结果。
13．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】令，所以，
所以，
即，，……，
所以，以上式子相加可得：，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意：，令，可得得到，采用累加法求出的表达式，即可得到结果。
14．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形
【解析】【解答】因为平行四边形ABCD满足，
又因为，
所以，
所以，所以，
则．
故答案为：.
【分析】由于ABCD为平行四边形得到，结合余弦定理进行化简得到，进而求出结果.
15．【答案】（1）因为三棱柱为正三棱柱，
所以，因为D为AB中点，所以，
又因为平面，平面，所以，
，平面面，
所以面，面，
所以平面面.
（2）过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，
，设面的法向量为，
，
则，所以，令，则，
所以，因为直线CE与面所成角的余弦值为，
所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为，
即，即，
解得：或（舍去），
所以，AE的长为.

【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判定定理进行证明；
（2）建立空间直角坐标系，接着假设，利用空间向量的坐标运算求解，结合线面角的运算即可得到结果.
（1）因为三棱柱为正三棱柱，
所以，因为D为AB中点，所以，
又因为平面，平面，所以，
，平面面，
所以面，面，
所以平面面.
（2）过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，
，设面的法向量为，
，
则，所以，令，则，
所以，因为直线CE与面所成角的余弦值为，
所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为，
即，即，
解得：或（舍去），
所以，AE的长为.
16．【答案】（1）由，．
依题意， ，
解得 .
（2）的定义域为，，
当时，恒有 ，故的单调递减区间为，
②当时，令，得，
由，得；由，得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用求导得到直线的斜率，结合代入方程求解即可得到结果；
（2）先对函数进行求导，接着对a的值进行分类讨论，利用导函数的正负值判断函数的单调性.
（1）由，．
依题意， ，
解得 .
（2）的定义域为，，
当时，恒有 ，故的单调递减区间为，
②当时，令，得，
由，得；由，得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
17．【答案】（1）由余弦定理可得，则，
又，由可得，
即，且，所以.
（2）设，则，则，
在中，由正弦定理可得，
则，
则，
由可得，
且，
，
在中，由正弦定理可得，
则，
所以
，
则，
且，所以当时，即，取得最大值.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用余弦定理以及三角形的面积公式进行代入化简即可得到结果；
（2）先利用正弦定理对进行化简，同时，接着，结合不等式性质求解即可得到结果。
（1）由余弦定理可得，则，
又，由可得，
即，且，所以.
（2）设，则，则，
在中，由正弦定理可得，
则，
则，
由可得，
且，
，
在中，由正弦定理可得，
则，
所以
，
则，
且，所以当时，即，取得最大值.
18．【答案】（1）抛物线的焦点为，准线为，
因为焦点到准线的距离是，所以，
所以抛物线方程为；
（2）因为点在抛物线上，所以，所以，
（ⅰ）设直线BC的方程为，，，
联立得，则，，
，，
因为，所以，所以，
又，，所以，
所以，
因为，，所以，
所以，所以，即，
所以，
所以直线BC恒过定点；
（ⅱ）
对两边求导的，所以，
在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，即，
在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，所以，
又，所以，
在点处的切线方程为，
设，
联立，得，则，
联立，得，则，
联立，得，则，
所以
，
点到直线的距离为，
所以，又，
解得，所以直线BC的方程的方程为.
【知识点】导数的几何意义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，先求出p值即可得到结果；
（2）先求出，（ⅰ）设直线BC的方程为与曲线进行联立，利用韦达定理以及向量的运算化简得到即可得到结果；（ⅱ）利用导数的几何意义先求出曲线的切线方程，接着联立曲线得到对应的P，Q，R三点的坐标，利用面积公式求解即可得到结果.
（1）抛物线的焦点为，准线为，
因为焦点到准线的距离是，所以，
所以抛物线方程为；
（2）因为点在抛物线上，所以，所以，
（ⅰ）设直线BC的方程为，，，
联立得，则，，
，，
因为，所以，所以，
又，，所以，
所以，
因为，，所以，
所以，所以，即，
所以，
所以直线BC恒过定点；
（ⅱ）
对两边求导的，所以，
在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，即，
在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，所以，
又，所以，
在点处的切线方程为，
设，
联立，得，则，
联立，得，则，
联立，得，则，
所以
，
点到直线的距离为，
所以，又，
解得，所以直线BC的方程的方程为.
