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广东省深圳市龙岗区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
1．（2025七下·龙岗期末）2024年12月4日，我国的传统节日“春节”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》。在春节期间贴窗花已经是一种历史悠久的习俗。下面几幅漂亮的窗花剪纸图案中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、沿任意一条直线对折，图形两部分无法完全重合，不是轴对称图形，A错误；
B、沿竖直或水平的中间直线对折，图形两部分能完全重合，是轴对称图形 ，B正确；
C、沿任意一条直线对折，图形两部分无法完全重合，不是轴对称图形，C错误；
D、沿任意一条直线对折，图形两部分无法完全重合，不是轴对称图形 ，D错误.
故答案为：B .
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，依次分析选项即可.
2．（2025七下·龙岗期末）某科技公司研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达0.00000009米，用科学记数法表示0.00000009=9×10n，则n为（　　）
A．-9 B．9 C．-8 D．8
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：科学记数法表示较小数的形式为（， 为负整数 ）， 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数，对于，左起第一个非零数是，它前面有个，所以，则.
故答案为：C.
【分析】针对用科学记数法表示小于的正数，牢记形式（， 为负整数 ），通过数原数中左起第一个非零数字前的个数，确定 的值（ 零的个数 ）.
3．（2025七下·龙岗期末）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB丄CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是（　　）
A．点到直线，垂线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
【答案】A
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：已知要把河中的水引到水池A中，AB⊥CD，此时AB是点A到直线CD的垂线段，根据 “点到直线，垂线段最短” 的原理，所以在B处挖渠能使水渠长度最短.
故答案为：A.
【分析】 本题考查的是点到直线的距离相关知识，识别题目中的几何元素（点A、直线CD 、垂线段AB ），对应 “点到直线的距离” 概念，回忆 “垂线段最短” 这一基本事实进行判断.
4．（2025七下·龙岗期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、根据合并同类项法则，同类项相加，字母和指数不变，系数相加，所以，A错误 ；
B、依据同底数幂乘法法则，则，B错误 ；
C、按照单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂相乘。，C正确 ；
D、根据幂的乘方法则，，D错误 .
故答案为：C.
【分析】对每个选项，匹配对应的整式运算法则（合并同类项、同底数幂乘法、单项式乘单项式、幂的乘方 ），计算后判断正误.
5．（2025七下·龙岗期末）将一副三角板按不同位置摆放，下列选项中，∠α与<β互余的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】余角
【解析】【解答】解：若两个角的和为，则这两个角互余。
A、三角板是一副（含、、和、、 ），图中（平角定义 ），所以，满足互余，A正确；
B、图中与是三角板中对应相等的角（如与 ），和不为，不互余，B错误；
C、图中（对顶角或三角板角度对应 ），和不为，不互余，C错误；
D、图中（平角或补角关系 ），是互补，不互余，D错误；
故答案为：A.
【分析】先明确“互余”的定义（和为 ），再结合三角板的角度（、、、 ），分析每个选项中与的和是否为 .
6．（2025七下·龙岗期末）数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”获得的数据如下表：
拋掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
盖口向上的频数 64 118 189 252 310 370 434 498 558 621
盖口向上的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.61 0.62 0.62 0.62 0.62
下列说法正确的是（　　）
A．根据实验结果，“盖口向上”和“盖口向下”具有等可能性
B．若再抛掷瓶盖100次，则一定有62次“盖口向上”
C．若抛掷瓶盖10次，结果“盖口向上”8次，则“盖口向上”的概率为0.8
D．若抛掷瓶盖2000次，则“盖口向上”的次数大约有1240次
【答案】D
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：A、实验中“盖口向上”的频率稳定在左右，“盖口向下”频率为，两者不相等，不具有等可能性，A错误；
B、频率稳定值是概率的估计，但再抛次是随机事件，不一定恰好次“盖口向上”，B错误；
C、抛次次数太少，频率不能作为概率，概率是大量重复实验的稳定值，C错误；
D、由实验知“盖口向上”概率约，抛次时，次数大约为次，D正确.
故答案为：D.
【分析】依据“大量重复实验时，频率稳定在某个常数附近，这个常数可作为概率的估计值”，对每个选项结合频率与概率的关系分析判断即可.
