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湖南省岳阳市湘阴县第二中学2025届高三第三次模拟考试数学试题
1．（2025·湘阴模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·湘阴模拟）若复数满足，则在复平面内，对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025·湘阴模拟）已知为正项等比数列的前项和，，，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．（2025·湘阴模拟）已知，，则（　　）
A．2 B．1 C． D．
5．（2025·湘阴模拟）已知函数图象上不同的两点，到直线的距离相等，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·湘阴模拟）已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
7．（2025·湘阴模拟）已知函数满足，，则（　　）
A．3 B． C．5 D．
8．（2025·湘阴模拟）已知，，，是球的球面上四点，，，，．记球的体积为，四面体的体积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·湘阴模拟）设函数，则下列说法正确的是（　　）
A．的最大值为
B．在上单调递增
C．，在上存在极值点
D．的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数
10．（2025·湘阴模拟）已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线右支上一点，的最小值为1，且当轴时，，则（　　）
A．双曲线的焦距为4
B．双曲线的一条渐近线被圆：截得的弦长为2
C．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则
D．为圆：上一点，的最大值为3
11．（2025·湘阴模拟）已知有穷数列的通项公式为，其项数不少于4项，从中选取项组成数列，数列满足，，则（　　）
A．数列是单调数列 B．当时，
C．当时， D．数列的个数为
12．（2025·湘阴模拟）的展开式中的系数为　 　．
13．（2025·湘阴模拟）已知是椭圆的一个焦点，分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，若以为直径的圆经过的中点，则椭圆的离心率为　 　．
14．（2025·湘阴模拟）已知函数有零点，则的最小值为　 　．
15．（2025·湘阴模拟）在中，角的对边分别为，．
（1）求；
（2）若的面积为，，求的周长．
16．（2025·湘阴模拟）在制造业智能化的趋势下，某企业委托机构随机调查了200名传统质检员，以评估质检系统对传统质检员数量的影响，部分数据如下表所示：
质检系统的应用情况 传统质检员数量 合计
减少 未减少
应用 70 应用
未应用 50 未应用
合计 100 合计
（1）根据以上数据及小概率值的独立性检验，能否认为质检系统的应用与传统质检员数量减少有关？
（2）该企业引入质检系统后，将对质检员开展三轮专项培训，已知每轮达到“熟练操作质检系统”水平（视为达标）的概率分别为，，，各轮结果相互独立，且规定两轮及以上达标者，方可操作该系统．
①某部门有48名质检员，规定培训通过（两轮及以上达标）者可获得500元奖金，求该部门为员工培训需准备的奖金总额的数学期望．
②调研发现，能操作质检系统的质检员中，70%的人薪资涨幅超过15%；不能操作质检系统的质检员中，30%的人薪资涨幅超过15%．若在质检员培训后，从中随机选取一人，其薪资涨幅超过15%，求该员工能操作质检系统的概率．
附：，．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17．（2025·湘阴模拟）如图，在梯形中，，，，，，分别为线段，上异于端点的一点，，将梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，得到多面体．
（1）若，证明：．
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（2025·湘阴模拟）已知函数（）．
（1）设，当时，，求的取值范围．
（2）当时，
①写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由；
②设，数列满足，，证明：．
19．（2025·湘阴模拟）已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围；
（3）已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得或，即集合或，
则，因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】解不等式求得集合B，再根据集合的补集、交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：设复数，
由，可得，
即，
则，解得，
故，在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】设复数，根据复数代数形式的乘法运算结合复数相等求得求，再根据共轭复数求得，最后由复数在复平面的表示判断即可.
3．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，且，
由，可得，则，即，
若，则，不合题意，故，
，解得，则.
故答案为：C.
【分析】设等比数列的公比为，且，由等比数列的性质可得，即，再根据等比数列求和公式，得到关于的一元二次方程，解出公比，即可得的值.
4．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，可得，
即，即，
两边平方得：，，，
因为，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用余弦的二倍角公式化简得，再利用平方关系化简，再开方可得，据此求解即可.
5．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点；基本不等式
【解析】【解答】解：A、不妨设，如图所示：
根据不同的两点，到直线的距离相等，
因为到的距离不超过，点到的距离为，所以，
所以，故A错误；
B、根据不同的两点，到直线的距离相等，则，
即，则，，解得，故B正确；
C、且，又因为，得到，
则，故C错误；
D、因为，所以，所以，又因为，
所以，故D错误.