19．【答案】（1）因为数列满足：①，②，
故由，得的可能取值为，
若，则可为；
若，则可为；
若，则可为；
综合所述，的可能取值为.
（2）p是q的充分不必要条件，即条件p能够推出条件q，但条件q推不出条件p，下面证明：先证明条件q推不出条件p，
因为为等差数列，且为数列，
因为，所以常数列：满足条件，
此时，故条件q推不出条件p，
再证明条件p能够推出条件q，
数列满足：①，②且，，
因为从到需要净增长2025
在项的约束下，要满足，，唯一可能的方式是每次增加1，
即该数列只能是：0，1，2，...，2025，因此“Ω数列”为等差数列，即条件p能够推出条件q，
综上所述，p是q的充分不必要条件，
（3），
当时，令（），
当为奇数时，数列：，
此时，，，，，．．．，
此时，
；
当为偶数时，数列：，
此时，，，，．．．，
此时，
；
对于所有：当为奇数时，；当为偶数时，为可能的最大值，
因此，概率的最大值为：
【知识点】数列的函数特性；数列的应用；数列的递推公式；数列与不等式的综合；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）利用题中的定义，结合特殊值求解；
（2）利用等差数列的递推公式证明充分性成立，接着利用题中的条件结合特殊值法证明出必要性不成立；
（3）（3）第（2）问：构造满足条件的数列，判断出集合的结构，结合组合数计算概率的最大值.
（1）因为数列满足：①，②，
故由，得的可能取值为，
若，则可为；
若，则可为；
若，则可为；
综合所述，的可能取值为.
（2）p是q的充分不必要条件，即条件p能够推出条件q，但条件q推不出条件p，下面证明：
先证明条件q推不出条件p，
因为为等差数列，且为数列，
因为，所以常数列：满足条件，
此时，故条件q推不出条件p，
再证明条件p能够推出条件q，
数列满足：①，②且，，
因为从到需要净增长2025
在项的约束下，要满足，，唯一可能的方式是每次增加1，
即该数列只能是：0，1，2，...，2025，因此“Ω数列”为等差数列，即条件p能够推出条件q，
综上所述，p是q的充分不必要条件，
（3），
当时，令（），
当为奇数时，数列：，
此时，，，，，．．．，
此时，
；
当为偶数时，数列：，
此时，，，，．．．，
此时，
；
对于所有：当为奇数时，；当为偶数时，为可能的最大值，
因此，概率的最大值为：
1 / 1浙江省绍兴市上虞区2025届高三下学期５月高考及选考适应性考试数学试卷
1．（2025·上虞模拟）设集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】因为，所以，解得：，
所以，
对于A、B，，故A错误，B正确；
对于C、D，，故CD错误；
故答案为：B.
【分析】利用解一元二次不等式求出，结合交集和并集的运算求解即可得到结果.
2．（2025·上虞模拟）已知复数为纯虚数虚数单位，则实数　　
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】为纯虚数，
，，
，
故答案为B．
【分析】利用复数的运算法则化简，结合纯虚数的定义求解即可得到结果.
3．（2025·上虞模拟）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】因为关于直线对称的点为，则的对称点为，
又在函数的图象上，故，解得，
故答案为：.
【分析】利用点关于直线对称进行求解即可得到结果.
4．（2025·上虞模拟）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、心理6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法总数是（　　）
A．192 B．144 C．124 D．216
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】数学课排在上午有种，体育课排在下午有种，
剩下的语文、政治、英语、心理4堂课有种，
所以种.
故答案为：A.
【分析】利用分步计数原理结合排列组合进行求解即可得到结果.
5．（2025·上虞模拟）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1） （　　）（注：，）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，
由题意：，.
于是，
所以.
故答案为：C.