7．（2025七下·龙岗期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件能判定ABI//CD的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠D=∠5
C．∠3=∠4 D．∠1+∠3+∠B=180°
【答案】C
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定，不是，A错误；
B、，依据“内错角相等，两直线平行”，可判定，不是，B错误 ；
C、，因为与是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，能判定，C正确；
D、，即，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定，不是，D错误.
故答案为：C.
【分析】首先识别每个选项中角的位置关系（同位角、内错角、同旁内角 ），然后匹配对应的平行线判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行 ），便可判断哪一选项能够推出.
8．（2025七下·龙岗期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用。数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位h（cm）与时间t（min）的实验数据如下表：
数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ……
t（min） 0 2 4 6 8 ……
h（cm） 2 2.8 3.6 4.2 5.2 ……
下列说法错误的是（　　）
A．在实验开始时，漏刻水位是2cm
B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是4.4cm
C．第7次数据记录时，漏刻水位应为6.8cm
D．当漏刻水位为10cm时，对应实验的时间是10min
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、当时，，即实验开始时，漏刻水位是，A正确 ；
B、观察数据，从到（增加 ），从到（增加 ）；从到（增加 ），从到（增加 ）；从到（增加 ），若规律不变，应增加，即，但表中第次，所以第次数据错误，正确应为，B正确 ；
C、观察可知，次数与关系：第次， ，第次， ，从开始，每分钟增，到时，增加次数次，，C正确 ；
D、求与的关系：时，t=2时h=2.8，得出，当时，，解得，D错误 .
故答案为：D.
【分析】先观察数据找规律（时间与水位的变化关系 ），再依据规律验证每个选项：
A、直接看时的值；B、通过相邻数据的变化量（时间增，水位增 ）判断第次数据；
C、根据规律推算第次的和；D、建立与的关系式，代入求 即可.
9．（2025七下·龙岗期末）已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别3cm和5cm，则第三边的长度可能是　 　cm。（写出满足条件的一个答案即可）
【答案】3
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：已知三角形两条边为和，设第三边为，则：
，即 ，
因为边长为整数，所以可以取、、、、中任意一个，比如取 ，
故答案为：3或4或5或6或7.
【分析】利用“三角形三边关系：两边之差第三边两边之和”，先列出第三边的取值范围，再结合“边长为整数”的条件，确定满足要求的数值即可.
10．（2025七下·龙岗期末）如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当CB平分∠ACD时，点B到桌面CD的距离是12cm，则点B到AC的距离是　 　cm。
【答案】12
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：已知平分，点到的距离为，根据角平分线的性质，点到的距离等于点到的距离，所以点到的距离是.
故答案为：12.
【分析】识别出是的角平分线后，直接运用“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，将点到的距离转化为点到的距离求解即可.
11．（2025七下·龙岗期末）如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若∠1=130°，∠2=85°，则∠3的度数为　 　。
【答案】35°
【知识点】三角形外角的概念及性质；邻补角
【解析】【解答】解：因为，所以 ，在中，是外角（或用内角和 ），，已知，，则 .
故答案为：35°.
【分析】先利用邻补角互补求出与相关的内角；再依据三角形外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 ），通过已知的和求出的，计算 即可.
12．（2025七下·龙岗期末）如图，秋千OB垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至OA处，点A距离地面高度AD=0.7m，与OB的水平距离DE=1.2m。推动秋千从OA至OC处，此时恰好∠AOC=90°，点C距离OB的水平距离EF=2m，则点C距离地面的高度CF为　 　m。
【答案】1.5
【知识点】全等三角形的实际应用；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AM⊥OE于M，过点C作CN⊥OE于N，则四边形ADEM，四边形EFCN是矩形，
∴ME=AD=0.7m，CN=EF=2m，AM=DE=1.2m，CF=EN，
∵∠AOC=∠AMO=∠ONC=90°，所以∠AOM=∠OCN=90°-∠CON，
在△AOM和△OCN中，
△AOM≌△OCN(AAS)，
∴OM=CN=2m，AM=ON=1.2m，所以MN=OM-ON=0.8m，
∴CF=EN=MN+ME=1.5m.
故答案为：1.5.
【分析】通过作辅助线构造矩形和全等三角形，利用矩形及全等三角形的性质，将已知线段长度进行转化和运算，从而求出点C距离地面的高度即可.
