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15.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
1.理解等边三角形的定义、性质以及等边三角形的判定方法.（重点）
2.探索并掌握等边三角形性质、判定方法的证明过程，并用以解决几何推理问题.（难点）
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
可以设计出两种形状的三角形，如图所示.
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
两条边相等
三条边相等
等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质.
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到等边三角形的什么性质？
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等.
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
A
B
C
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
如图，△ABC为等边三角形.证明：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：∵AB=BC=CA，
∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）.
归纳 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
几何语言：如图，在△ABC中，
∵AB=BC=AC，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
A
B
C
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线也相互重合.
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线.
A
B
C
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.
思考1：等腰三角形如何判定？
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
那么三角形的三个内角都相等是否可以判定它是等边三角形？如果能，你能给出证明过程吗？
证明：∵∠A=∠B，∴BC=AC.
∵∠B=∠C， ∴AC=AB.
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形.
归纳 判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
几何语言：如图，在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形.
思考2：等腰三角形有两边相等，能否添加什么条件使等腰三角形成为等边三角形呢？
结论：1.等腰三角形的腰和底边相等；
2.有一个角是60°的等腰三角形；
结论1其实就是三边相等的三角形，也即是等边三角形.你能证明结论2吗？
如图：已知在△ABC中，AB=AC，∠A=60°.
证明：△ABC是等边三角形.
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∴△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC，∴∠C=∠B .
∵∠A=60°∴∠B+∠C=180°-∠A=120°.
∴△ABC是等边三角形.
如图：已知在△ABC中，AB=AC，∠B=60°.
证明：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC，∠B=60°， ∴∠C=∠B=60° .
∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°， ∴∠A=∠B=∠C.
这个角可以是顶角也可以是底角
归纳 判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
例1 如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.
∴△ADE是等边三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C.
∵DE//BC,∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴∠A=∠ADE=∠AED.
1.如图，等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE交于点O，则∠BOC的度数为(　　)
A.60° B.90°
C.120° D.150°
C
2.下列四个说法中，正确的是（ ）
①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
D
3.如图，等边三角形ABC的边长如图所示，那么y＝________．
3
解析：因为△ABC是等边三角形，所以AB＝BC＝AC，
即2x＋3＝6－x＝2y－1，解方程2x＋3＝6－x，可得x＝1.
所以6－x＝5.所以2y－1＝5，解得y＝3.
4.如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，连接BD，过点D作DF⊥BC，垂足为F，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD.
求证：BF＝EF.
证明：∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE.
∵在等边三角形ABC中，D是AC的中点，
∴∠DCB＝60°，BD⊥AC.
∴∠DBC＝90°－60°＝30°.
∵∠BCD＝∠E＋∠CDE，∴∠E＝×60°＝30°.
∴∠DBC＝∠E.∴BD＝ED.
∵DF⊥BC，
∴BF＝EF.
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵D为AC的中点，∴AD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°.
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．
∴∠A＝∠C，∴BA＝BC.
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形．
定义
等边三角形
三边都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°
性质
判定
1.三个角都相等的三角形是等边三角形;
2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

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