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15.3.1等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
1.理解等腰三角形的判定，体会等腰三角形“等边对等角”和“等角对等边”的区别.（重点）
2.探索并掌握等腰三角形的判定的过程，并用以解决实际问题.（难点）
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
等腰三角形的性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）.
我们知道，如果有一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等.
思考 你能证明这个结论吗？
∵在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.
A
C
B
D
证明：如图，作∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD.
∴△ABD≌△ACD（AAS）.
∴ AB=AC.
注意 应用“等角对等边”的前提条件是在同一个三角形中.
归纳 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形，（简写成“等角对等边”）.
几何语言：如图，在△ABC中，
∵∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形，即AB=AC.
“等边对等角”与“等角对等边”的区别：
等腰三角形的性质：
两边相等 这两边所对的角相等
等腰三角形的判定：
两角相等 这两角所对的边相等
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
分析：命题的证明首先需要将命题转化为已知、求证的格式，再要根据题意画出图形，最后证明结论的成立.
已知：∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD//BC
求证：AB=AC.
∵AD平分∠CAE，
∴∠1=∠2.
分析：要证明AB=AC，可先证明∠B= ∠C.因为∠1=∠2.所以可以设法找出∠B,∠C，与∠1，∠2的关系.
已知：∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD//BC.
求证：AB=AC.
证明：∵AD//BC，
∴∠1=∠B,∠2=∠C.
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.
则△ABC就是所求作的等腰三角形.
例2 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
a
h
A
B
C
D
M
N
作法：（1）作线段AB=a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
（3）在MN上取一点C，使得DC=h.
（4）连接AC，BC.
解：∵在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=72°.
∵∠DBC=36°，
∴∠2=∠ABC-∠DBC=36°.
∵∠1=∠A+∠2=72°，
∴AD=BD=BC，AB=AC.
如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1,∠2的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.
图中的等腰三角形有△ABC，△ABD，△BCD.
1.下列条件中，不能判定△ABC为等腰三角形的是(　　)
A．a＝3，b＝3，c＝4　　　　　　
B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80°
D．∠A：∠B ：∠C＝1：1：2
B
2.如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中等腰三角形的个数是(　　)
A．3　　　 　 　B．4　　　 　 　
C．5　　　 　 　D．6
C
3.在△ABC中，∠B＝30°，∠A＝120°，AB＝6，则AC的长为________．
4.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，则∠F的度数为( 　)
A．30° B．35° C．55° D．60°
6
D
5.如图，AB＝AC，点E在AB上，DE⊥BC于点D，交CA的延长线于点F.求证：△AEF是等腰三角形．
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵DE⊥BC，
∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BED＝90°.
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠B＋∠AEF＝90°.
∴∠F＝∠AEF，
∴AE＝AF.
∴△AEF是等腰三角形．
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形
用尺规作等腰三角形

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