13．（2025七下·龙岗期末）如图，正方形ABCD和正方形AEFG的面积和为15，D、A、E三点共线且DE=5，则图中阴影部分图形的面积为　 　。
【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用；全等三角形的实际应用；勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
因为正方形和正方形的面积和为，根据正方形面积公式，可得 ，
由于、、三点共线且，即，也就是 ，
对根据完全平方公式展开， 。
已知，所以；又因为，将其代入上式可得：
，
通过移项得：
，则 .
观察图形可知，阴影部分面积可转化为两个直角三角形面积之和（或通过图形拼接分析 ），实际阴影部分面积等于的倍，即 ，把代入，可得阴影部分面积 .
故答案为：10.
【分析】首先通过设正方形边长为未知数，将几何图形的边长和面积关系转化为代数等式， 然后利用完全平方公式，建立已知的边长和（ ）、面积和（ ）与未知的之间的联系，求出的值 ，最后结合图形特征，确定阴影部分面积与的数量关系，进而算出阴影部分面积.
14．（2025七下·龙岗期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=a6-a6+4a6
= 4a6
（2）解：原式=1-3+1
=-1
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；幂的乘方运算
【解析】【分析】 （1）通过幂的运算法则逐步化简后合并同类项.
（2）依据特殊幂的定义分别计算各项后进行加减，若指数为202（偶数 ），结果为-1，据此计算即可.
15．（2025七下·龙岗期末）先化简，再求值：，其中。
【答案】解：原式 =
当时，原式=
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】解题关键是熟练运用乘法公式展开整式，通过去括号、合并同类项化简式子，最后代入求值，体现了 “先化简再求值” 的解题思路，可简化计算过程，避免直接代入的繁琐运算，核心考查整式运算的基本技能与公式应用能力.
16．（2025七下·龙岗期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设制如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次。其中4张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券1张；②与好朋友同桌一天：③薯片一包；④牛奶1瓶”。抽完奖后系统自动更新出4张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱。
（1）小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是　 　：
（2）通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样。于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为。请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定。（备注：转盘中扇形的圆心角均相等）
【答案】（1）
（2）解：因为转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、、的最小公倍数，方便计算 )，
①的概率是，则①对应的份数：份 ；②的概率是，则②对应的份数：份；③的概率是；则③对应的份数：份；④的概率：，所以④对应的份数也是份（与③概率相同，份数相同 ）.分配扇形内容：按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占份，③占份，④占份，
如图：
【知识点】概率的意义；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）因为共有张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同，所以总情况数 ，又因为“①”是其中张刮刮卡，即抽中“①”的情况数，根据概率公式（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ），可得抽中“①”的概率.
故答案为：.
【分析】（1）先确定总情况数，再确定抽中“①”的情况数，最后直接套用概率公式计算概率即可.
（2）通过计算各奖项对应份数，按份数在转盘标记“①②③④”，实现概率设定，关键是掌握概率与份数的转化及基本计算.
17．（2025七下·龙岗期末）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校。以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图。根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）图象所表示的两个变量中，自变量是　 　；因变量是　 　：
（2）小亮家到学校的距离是　 　米；本次上学途中，小亮一共骑行了　 　米；
（3）点A的实际意义是什么
（4）如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？
【答案】（1）时间；离家距离
（2）1500；2700
（3）解：点A的实际意义是“骑行6分钟时，离家距离为1200米”。
（4）解：1200÷6=200（米/分钟)，
1500÷200＝（分钟)；
答：以往常的速度从家到学校需要分钟。
【知识点】通过函数图象获取信息；自变量、因变量
【解析】【解答】解：（1）自变量是在变化过程中主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量， 观察图象，横轴是时间，纵轴是离家距离，时间变化引起离家距离变化，所以自变量是时间，因变量是离家距离.
故答案为：时间；离家距离.
（2）亮家到学校的距离看图象终点纵轴值，为1500米，计算骑行总路程：先到A处：1200米；返回书店：1200 - 600 = 600米；从书店到学校：1500 - 600 = 900米，总路程=1200 + 600+900 = 2700米 .
故答案为：2700.
【分析】（1）识别自变量与因变量：依据“自变量主动变，因变量随变”的定义，结合图象横纵轴代表的量判断，核心是理解变量间的因果关系.
（2）终点纵轴值对应家到学校距离；总路程需分段（去A处、返回书店、去学校）累加，关键是拆分运动阶段，利用图象数据计算.