故答案为：B．
【分析】作出函数图象与直线的图象，不妨设，利用函数的单调性及图象，结合基本不等式来求解判断即可．
6．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，可得，
因为，所以；
设，则，
设，则，
，即点C在直线上；
设，由，得，即点B直线上，
而的几何意义为直线上的点B到直线上的点C的距离，
则.
故答案为：D.
【分析】由，利用平面向量数量积的运算律求得，设，，求得点C在直线上，点B直线上，结合计算即可.
7．【答案】B
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解：由
可得，即，
令，则，即，
则函数是以4为周期的周期函数，即也是以4为周期的函数，
则，
令，可得，
结合，可得，则.
故答案为：B.
【分析】构造函数，确定的周期性，利用周期性求解即可.
8．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设分别为的中点，连接，如图所示：
因为，，所以分别以为斜边的直角三角形，
即分别过作平面和平面的垂线，交点即为球心，
因为分别为的中点，所以，
又因为，，，，
所以，，
又因为平面平面，所以二面角即是，
因为，
所以
，
即，解得，
则，即直线与平面的夹角，
设点到平面的距离为，则，解得，
则，
在中，，
则为等边三角形，，
（为的外接圆半径），
因为，所以四边形有外接圆，且外接圆半径为，
则，四面体外接球半径，
，故.
故答案为：A.
【分析】设分别为的中点，连接，推出为二面角的平面角，再根据求得，即直线与平面的夹角，再求四面体的体积为， 球的体积为， 即可求.
9．【答案】A,C,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、函数，
当，函数取得最大值，最大值为，故A正确；
B、当时，，
因为在上不单调，所以在上不单调，故B错误；
C、函数的最小正周期，因为区间的长度为，
所以，在上存在极值点，故C正确；
D、将的图象向右平移个单位长度后得到，为偶函数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用两角和的余弦公式化简求得函数，结合余弦函数的性质逐项判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、因为的最小值为1，所以，
当轴时，此时点的横坐标为，代入双曲线方程可得，
由双曲线中的平方关系，联立解得，
则双曲线的焦距为，故A正确；
B、焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，
圆：的圆心为，半径为，且经过原点，
则圆和两条渐近线关于轴对称，二者所截的弦长相等，取其中一条渐近线，
则圆心到渐近线的距离为，
由垂径定理可知所截的弦长为，故B正确；
C、由对称性，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，
则垂线方程为，与联立可解得垂足，
则，故C错误；
D、圆：的圆心为，半径为1，
由双曲线的定义可知，
则，当且仅当在线段的延长线上取等，
即的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题干条件可得，，再结合双曲线中的平方关系，联立可解得，则双曲线的焦距为，即可判断A；由A可得双曲线的方程，进而得到渐近线方程，利用点到直线的距离公式和垂径定理可算得弦长，即可判断B；由对称性取任意一条渐近线，先求出垂线方程，与渐近线方程联立求得垂足坐标，再利用两点间的距离公式即可判断C；由双曲线的定义可知，再由三角形两边之和大于第三边可得即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】解：A、因为数列满足，即必须在和之间，
无法满足单调性，故A错误；
B、当时，各项大小关系为：
；
或者
从而或，
故，故B正确；
C、当时，同B的分析可得：
或：
，
而各项均为正整数，故，故C正确；
D、从项中选项有种方式，由BC的分析可得：
当时，各项的排列次序唯一确定，且为所有项中的最大项，
为所有项中的最小项，为余下项的最大项，为余下项中的最小值，
类似确定；
当时，同理可得各项的排列次序唯一确定；
故数列的个数为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件以及数列的性质对选项逐项判断即可.
12．【答案】80
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，
令，解得，则的系数为；
中含，则的展开式应取常数项，即，
则的展开式中的系数为：.
故答案为：80.
【分析】写出展开式的通项，分第一个因式取1和两种情况进行讨论，可求展开式中的系数即可.
