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15.1.1 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1.理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定.（重点）
2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题.（难点)
3.掌握逆命题及逆定理的概念，会判定命题的逆命题及逆命题是否成立.
轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的重直平分线的性质.
我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反应了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离有什么关系？
如图,直线l垂直平分线段AB,点P1,P2,P3,…在l上,分别比较点P1,P2,P3,…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
通过测量发现：
＝
＝
＝
A
B
l
P1
P2
P3
我把线段AB沿着直线l对折，发现线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.
思考 由此你能得到什么结论？
思考 你能证明这个性质吗？
归纳 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
符号表示：如图, 直线l⊥AB,垂足为C，
AC=BC，点P在l上，则有PA=PB.
A
B
l
C
P
如图,直线l⊥AB,垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证：PA=PB.
A
B
l
C
P
当点P与点C不重合时，∵ l⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB.
又AC=BC，PC=PC，
∴△PAC≌△PBC（SAS）.
∴PA=PB.
证明：当点P与点C重合时，显然成立.
A
B
P
如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.
A
B
P
l
O
∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
∵l⊥AB，∴∠POA=∠POB=90°.
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA=PB，
PO=PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）.
∴AO=BO.
A
B
l
O
P
归纳 线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
符号表示：如图，已知线段AB，
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.
例1 如图，直线AE是线段BC的垂直平分线，垂足为E，D为AE上一点，求证：∠ABD=∠ACD.
E
B
C
D
A
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，
BD=CD，
AD=AD，
证明：∵AE是线段BC的垂直平分线，D为AE上一点，∴AB=AC，BD=DC.
∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠ABD=∠ACD.
思考 分析前面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
这两个命题的题设和结论正好相反.
归纳 前面的两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题.
例2 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立？
（1）对顶角相等；
（2）两直线平行，内错角相等.
解：（1）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.不成立.
（2）内错角相等，两直线平行.成立.
1.如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB，AC，BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A，B，C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在(　　)
A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高所在直线的交点
A
2.下列命题的逆命题是成立的是的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．全等三角形的对应边相等
D．对顶角相等
D
3.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是________．
13
解析：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∴AC＝AD＋CD＝AD＋BD.
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝5＋8＝13.
4.如图，C是△ABE的边BE上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE.其中正确的结论有(　　)
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
B
解析：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
又∵AB＝AC，∴直线AD是BC的垂直平分线．故①正确．
∵AB＝CE，∴AB＋BD＝CE＋CD＝DE.
故④正确．②③不能得出．故选B.
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接BE.求证：BE垂直平分CD.
证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°.
∵BD＝BC，BE＝BE，
∴Rt△BED≌Rt△BEC，点B在CD的垂直平分线上，
∴DE＝CE，∴点E在CD的垂直平分线上，
∴BE垂直平分CD.
性质
线段的垂直平分线的性质与判定
判定
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
逆命题与逆定理

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