（3）图象上点的坐标(x，y)，对应x时间时，y距离，直接结合横纵轴含义表述.
（4）先由图象中“往常路段：家到A处，用“速度=路程÷时间”求速度，再用“时间=路程÷速度”算往常到学校时间，体现行程问题基本公式（路程、速度、时间关系）的应用，通过图象提取有效数据代入公式求解.
18．（2025七下·龙岗期末）【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考：
如图1，由尺规作图可知，OC=O'C'，OD=O'D'， ①
所以△OCD≌△O'C'D'（ ② ），（填全等判定依据，如SSS，ASA，AAS，SAS）
（1）完成上述小明思考过程中的填空；
（2）【操作应用】
如图2，已知线段a和∠α，请用尺规作一个△ABC，使BC=a，AC=2a，∠BCA=∠α；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，请利用尺规在CD边上作一点E，使得△ADE≌△ABE。（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
【答案】（1）解：①：CD=C'D'，②： SSS
（2）解：作∠BCA=∠α（用尺规作角等于已知角的方法：以已知角顶点为圆心画弧交两边，再在新作角顶点画等半径弧，平移截取等长弧长确定两边 ），截取（用圆规量取线段的长度，以为圆心画弧交点为 ），截取（同理，量取长度，以为圆心画弧交点为 ），连接，则即为所求（满足，， ），如图：
（3）解：如图
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）①由尺规作图（作一个角等于已知角 ）的步骤，以、为圆心，相同半径画弧，得到；
故答案为：.
②因为，，，三边对应相等，根据SSS（边边边 ）全等判定，可得.
故答案为：SSS.
【分析】（1）本题考查尺规作等角的原理，核心是利用SSS全等判定，通过尺规作图保证三边对应相等，从而构造全等三角形，依据“全等三角形对应角相等”得到所作角与已知角相等，体现“以全等证等角”的几何逻辑，
（2）本题是“边角边（SAS ）”作图应用，先作已知角确定“角”的条件，再截取已知长度的边确定“边”的条件，通过“先角后边”的顺序，利用尺规基本操作（作角、截取线段 ）构造符合条件的三角形，体现尺规作图按“条件分解 - 分步构造 - 组合成形”的解题思路.
（3）要使，已知，为公共边，需满足（即作的角平分线，与的交点即为 ），或通过等判定构造（本题因，作角平分线可利用判定：，， .
19．（2025七下·龙岗期末）
（1）【特例感知】
已知：152=225，252=625，352=1225，·……
猜想：个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字是25。
证明：设此两位数的十位数字是m，……
请完成上述剩余证明过程。
（2）【类比迁移】
观察下列等式：
32×38=1216；54×56=3024；79×71=5609；83×87= ▲ ；
①请写第四个等式的结果；
②数学兴趣小组发现，这若干组等式满足下列的规律：
十位数字相同、个位数字之和等于10的两个两位数相乘，可以把十位数字乘比它大1的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位。”
例如
请写出一个满足此规律的一个等式： ▲ ；（不得抄写已给出的4个等式）
③设满足此规律的两个两位数中十位数字为a，其中第一个两位数的个位数字为b。请用含a、b的式子表示②中的规律，并证明其正确性。
【答案】（1）解：由题意可知这个两位数为（10m+5)
（10m+5)2 =（10m)2+2·10m-5+52，
=100m2+100m+25，
∴猜想正确。
（2）解：①： 7221；
②满足(10a+b)(10a+10-b) =100a(a+1)+b(10-b)即可，如23×27=621。··
③由题意可知，两个两位数分别是(10a+b)，(10a+10-b)，
结果可表示为100a(a+1)+b(10-b)，
即规律为(10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b)， ·
(10a+b)(10a+10-b)=100a2+100a-10ab+10b-b2=100a2+100a+10b-b2
100a(a+1)+b(10-b)=100a2+100a+10b-62
∴(10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b)，
即②中规律是正确的。
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：（2）①按照规律：十位数字相同（都是8）、个位数字和为，积的前两位：；积的后两位：，所以.
故答案为：7221.