【分析】 利用对数运算化简即可得到结果.
6．（2025·上虞模拟）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】由题意，设外接球的半径为，则，
则正四棱锥的体积为，解得，
所以球的表面积为．
故答案为：D
【分析】根据题意，由于正方形在球的一个大圆上，求正方形的对角线进而求出半径，结合球的表面积公式求解即可得到结果.
7．（2025·上虞模拟）已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】根据题意，画出图像
由双曲线可知：，
所以，，
令，则，解得：，不妨设，
所以，
因为为的角平分线，所以由角平分线定理可得：，
所以，又因为，所以，，
所以，所以，
因为，所以的高为，
所以，
又因为，
解得：，同理，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意，将A点的横坐标代入曲线方程求出其坐标，进而求出的边长，求出其面积，结合面积公式以及等面积法求出内切圆半径，进而代入式子进行化简即可得到结果.
8．（2025·上虞模拟）已知函数，当且仅当有，则（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意可知，
，解得，
当时，则，
又，所以，所以，
验证：，
，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，，
所以当且仅当时，，所以成立.
故答案为：B.
【分析】由题意，因为当且仅当有 ，则有，进而求出a的值，得到式子，并且定值得到，接着利用求导，利用导函数的正负值判断函数的单调性，进而验证即可得到结果.
9．（2025·上虞模拟）下列结论正确的是（　　）
A．若随机变量X的方差，则
B．若随机变量Y服从两点分布，且，则
C．若随机变量ξ服从正态分布，，则
D．若随机变量η服从二项分布，则
【答案】B,C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】若，则，故错误；
若随机变量Y服从两点分布，则，故，
，故正确；
若随机变量ξ服从正态分布，，则
，，
故正确；
若随机变量η服从二项分布，则
故错误.
故答案为：.
【分析】A：利用方差的性质求解判断；B：利用二点分布求出概率，进而求出均值；C：利用正态分布的对称性进行判断；D：利用二项分布求解概率。
10．（2025·上虞模拟）曲线，A，B是曲线C上任意两点，则（　　）
A．曲线C的图象关于原点对称 B．的最大值
C．直线AB与曲线C没有其它交点 D．曲线C所围成的面积为
【答案】A,B,D
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用；椭圆的定义；双曲线的定义；曲线与方程
【解析】【解答】对于曲线C，当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分；
当时，曲线表示坐标原点；即其图象如图所示，
由图可知，
对于A，因为，所以，
即点与点均符合曲线C的方程，所以曲线C关于原点对称，A正确；
对于B，曲线上两点之间最大距离，如图中，故B正确；
对于C，直线AB取除了有，与曲线C有其它交点，故C错误；
曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为，故D正确；
故答案为：ABD．
【分析】根据题意，利用分类讨论：， ；， ；， ；， ； ，求出对应曲线，接着对每一个选项进行判断即可得到结果.
11．（2025·上虞模拟）已知数列中，数列中，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则数列为等比数列
C．若，则数列为常数列 D．若，则
【答案】A,D
【知识点】组合及组合数公式；二项式定理的应用
【解析】【解答】对于A：当，则，又，
所以，故A正确；
对于B：当，则，
又，所以，
则，不为常数，所以数列不是等比数列，故B错误；
对于C：当，则，
则，，
，
所以数列不是常数列，故C错误；
对于D：首先证明，
考虑多项式中的系数，
一方面：代数式中，的系数为；
另一方面：代数式中，
的系数为；
因为，所以；
所以.
当时，
，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意，利用代入求解出，进而求出；B：由求出的表达式，进而利用等比数列的递推公式进行判断；C：当，采用特殊值法分别求出、、进行判断；D：根据组合数的性质判断。
12．（2025·上虞模拟）已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆的左顶点为，
所以，则，所以该椭圆的离心率.