13．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知，的中点为，且，
以为直径的圆为，
由的中点在以为直径的圆上，可得，
整理得，
因为，所以，即，
等式两边同除以，可得，解得，
又因为，所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
【分析】易知，的中点为，且，求得以为直径的圆为，把的中点代入圆的方程，整理得到，结合，得到，求解即可得椭圆的离心率.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
设是在上的零点，则，即，
即点在直线上，
可理解为点到原点的距离的平方，
则原点到直线的距离一定小于等于点到原点的距离，
即在上能成立，
即在上能成立，
令，则，
令，因为，所以，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
故当时，，即的最小值为.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，问题转化为原点到直线的距离，一定小于等于点到原点的距离问题，再通过构造函数，借助导数，求出在上的最小值，求的最小值即可.
15．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，
又因为，，所以，则；
（2）解：若的面积为，则，解得，
由余弦定理可得，
，代入解得，则，
故的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简求得，再由同角的三角函数求值即可；
（2）根据三角形面积公式求得，再利用余弦定理，结合题意求得，，即可得三角形的周长.
（1）由和正弦定理，，
因，代入化简得：，
因，则，故，
因，故.
（2）因的面积为，解得，
由余弦定理，，
因，代入解得，则，
故的周长为.
16．【答案】（1）解：列联表如下：
质检系统的应用情况 传统质检员数量 合计
减少 未减少
应用 70 50 120
未应用 30 50 80
合计 100 100 200
零假设：质检系统的应用与传统质检员数量减少无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为质检系统的应用与传统质检员数量减少有关，此推断犯错误的概率不大于；
（2）解：①、设“员工第轮达标”（），且相互独立，设“员工培训通过”，
则
，
设48名质检员中培训通过的人数为，该部门为员工培训需准备的奖金金额为，
由题意得，，所以，
，
所以该部门为员工培训需准备的奖金金额的数学期望为17000；
②、设为能操作质检系统，为薪资涨幅超15%，
，，，，
，
，
则该员工能操作质检系统的概率为.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）完善列出列联表，再进行零假设，计算的值，与临界值比较大小判断即可；
（2）①、根据独立事件的概率计算公式得到员工培训通过的概率，利用二项分布的期望公式以及期望的性质进行计算即可；
②、利用全概率公式和条件概率公式计算即可.
（1）依题意，列联表如下：
质检系统的应用情况 传统质检员数量 合计
减少 未减少
应用 70 50 120
未应用 30 50 80
合计 100 100 200
零假设：质检系统的应用与传统质检员数量减少无关，
由列联表中数据得，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为质检系统的应用与传统质检员数量减少有关，此推断犯错误的概率不大于.
（2）①设“员工第轮达标”（），且相互独立，
设“员工培训通过”，
则
，
设48名质检员中培训通过的人数为，该部门为员工培训需准备的奖金金额为，
由题意得，，所以，
，
所以该部门为员工培训需准备的奖金金额的数学期望为17000.
②设为能操作质检系统，为薪资涨幅超15%，
，，，，
，
，
所以该员工能操作质检系统的概率为.
17．【答案】（1）解：在梯形中，过点作，垂足为，如图所示：
在中，，，
则，，
因为，，所以，，
梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，即平面平面，
又因为平面平面，平面，，
所以平面， 则，
以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，， ，，，，
因为，所以，所以，解得，
所以，，则；
（2） 解：易知，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，即，
因为平面，所以，则，即，解得，
即，，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为 .
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；用空间向量研究直线与平面所成的角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）在梯形中，过点作，垂足为，即可求出、，由面面垂直的性质得到平面，建立空间向量直角坐标系，设，由得到，即可求出，证明即可；
（2）求出平面的法向量，则，即可求出，再由空间向量法计算即可.
（1）在梯形中，过点作，垂足为，如图所示：
在中，，，
所以，，
又，，所以，，
梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，即平面平面，
又平面平面，平面，，
所以平面， 又，
以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，， ，.
所以，，
因为，所以，
所以，解得或(舍去).
此时，，
所以.
（2）设平面的法向量为，由，，
则，
取，则，，即，
因为平面，所以，则，
即，解得.
此时，，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为 .
