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15.1.2 线段的垂直平分线
第2课时 线段的垂直平分线的作法与应用
1. 会用尺规作图作线段的作垂直平分线；（重点）
2. 能作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图.（难点）
3.会用尺规作图经过一已知点作已知直线的垂线.(重点)
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
符号表示：如图, 直线l⊥AB,垂足为C，
AC=BC，点P在l上，则有PA=PB.
A
B
l
C
P
A
B
l
O
P
线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
符号表示：如图，已知线段AB，
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
思考：如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？
A
B
如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线，由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两点.根据与A,B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点.
A
B
C
D
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD.
CD就是线段AB的垂直平分线.
作法：
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此，我们只要找到一对应点，作出连接它们的线段的垂直平分可以得到这两个图形的对称轴.
A
B
C
A′
C′
B′
1.有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢 不折叠图形能准确地作出轴对称图形的对称轴吗
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
C
A
B
(2)作直线CD.
作法: (1) 连接AB,分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧(想一想为什么)，两弧相交于点C，D两点.
D
直线CD就是所求作的垂线.
这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图.我们也可以用这种方法确定线段的中点.
对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
图中的五角星,我们可以找出它的一对对应点A和A′,连接AA′,作出线段AA′的垂直平分线,则就是这个五角星的条对称轴.
A
A′
2.对于轴对称图形，我们作出它们的对称轴？
如图中的五角星，你能作出它的称轴吗？
例1 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.
解：延长BC，B′C′交于点P，延长AC，A′C′交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
l
P
Q
(1)作对称轴的依据:如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
(2)作对称轴的步骤:
①找:找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
②连:连接这对对应点；
③作:作出对应点所连线段的垂直平分线这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．
例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB和AB外一点C(如图).求作：AB的垂线，使它经过点C.
A
B
C
.
分析：假设所求作直线已经作出，则它不仅过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线.我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在直线AB上确定这两点.根据前面关于线段垂直平分线的定理，这两点只需满足与点C的距离相等即可.
A
B
C
D
E
作法：（1）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点D和E；
F
A
B
C
D
E
（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F;
（3）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
1.如图，电信部门要在公路l旁修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在(　　)
A．A处 B．B处
C．C处 D．D处
C
2．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是(　　)
B 　
3.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线MN交AB于点D，连接CD.若∠A＝∠ADC=50°，则∠ACB的度数为________．
105°
4.如题图，△ABC与△DFE关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在题图①与②中分别作出直线 l.
解：如答图①，过BC，EF的交点和点A作直线，该直线就是所求作的直线l.如答图②，过BC，FE的延长线的交点和AC，DE的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线l.
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，请你用直尺和圆规作边AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E.(要求：保留作图痕迹，不写作法)
解：如题图所示，直线DE即为所求．
尺规作图—作线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的作法与应用
尺规作图—作对称轴
过已知点作已知直线的垂线

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