故答案为：
【分析】根据顶点坐标先求出方程，进而求出结果。
13．（2025·上虞模拟）已知定义在R上的函数满足且，则　 　．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】令，所以，
所以，
即，，……，
所以，以上式子相加可得：，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意：，令，可得得到，采用累加法求出的表达式，即可得到结果。
14．（2025·上虞模拟）已知平行四边形ABCD满足，则　 　．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形
【解析】【解答】因为平行四边形ABCD满足，
又因为，
所以，
所以，所以，
则．
故答案为：.
【分析】由于ABCD为平行四边形得到，结合余弦定理进行化简得到，进而求出结果.
15．（2025·上虞模拟）已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点．
（1）求证：面面；
（2）若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长．
【答案】（1）因为三棱柱为正三棱柱，
所以，因为D为AB中点，所以，
又因为平面，平面，所以，
，平面面，
所以面，面，
所以平面面.
（2）过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，
，设面的法向量为，
，
则，所以，令，则，
所以，因为直线CE与面所成角的余弦值为，
所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为，
即，即，
解得：或（舍去），
所以，AE的长为.

【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判定定理进行证明；
（2）建立空间直角坐标系，接着假设，利用空间向量的坐标运算求解，结合线面角的运算即可得到结果.
（1）因为三棱柱为正三棱柱，
所以，因为D为AB中点，所以，
又因为平面，平面，所以，
，平面面，
所以面，面，
所以平面面.
（2）过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，
，设面的法向量为，
，
则，所以，令，则，
所以，因为直线CE与面所成角的余弦值为，
所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为，
即，即，
解得：或（舍去），
所以，AE的长为.
16．（2025·上虞模拟）已知函数，．
（1）若在处的切线方程为，求实数m的值；
（2）讨论的单调性.
【答案】（1）由，．
依题意， ，
解得 .
（2）的定义域为，，
当时，恒有 ，故的单调递减区间为，
②当时，令，得，
由，得；由，得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用求导得到直线的斜率，结合代入方程求解即可得到结果；
（2）先对函数进行求导，接着对a的值进行分类讨论，利用导函数的正负值判断函数的单调性.
（1）由，．
依题意， ，
解得 .
（2）的定义域为，，
当时，恒有 ，故的单调递减区间为，
②当时，令，得，
由，得；由，得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
17．（2025·上虞模拟）在三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，的面积为S且．
（1）求角B的大小；
（2）设点M是三角形内一点，且，，过点M作直线l分别交BA，BC（或延长线）于点P，Q，求的最大值．
【答案】（1）由余弦定理可得，则，
又，由可得，
即，且，所以.
（2）设，则，则，
在中，由正弦定理可得，
则，
则，
由可得，
且，
，
在中，由正弦定理可得，
则，
所以
，
则，
且，所以当时，即，取得最大值.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用余弦定理以及三角形的面积公式进行代入化简即可得到结果；
（2）先利用正弦定理对进行化简，同时，接着，结合不等式性质求解即可得到结果。
（1）由余弦定理可得，则，
又，由可得，
即，且，所以.
（2）设，则，则，
在中，由正弦定理可得，
则，
则，
由可得，
且，
，
在中，由正弦定理可得，
则，
所以
，
则，
且，所以当时，即，取得最大值.
18．（2025·上虞模拟）已知抛物线的焦点到准线的距离是．
（1）求抛物线方程；
（2）设点是该抛物线上一定点，过点A作互相垂直的直线分别交抛物线C于点B，C，连接BC．
（ⅰ）求证：直线BC恒过一定点；
（ⅱ）过点A，B，C分别作切线，三条切线两两相交于P，Q，R，若的面积为，求直线BC的方程．
【答案】（1）抛物线的焦点为，准线为，
因为焦点到准线的距离是，所以，
所以抛物线方程为；
（2）因为点在抛物线上，所以，所以，
（ⅰ）设直线BC的方程为，，，
联立得，则，，
，，
因为，所以，所以，
又，，所以，
所以，
因为，，所以，
所以，所以，即，
所以，
所以直线BC恒过定点；
（ⅱ）
对两边求导的，所以，
在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，即，
在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，所以，
又，所以，
在点处的切线方程为，
设，
联立，得，则，
联立，得，则，
联立，得，则，
所以
，
点到直线的距离为，
所以，又，
解得，所以直线BC的方程的方程为.
