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15.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
15.3等腰三角形
1.理解等腰三角形的概念.
2.探索并证明等腰三角形的性质定理，并用以解决实际问题.（重难点）
定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图，△ABC为等腰三角形，其中AB=AC，则AB，AC为腰，BC为底边，两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角.
A
B
C
D
如图，在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角.
重合的线段：
重合的角：
A
B
C
D
猜想:等腰三角形的两个底角相等.
思考：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
AB与AC，BD与CD；
∠BAD与∠CAD，∠B与∠C，∠ADB与∠ADC.
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，
BD=CD，
AD=AD，
A
B
C
D
已知：△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C.
还有其他的证法吗？
证明：作底边BC的中线AD．
∴△ABD ≌△ACD(SSS)．
∴∠B=∠C．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ,
∠BAD=∠CAD ,
AD=AD ,
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C .
在△BAD和△CAD中
注意 应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中.
归纳 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
几何语言：如图，在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
又∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC= 90°，
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
归纳 等腰三角形的性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）.
几何语言：如图，在△ABC中，
①∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD.
②∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC ，BD=CD.
③∵AB=AC，BD=CD，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.
（1）“三线合一”的性质应用非常广泛，可以用来证明角相等、线段相等或线段垂直.
（2）等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.
例 如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
解：∵AB=AC,BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD（等边对等角）.
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36°
所以在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
1.已知等腰三角形的底角为顶角的2倍，则这个等腰三角形的顶角的度数为___________.
36°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ）
A.40° B.36° C.80° D.25°
B
3.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于（　　）
A.10 B.5 C.4 D.3
B
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠BAC=100°,求∠B和∠1的度数.
解：∵AB＝AC,D是BC边上的中点，
∴∠B＝∠C,AD⊥BC.
∴∠B＝(180°－∠BAC)
＝(180°－100°)
＝40°,
∠1＝90°－∠B＝90°－40°＝50°.
解：∵∠BAD=26°，AB=AD，
∴∠B=∠ADB= ×(180°-26°)=77°.
∵AD=CD，
∴∠C=∠DAC.
∵∠ADB=77°，∠ADB=∠C+∠DAC，
∴∠C= ∠ADB=38.5°.
5.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
“等边对等角”
等腰三角形的性质
“三线合一”
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合

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