②延续 “十位相同、个位和为 10” 的规律，先选定十位数字a和一个个位数字b ，确定另一数个位为10 - b，再拆分 “前两位(a×(a + 1)） + 后两位(b×(10 - b)）” 构造等式，本质是规律的直接应用与模仿构造，通过固定十位、搭配个位的方式生成新例子 ，如23×27=621（答案不唯一，符合规律即可 ）
故答案为：23×27=621.（答案不唯一，符合规律即可 ）
【分析】（1）用代数表示数（将个位为5的两位数表示为 ），结合完全平方公式展开，通过分析展开式中项的倍数特征（是100的倍数），验证猜想，核心是代数化表示与公式运算；
（2）①通过观察已知等式规律（十位同、个位和为10），直接套用规律计算结果；
②构造符合规律的数（确定十位与个位数字），生成新等式；
③用代数表示数（和 ），通过多项式乘法展开左右两边，验证等式成立，核心是规律的观察归纳与代数证明.
20．（2025七下·龙岗期末）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，对此数学兴趣小组展开探究。
（1）【发现】如图1，在△ABE和△DCE中，点E为AC与BD的交点。
①若∠A+∠B=100°，则∠C+∠D=　 　；
②若∠B=∠C，则∠A与∠D之间的数量关系是　 　；
（2）【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，DA⊥BE，BF⊥DE交AD于点C，BC=DE。
求证：△ABC≌△ADE；
（3）如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=30°，D是BC边上一点，将△ABD沿AD折叠至△ADE，AB的对应边AE与BC交于点F，当△ADF为等腰三角形时，直接写出∠CDE的度数：
（4）如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的高，AD=2，E是∠ABC外一点且满足∠EDC=∠EBC，BA=BE，DE=BD。记BD =x，y=S△ABD-S△BDE，求y与x的关系式。
【答案】（1）100°；∠A=∠D
（2）解：证明：∵，
∴.
∵
∴
在和中
（3）解：20°或40°
（4）解：(法 1) ， 在 BD 上截 ，
由（1）可知，由 得 ，
，
在 和 中
，
。
（法2），过点B作BN\perp DE交ED延长线于点N，
由得，，在和中
，
，
。
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（1）①在中，根据三角形内角和为，，
因为与是对顶角，所以，
在中， ，
故答案为：100°.
②在中，；在中，，
又（对顶角相等），若，则.
故答案为：
（3）设，则，。
（外角），（外角）。
情况1：
→ 。
（内角和），
（外角），
。
情况2：
→ 。
，
，
。
∴的度数为或 。
【分析】（1）利用三角形内角和定理（）和对顶角相等，建立两个三角形内角的关联，通过角度代换推导关系，核心是“内角和 + 对顶角”的基础角度运算.
（2）通过垂直定义得直角，对顶角相等找角的等量关系，再结合AAS全等判定定理（角角边）证明三角形全等，关键是挖掘垂直、对顶角条件，转化为全等所需的角相等.
（3）涉及折叠性质（对应角、边相等）、等腰三角形分类讨论（分三种边相等情况），结合三角形内角和与外角定理计算角度，难点是分类全面性和角度关系的复杂推导，需熟练运用折叠产生的等量关系.
（4）通过面积公式计算基础面积，截长补短法构造全等三角形，利用角度代换（同角余角相等、对顶角相关）证角相等，再用SAS全等判定转化面积，核心是“构造全等 + 面积转化”，将未知面积差转化为可计算的全等三角形面积.