【知识点】导数的几何意义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，先求出p值即可得到结果；
（2）先求出，（ⅰ）设直线BC的方程为与曲线进行联立，利用韦达定理以及向量的运算化简得到即可得到结果；（ⅱ）利用导数的几何意义先求出曲线的切线方程，接着联立曲线得到对应的P，Q，R三点的坐标，利用面积公式求解即可得到结果.
（1）抛物线的焦点为，准线为，
因为焦点到准线的距离是，所以，
所以抛物线方程为；
（2）因为点在抛物线上，所以，所以，
（ⅰ）设直线BC的方程为，，，
联立得，则，，
，，
因为，所以，所以，
又，，所以，
所以，
因为，，所以，
所以，所以，即，
所以，
所以直线BC恒过定点；
（ⅱ）
对两边求导的，所以，
在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，即，
在点处的切线的斜率，
所以切线方程为，所以，
又，所以，
在点处的切线方程为，
设，
联立，得，则，
联立，得，则，
联立，得，则，
所以
，
点到直线的距离为，
所以，又，
解得，所以直线BC的方程的方程为.
19．（2025·上虞模拟）已知数列满足：①，②，则称数列有性质Ω，数列称为“Ω数列”，记．
（1）若，写出的所有可能值（直接给出答案即可）；
（2）当，时，设；数列为等差数列．请判断p是q的什么条件？并说明理由；
（3）若Ω数列符合且，记集合．在中任取两个不同元素x，y，求：x且的概率最大值．
【答案】（1）因为数列满足：①，②，
故由，得的可能取值为，
若，则可为；
若，则可为；
若，则可为；
综合所述，的可能取值为.
（2）p是q的充分不必要条件，即条件p能够推出条件q，但条件q推不出条件p，下面证明：先证明条件q推不出条件p，
因为为等差数列，且为数列，
因为，所以常数列：满足条件，
此时，故条件q推不出条件p，
再证明条件p能够推出条件q，
数列满足：①，②且，，
因为从到需要净增长2025
在项的约束下，要满足，，唯一可能的方式是每次增加1，
即该数列只能是：0，1，2，...，2025，因此“Ω数列”为等差数列，即条件p能够推出条件q，
综上所述，p是q的充分不必要条件，
（3），
当时，令（），
当为奇数时，数列：，
此时，，，，，．．．，
此时，
；
当为偶数时，数列：，
此时，，，，．．．，
此时，
；
对于所有：当为奇数时，；当为偶数时，为可能的最大值，
因此，概率的最大值为：
【知识点】数列的函数特性；数列的应用；数列的递推公式；数列与不等式的综合；概率与函数的综合
【解析】【分析】（1）利用题中的定义，结合特殊值求解；
（2）利用等差数列的递推公式证明充分性成立，接着利用题中的条件结合特殊值法证明出必要性不成立；
（3）（3）第（2）问：构造满足条件的数列，判断出集合的结构，结合组合数计算概率的最大值.
（1）因为数列满足：①，②，
故由，得的可能取值为，
若，则可为；
若，则可为；
若，则可为；
综合所述，的可能取值为.
（2）p是q的充分不必要条件，即条件p能够推出条件q，但条件q推不出条件p，下面证明：
先证明条件q推不出条件p，
因为为等差数列，且为数列，
因为，所以常数列：满足条件，
此时，故条件q推不出条件p，
再证明条件p能够推出条件q，
数列满足：①，②且，，
因为从到需要净增长2025
在项的约束下，要满足，，唯一可能的方式是每次增加1，
即该数列只能是：0，1，2，...，2025，因此“Ω数列”为等差数列，即条件p能够推出条件q，
综上所述，p是q的充分不必要条件，
（3），
当时，令（），
当为奇数时，数列：，
此时，，，，，．．．，
此时，
；
当为偶数时，数列：，
此时，，，，．．．，
此时，
；
对于所有：当为奇数时，；当为偶数时，为可能的最大值，
因此，概率的最大值为：
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