18．【答案】（1）解：令，
即当时，恒成立，
，
若，即，此时恒成立，
函数在上单调递减，，则，解得，
当，即时，，
，
函数在单调递增，在上单调递减，
故，即，该方程组无解，
综上所述，所求为；
（2）解：①、当时，函数定义域为，
，因为函数的值域是，
所以函数的值域是，函数的值域是，
函数的值域是，
而与的交集是，
所以当的某一条切线斜率时，与该切线垂直的直线的斜率也满足，
不妨取，则，
解得，，
故曲线的两条相互垂直的切线方程可以为，即；
②、当时，，（因为）
现在利用数学归纳法证明，设当时，命题成立，
即，
现在来证明两个不等式：
第一个不等式为：.
证明过程如下：设，求导得，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，从而不等式成立，
第二个不等式为：，令，
求导得，
所以在上单调递增，所以，
从而不等式成立，
现在来证明，显然，
现在设时，，
则，
所以，从而，
所以由不等式可知，，
另一方面，
想要证明，只需证明，
而由假设有，
所以，
所以只需证明，即只需证明，
即只需证明，而，故前者恒成立，
综上所述，命题得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法和综合法；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）原题转化为时，恒成立，求导后对分类讨论求解即可；
（2）①求函数与函数的值域的交集，在该交集中随便取一个数，那么它的负倒数必定在该交集里面，从而可以确定一对互相垂直的切线；②利用数学归纳法、分析法证明即可.
（1）设，
从而原题条件等价于恒成立，
求导得，
若，即，此时恒成立，
所以在上单调递减，，
所以，解得，
当，即时，，
，
此时在单调递增，在上单调递减，
故，
所以，该方程组无解，
综上所述，所求为；
（2）①当时，，
求导得，因为函数的值域是，
所以函数的值域是，
所以函数的值域是，
所以函数的值域是，
而与的交集是，
所以当的某一条切线斜率时，与该切线垂直的直线的斜率也满足，
不妨取，则，
解得，，
故曲线的两条相互垂直的切线方程可以为，即；
②当时，，（因为）
现在利用数学归纳法证明，设当时，命题成立，
即，
现在来证明两个不等式：
第一个不等式为：.
证明过程如下：设，求导得，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，从而不等式成立，
第二个不等式为：，令，
求导得，
所以在上单调递增，所以，
从而不等式成立，
现在来证明，显然，
现在设时，，
则，
所以，从而，
所以由不等式可知，，
另一方面，
想要证明，只需证明，
而由假设有，
所以，
所以只需证明，即只需证明，
即只需证明，而，故前者恒成立，
综上所述，命题得证.
19．【答案】（1）解：设抛物线方程为，因为抛物线过点，所以，解得，
则抛物线的标准方程为；
（2）解：设，，，
则重心坐标公式可知，，，
得，，
且，，，
所以，且，
所以，得且，
综上可知，的取值范围是；
（3）解：直线的斜率，直线的方程为，
设，，，
两边求导，，得，
设，，
抛物线在点处的切线方程为，即，
因为切线过点，即，整理得，
同理，抛物线在点处的切线方程为，
所以是方程的两个根，则，，
切线，令，得，得，同理，
直线的方程为，即，
同理，直线的方程为，
设直线与直线的交点为，
联立直线与直线的方程为，
，得，
且，代入上式化简为，①
代回直线得，，
得
，
即，②
由①②可得，
所以直线与直线的交点在定直线上上.
【知识点】基本不等式；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设抛物线方程为，代入点的坐标，求解抛物线方程即可；
（2）首先设点，，，再根据点在抛物线上以及重心坐标公式，转化为，结合基本不等式求解即可；
（3）首先利用导数求切线和的斜率，并表示切点坐标的关系，以及利用坐标表示直线和直线的方程，并联立求交点的坐标，即可证明.
（1）设抛物线方程为，代入点，得，得，
所以抛物线的标准方程为；
（2）设，，，
则重心坐标公式可知，，，
得，，
且，，，
所以，且，
所以，得且，
综上可知，的取值范围是；
（3）直线的斜率，直线的方程为，
设，，，
两边求导，，得，
设，，
抛物线在点处的切线方程为，即，
因为切线过点，即，
整理得，
同理，抛物线在点处的切线方程为，
所以是方程的两个根，则，，
切线，令，得，得，同理，
直线的方程为，即，
同理，直线的方程为，
设直线与直线的交点为，
联立直线与直线的方程为，
，得，
且，代入上式化简为，①
代回直线得，，
得
即，②
由①②可得，
所以直线与直线的交点在定直线上上.