1 / 1广东省深圳市龙岗区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
1．（2025七下·龙岗期末）2024年12月4日，我国的传统节日“春节”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》。在春节期间贴窗花已经是一种历史悠久的习俗。下面几幅漂亮的窗花剪纸图案中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·龙岗期末）某科技公司研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达0.00000009米，用科学记数法表示0.00000009=9×10n，则n为（　　）
A．-9 B．9 C．-8 D．8
3．（2025七下·龙岗期末）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB丄CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是（　　）
A．点到直线，垂线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
4．（2025七下·龙岗期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·龙岗期末）将一副三角板按不同位置摆放，下列选项中，∠α与<β互余的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·龙岗期末）数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”获得的数据如下表：
拋掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
盖口向上的频数 64 118 189 252 310 370 434 498 558 621
盖口向上的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.61 0.62 0.62 0.62 0.62
下列说法正确的是（　　）
A．根据实验结果，“盖口向上”和“盖口向下”具有等可能性
B．若再抛掷瓶盖100次，则一定有62次“盖口向上”
C．若抛掷瓶盖10次，结果“盖口向上”8次，则“盖口向上”的概率为0.8
D．若抛掷瓶盖2000次，则“盖口向上”的次数大约有1240次
7．（2025七下·龙岗期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件能判定ABI//CD的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠D=∠5
C．∠3=∠4 D．∠1+∠3+∠B=180°
8．（2025七下·龙岗期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用。数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位h（cm）与时间t（min）的实验数据如下表：
数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ……
t（min） 0 2 4 6 8 ……
h（cm） 2 2.8 3.6 4.2 5.2 ……
下列说法错误的是（　　）
A．在实验开始时，漏刻水位是2cm
B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是4.4cm
C．第7次数据记录时，漏刻水位应为6.8cm
D．当漏刻水位为10cm时，对应实验的时间是10min
9．（2025七下·龙岗期末）已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别3cm和5cm，则第三边的长度可能是　 　cm。（写出满足条件的一个答案即可）
10．（2025七下·龙岗期末）如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当CB平分∠ACD时，点B到桌面CD的距离是12cm，则点B到AC的距离是　 　cm。
11．（2025七下·龙岗期末）如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若∠1=130°，∠2=85°，则∠3的度数为　 　。
12．（2025七下·龙岗期末）如图，秋千OB垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至OA处，点A距离地面高度AD=0.7m，与OB的水平距离DE=1.2m。推动秋千从OA至OC处，此时恰好∠AOC=90°，点C距离OB的水平距离EF=2m，则点C距离地面的高度CF为　 　m。
13．（2025七下·龙岗期末）如图，正方形ABCD和正方形AEFG的面积和为15，D、A、E三点共线且DE=5，则图中阴影部分图形的面积为　 　。
14．（2025七下·龙岗期末）计算：
（1）
（2）
15．（2025七下·龙岗期末）先化简，再求值：，其中。
16．（2025七下·龙岗期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设制如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次。其中4张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券1张；②与好朋友同桌一天：③薯片一包；④牛奶1瓶”。抽完奖后系统自动更新出4张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱。
（1）小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是　 　：
（2）通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样。于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为。请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定。（备注：转盘中扇形的圆心角均相等）
17．（2025七下·龙岗期末）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校。以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图。根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）图象所表示的两个变量中，自变量是　 　；因变量是　 　：
（2）小亮家到学校的距离是　 　米；本次上学途中，小亮一共骑行了　 　米；
（3）点A的实际意义是什么
（4）如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？
18．（2025七下·龙岗期末）【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考：
如图1，由尺规作图可知，OC=O'C'，OD=O'D'， ①
所以△OCD≌△O'C'D'（ ② ），（填全等判定依据，如SSS，ASA，AAS，SAS）
（1）完成上述小明思考过程中的填空；
（2）【操作应用】
如图2，已知线段a和∠α，请用尺规作一个△ABC，使BC=a，AC=2a，∠BCA=∠α；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，请利用尺规在CD边上作一点E，使得△ADE≌△ABE。（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
19．（2025七下·龙岗期末）
（1）【特例感知】
已知：152=225，252=625，352=1225，·……
猜想：个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字是25。
证明：设此两位数的十位数字是m，……
请完成上述剩余证明过程。
（2）【类比迁移】
观察下列等式：
32×38=1216；54×56=3024；79×71=5609；83×87= ▲ ；
①请写第四个等式的结果；
②数学兴趣小组发现，这若干组等式满足下列的规律：
十位数字相同、个位数字之和等于10的两个两位数相乘，可以把十位数字乘比它大1的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位。”
例如
请写出一个满足此规律的一个等式： ▲ ；（不得抄写已给出的4个等式）
③设满足此规律的两个两位数中十位数字为a，其中第一个两位数的个位数字为b。请用含a、b的式子表示②中的规律，并证明其正确性。
20．（2025七下·龙岗期末）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，对此数学兴趣小组展开探究。
（1）【发现】如图1，在△ABE和△DCE中，点E为AC与BD的交点。
①若∠A+∠B=100°，则∠C+∠D=　 　；
②若∠B=∠C，则∠A与∠D之间的数量关系是　 　；
（2）【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，DA⊥BE，BF⊥DE交AD于点C，BC=DE。
求证：△ABC≌△ADE；
（3）如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=30°，D是BC边上一点，将△ABD沿AD折叠至△ADE，AB的对应边AE与BC交于点F，当△ADF为等腰三角形时，直接写出∠CDE的度数：
（4）如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的高，AD=2，E是∠ABC外一点且满足∠EDC=∠EBC，BA=BE，DE=BD。记BD =x，y=S△ABD-S△BDE，求y与x的关系式。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、沿任意一条直线对折，图形两部分无法完全重合，不是轴对称图形，A错误；
B、沿竖直或水平的中间直线对折，图形两部分能完全重合，是轴对称图形 ，B正确；
C、沿任意一条直线对折，图形两部分无法完全重合，不是轴对称图形，C错误；
D、沿任意一条直线对折，图形两部分无法完全重合，不是轴对称图形 ，D错误.