1 / 1湖南省岳阳市湘阴县第二中学2025届高三第三次模拟考试数学试题
1．（2025·湘阴模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得或，即集合或，
则，因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】解不等式求得集合B，再根据集合的补集、交集运算求解即可.
2．（2025·湘阴模拟）若复数满足，则在复平面内，对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：设复数，
由，可得，
即，
则，解得，
故，在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】设复数，根据复数代数形式的乘法运算结合复数相等求得求，再根据共轭复数求得，最后由复数在复平面的表示判断即可.
3．（2025·湘阴模拟）已知为正项等比数列的前项和，，，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，且，
由，可得，则，即，
若，则，不合题意，故，
，解得，则.
故答案为：C.
【分析】设等比数列的公比为，且，由等比数列的性质可得，即，再根据等比数列求和公式，得到关于的一元二次方程，解出公比，即可得的值.
4．（2025·湘阴模拟）已知，，则（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，可得，
即，即，
两边平方得：，，，
因为，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用余弦的二倍角公式化简得，再利用平方关系化简，再开方可得，据此求解即可.
5．（2025·湘阴模拟）已知函数图象上不同的两点，到直线的距离相等，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点；基本不等式
【解析】【解答】解：A、不妨设，如图所示：
根据不同的两点，到直线的距离相等，
因为到的距离不超过，点到的距离为，所以，
所以，故A错误；
B、根据不同的两点，到直线的距离相等，则，
即，则，，解得，故B正确；
C、且，又因为，得到，
则，故C错误；
D、因为，所以，所以，又因为，
所以，故D错误.
故答案为：B．
【分析】作出函数图象与直线的图象，不妨设，利用函数的单调性及图象，结合基本不等式来求解判断即可．
6．（2025·湘阴模拟）已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，可得，
因为，所以；
设，则，
设，则，
，即点C在直线上；
设，由，得，即点B直线上，
而的几何意义为直线上的点B到直线上的点C的距离，
则.
故答案为：D.
【分析】由，利用平面向量数量积的运算律求得，设，，求得点C在直线上，点B直线上，结合计算即可.
7．（2025·湘阴模拟）已知函数满足，，则（　　）
A．3 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解：由
可得，即，
令，则，即，
则函数是以4为周期的周期函数，即也是以4为周期的函数，
则，
令，可得，
结合，可得，则.
故答案为：B.
【分析】构造函数，确定的周期性，利用周期性求解即可.
8．（2025·湘阴模拟）已知，，，是球的球面上四点，，，，．记球的体积为，四面体的体积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设分别为的中点，连接，如图所示：
因为，，所以分别以为斜边的直角三角形，
即分别过作平面和平面的垂线，交点即为球心，
因为分别为的中点，所以，
又因为，，，，
所以，，
又因为平面平面，所以二面角即是，
因为，
所以
，
即，解得，
则，即直线与平面的夹角，
设点到平面的距离为，则，解得，
则，
在中，，
则为等边三角形，，
（为的外接圆半径），
因为，所以四边形有外接圆，且外接圆半径为，
则，四面体外接球半径，
，故.
故答案为：A.
【分析】设分别为的中点，连接，推出为二面角的平面角，再根据求得，即直线与平面的夹角，再求四面体的体积为， 球的体积为， 即可求.
9．（2025·湘阴模拟）设函数，则下列说法正确的是（　　）
A．的最大值为
B．在上单调递增
C．，在上存在极值点
D．的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数
【答案】A,C,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、函数，
当，函数取得最大值，最大值为，故A正确；
B、当时，，
因为在上不单调，所以在上不单调，故B错误；
C、函数的最小正周期，因为区间的长度为，
所以，在上存在极值点，故C正确；
D、将的图象向右平移个单位长度后得到，为偶函数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用两角和的余弦公式化简求得函数，结合余弦函数的性质逐项判断即可.
10．（2025·湘阴模拟）已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线右支上一点，的最小值为1，且当轴时，，则（　　）
A．双曲线的焦距为4
B．双曲线的一条渐近线被圆：截得的弦长为2
C．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则
D．为圆：上一点，的最大值为3
【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、因为的最小值为1，所以，
当轴时，此时点的横坐标为，代入双曲线方程可得，
由双曲线中的平方关系，联立解得，
则双曲线的焦距为，故A正确；
B、焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，
圆：的圆心为，半径为，且经过原点，
则圆和两条渐近线关于轴对称，二者所截的弦长相等，取其中一条渐近线，
则圆心到渐近线的距离为，
由垂径定理可知所截的弦长为，故B正确；
C、由对称性，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，
则垂线方程为，与联立可解得垂足，
则，故C错误；
D、圆：的圆心为，半径为1，
由双曲线的定义可知，
则，当且仅当在线段的延长线上取等，
即的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题干条件可得，，再结合双曲线中的平方关系，联立可解得，则双曲线的焦距为，即可判断A；由A可得双曲线的方程，进而得到渐近线方程，利用点到直线的距离公式和垂径定理可算得弦长，即可判断B；由对称性取任意一条渐近线，先求出垂线方程，与渐近线方程联立求得垂足坐标，再利用两点间的距离公式即可判断C；由双曲线的定义可知，再由三角形两边之和大于第三边可得即可判断D.
11．（2025·湘阴模拟）已知有穷数列的通项公式为，其项数不少于4项，从中选取项组成数列，数列满足，，则（　　）
A．数列是单调数列 B．当时，
C．当时， D．数列的个数为
【答案】B,C,D
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】解：A、因为数列满足，即必须在和之间，
无法满足单调性，故A错误；
B、当时，各项大小关系为：
；
或者
从而或，
故，故B正确；
C、当时，同B的分析可得：
或：
，
而各项均为正整数，故，故C正确；
D、从项中选项有种方式，由BC的分析可得：
当时，各项的排列次序唯一确定，且为所有项中的最大项，
为所有项中的最小项，为余下项的最大项，为余下项中的最小值，
类似确定；
当时，同理可得各项的排列次序唯一确定；
故数列的个数为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件以及数列的性质对选项逐项判断即可.
12．（2025·湘阴模拟）的展开式中的系数为　 　．
【答案】80
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，
令，解得，则的系数为；
中含，则的展开式应取常数项，即，
则的展开式中的系数为：.
故答案为：80.
【分析】写出展开式的通项，分第一个因式取1和两种情况进行讨论，可求展开式中的系数即可.
13．（2025·湘阴模拟）已知是椭圆的一个焦点，分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，若以为直径的圆经过的中点，则椭圆的离心率为　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知，的中点为，且，
以为直径的圆为，
由的中点在以为直径的圆上，可得，
整理得，
因为，所以，即，
等式两边同除以，可得，解得，
又因为，所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
【分析】易知，的中点为，且，求得以为直径的圆为，把的中点代入圆的方程，整理得到，结合，得到，求解即可得椭圆的离心率.
14．（2025·湘阴模拟）已知函数有零点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
设是在上的零点，则，即，
即点在直线上，
可理解为点到原点的距离的平方，
则原点到直线的距离一定小于等于点到原点的距离，
即在上能成立，
即在上能成立，
令，则，
令，因为，所以，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
故当时，，即的最小值为.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，问题转化为原点到直线的距离，一定小于等于点到原点的距离问题，再通过构造函数，借助导数，求出在上的最小值，求的最小值即可.
15．（2025·湘阴模拟）在中，角的对边分别为，．
（1）求；
（2）若的面积为，，求的周长．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
因为，所以，
又因为，，所以，则；
（2）解：若的面积为，则，解得，
由余弦定理可得，
，代入解得，则，
故的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简求得，再由同角的三角函数求值即可；
（2）根据三角形面积公式求得，再利用余弦定理，结合题意求得，，即可得三角形的周长.
（1）由和正弦定理，，
因，代入化简得：，
因，则，故，
因，故.
（2）因的面积为，解得，
由余弦定理，，
因，代入解得，则，
故的周长为.
16．（2025·湘阴模拟）在制造业智能化的趋势下，某企业委托机构随机调查了200名传统质检员，以评估质检系统对传统质检员数量的影响，部分数据如下表所示：
质检系统的应用情况 传统质检员数量 合计
减少 未减少
应用 70 应用
未应用 50 未应用
合计 100 合计
（1）根据以上数据及小概率值的独立性检验，能否认为质检系统的应用与传统质检员数量减少有关？
（2）该企业引入质检系统后，将对质检员开展三轮专项培训，已知每轮达到“熟练操作质检系统”水平（视为达标）的概率分别为，，，各轮结果相互独立，且规定两轮及以上达标者，方可操作该系统．
①某部门有48名质检员，规定培训通过（两轮及以上达标）者可获得500元奖金，求该部门为员工培训需准备的奖金总额的数学期望．
②调研发现，能操作质检系统的质检员中，70%的人薪资涨幅超过15%；不能操作质检系统的质检员中，30%的人薪资涨幅超过15%．若在质检员培训后，从中随机选取一人，其薪资涨幅超过15%，求该员工能操作质检系统的概率．
附：，．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：列联表如下：
质检系统的应用情况 传统质检员数量 合计
减少 未减少
应用 70 50 120
未应用 30 50 80
合计 100 100 200
零假设：质检系统的应用与传统质检员数量减少无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为质检系统的应用与传统质检员数量减少有关，此推断犯错误的概率不大于；
（2）解：①、设“员工第轮达标”（），且相互独立，设“员工培训通过”，
则
，
设48名质检员中培训通过的人数为，该部门为员工培训需准备的奖金金额为，
由题意得，，所以，
，
所以该部门为员工培训需准备的奖金金额的数学期望为17000；
②、设为能操作质检系统，为薪资涨幅超15%，
，，，，
，
，
则该员工能操作质检系统的概率为.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）完善列出列联表，再进行零假设，计算的值，与临界值比较大小判断即可；
（2）①、根据独立事件的概率计算公式得到员工培训通过的概率，利用二项分布的期望公式以及期望的性质进行计算即可；
②、利用全概率公式和条件概率公式计算即可.
（1）依题意，列联表如下：
质检系统的应用情况 传统质检员数量 合计
减少 未减少
应用 70 50 120
未应用 30 50 80
合计 100 100 200
零假设：质检系统的应用与传统质检员数量减少无关，
由列联表中数据得，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为质检系统的应用与传统质检员数量减少有关，此推断犯错误的概率不大于.
（2）①设“员工第轮达标”（），且相互独立，
设“员工培训通过”，
则
，
设48名质检员中培训通过的人数为，该部门为员工培训需准备的奖金金额为，
由题意得，，所以，
，
所以该部门为员工培训需准备的奖金金额的数学期望为17000.
②设为能操作质检系统，为薪资涨幅超15%，
，，，，
，
，
所以该员工能操作质检系统的概率为.
17．（2025·湘阴模拟）如图，在梯形中，，，，，，分别为线段，上异于端点的一点，，将梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，得到多面体．
（1）若，证明：．
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）解：在梯形中，过点作，垂足为，如图所示：
在中，，，
则，，
因为，，所以，，
梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，即平面平面，
又因为平面平面，平面，，
所以平面， 则，
以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，， ，，，，
因为，所以，所以，解得，
所以，，则；
（2） 解：易知，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，即，
因为平面，所以，则，即，解得，
即，，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为 .
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；用空间向量研究直线与平面所成的角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）在梯形中，过点作，垂足为，即可求出、，由面面垂直的性质得到平面，建立空间向量直角坐标系，设，由得到，即可求出，证明即可；
（2）求出平面的法向量，则，即可求出，再由空间向量法计算即可.
（1）在梯形中，过点作，垂足为，如图所示：
在中，，，
所以，，
又，，所以，，
梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，即平面平面，
又平面平面，平面，，
所以平面， 又，
以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，， ，.
所以，，
因为，所以，
所以，解得或(舍去).
此时，，
所以.
（2）设平面的法向量为，由，，
则，
取，则，，即，
因为平面，所以，则，
即，解得.
此时，，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为 .
18．（2025·湘阴模拟）已知函数（）．
（1）设，当时，，求的取值范围．
（2）当时，
①写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由；
②设，数列满足，，证明：．
【答案】（1）解：令，
即当时，恒成立，
，
若，即，此时恒成立，
函数在上单调递减，，则，解得，
当，即时，，
，
函数在单调递增，在上单调递减，
故，即，该方程组无解，
综上所述，所求为；
（2）解：①、当时，函数定义域为，
，因为函数的值域是，
所以函数的值域是，函数的值域是，
函数的值域是，
而与的交集是，
所以当的某一条切线斜率时，与该切线垂直的直线的斜率也满足，
不妨取，则，
解得，，
故曲线的两条相互垂直的切线方程可以为，即；
②、当时，，（因为）
现在利用数学归纳法证明，设当时，命题成立，
即，
现在来证明两个不等式：
第一个不等式为：.
证明过程如下：设，求导得，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，从而不等式成立，
第二个不等式为：，令，
求导得，
所以在上单调递增，所以，
从而不等式成立，
现在来证明，显然，
现在设时，，
则，
所以，从而，
所以由不等式可知，，
另一方面，
想要证明，只需证明，
而由假设有，
所以，
所以只需证明，即只需证明，
即只需证明，而，故前者恒成立，
综上所述，命题得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法和综合法；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）原题转化为时，恒成立，求导后对分类讨论求解即可；
（2）①求函数与函数的值域的交集，在该交集中随便取一个数，那么它的负倒数必定在该交集里面，从而可以确定一对互相垂直的切线；②利用数学归纳法、分析法证明即可.
（1）设，
从而原题条件等价于恒成立，
求导得，
若，即，此时恒成立，
所以在上单调递减，，
所以，解得，
当，即时，，
，
此时在单调递增，在上单调递减，
故，
所以，该方程组无解，
综上所述，所求为；
（2）①当时，，
求导得，因为函数的值域是，
所以函数的值域是，
所以函数的值域是，
所以函数的值域是，
而与的交集是，
所以当的某一条切线斜率时，与该切线垂直的直线的斜率也满足，
不妨取，则，
解得，，
故曲线的两条相互垂直的切线方程可以为，即；
②当时，，（因为）
现在利用数学归纳法证明，设当时，命题成立，
即，
现在来证明两个不等式：
第一个不等式为：.
证明过程如下：设，求导得，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，从而不等式成立，
第二个不等式为：，令，
求导得，
所以在上单调递增，所以，
从而不等式成立，
现在来证明，显然，
现在设时，，
则，
所以，从而，
所以由不等式可知，，
另一方面，
想要证明，只需证明，
而由假设有，
所以，
所以只需证明，即只需证明，
即只需证明，而，故前者恒成立，
综上所述，命题得证.
19．（2025·湘阴模拟）已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围；
（3）已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
【答案】（1）解：设抛物线方程为，因为抛物线过点，所以，解得，
则抛物线的标准方程为；
（2）解：设，，，
则重心坐标公式可知，，，
得，，
且，，，
所以，且，
所以，得且，
综上可知，的取值范围是；
（3）解：直线的斜率，直线的方程为，
设，，，
两边求导，，得，
设，，
抛物线在点处的切线方程为，即，
因为切线过点，即，整理得，
同理，抛物线在点处的切线方程为，
所以是方程的两个根，则，，
切线，令，得，得，同理，
直线的方程为，即，
同理，直线的方程为，
设直线与直线的交点为，
联立直线与直线的方程为，
，得，
且，代入上式化简为，①
代回直线得，，
得
，
即，②
由①②可得，
所以直线与直线的交点在定直线上上.
【知识点】基本不等式；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设抛物线方程为，代入点的坐标，求解抛物线方程即可；
（2）首先设点，，，再根据点在抛物线上以及重心坐标公式，转化为，结合基本不等式求解即可；
（3）首先利用导数求切线和的斜率，并表示切点坐标的关系，以及利用坐标表示直线和直线的方程，并联立求交点的坐标，即可证明.
（1）设抛物线方程为，代入点，得，得，
所以抛物线的标准方程为；
（2）设，，，
则重心坐标公式可知，，，
得，，
且，，，
所以，且，
所以，得且，
综上可知，的取值范围是；
（3）直线的斜率，直线的方程为，
设，，，
两边求导，，得，
设，，
抛物线在点处的切线方程为，即，
因为切线过点，即，
整理得，
同理，抛物线在点处的切线方程为，
所以是方程的两个根，则，，
切线，令，得，得，同理，
直线的方程为，即，
同理，直线的方程为，
设直线与直线的交点为，
联立直线与直线的方程为，
，得，
且，代入上式化简为，①
代回直线得，，
得
即，②
由①②可得，
所以直线与直线的交点在定直线上上.
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