故答案为：B .
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，依次分析选项即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：科学记数法表示较小数的形式为（， 为负整数 ）， 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数，对于，左起第一个非零数是，它前面有个，所以，则.
故答案为：C.
【分析】针对用科学记数法表示小于的正数，牢记形式（， 为负整数 ），通过数原数中左起第一个非零数字前的个数，确定 的值（ 零的个数 ）.
3．【答案】A
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：已知要把河中的水引到水池A中，AB⊥CD，此时AB是点A到直线CD的垂线段，根据 “点到直线，垂线段最短” 的原理，所以在B处挖渠能使水渠长度最短.
故答案为：A.
【分析】 本题考查的是点到直线的距离相关知识，识别题目中的几何元素（点A、直线CD 、垂线段AB ），对应 “点到直线的距离” 概念，回忆 “垂线段最短” 这一基本事实进行判断.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、根据合并同类项法则，同类项相加，字母和指数不变，系数相加，所以，A错误 ；
B、依据同底数幂乘法法则，则，B错误 ；
C、按照单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂相乘。，C正确 ；
D、根据幂的乘方法则，，D错误 .
故答案为：C.
【分析】对每个选项，匹配对应的整式运算法则（合并同类项、同底数幂乘法、单项式乘单项式、幂的乘方 ），计算后判断正误.
5．【答案】A
【知识点】余角
【解析】【解答】解：若两个角的和为，则这两个角互余。
A、三角板是一副（含、、和、、 ），图中（平角定义 ），所以，满足互余，A正确；
B、图中与是三角板中对应相等的角（如与 ），和不为，不互余，B错误；
C、图中（对顶角或三角板角度对应 ），和不为，不互余，C错误；
D、图中（平角或补角关系 ），是互补，不互余，D错误；
故答案为：A.
【分析】先明确“互余”的定义（和为 ），再结合三角板的角度（、、、 ），分析每个选项中与的和是否为 .
6．【答案】D
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：A、实验中“盖口向上”的频率稳定在左右，“盖口向下”频率为，两者不相等，不具有等可能性，A错误；
B、频率稳定值是概率的估计，但再抛次是随机事件，不一定恰好次“盖口向上”，B错误；
C、抛次次数太少，频率不能作为概率，概率是大量重复实验的稳定值，C错误；
D、由实验知“盖口向上”概率约，抛次时，次数大约为次，D正确.
故答案为：D.
【分析】依据“大量重复实验时，频率稳定在某个常数附近，这个常数可作为概率的估计值”，对每个选项结合频率与概率的关系分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定，不是，A错误；
B、，依据“内错角相等，两直线平行”，可判定，不是，B错误 ；
C、，因为与是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，能判定，C正确；
D、，即，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定，不是，D错误.
故答案为：C.
【分析】首先识别每个选项中角的位置关系（同位角、内错角、同旁内角 ），然后匹配对应的平行线判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行 ），便可判断哪一选项能够推出.
8．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、当时，，即实验开始时，漏刻水位是，A正确 ；
B、观察数据，从到（增加 ），从到（增加 ）；从到（增加 ），从到（增加 ）；从到（增加 ），若规律不变，应增加，即，但表中第次，所以第次数据错误，正确应为，B正确 ；
C、观察可知，次数与关系：第次， ，第次， ，从开始，每分钟增，到时，增加次数次，，C正确 ；
D、求与的关系：时，t=2时h=2.8，得出，当时，，解得，D错误 .
故答案为：D.
【分析】先观察数据找规律（时间与水位的变化关系 ），再依据规律验证每个选项：
A、直接看时的值；B、通过相邻数据的变化量（时间增，水位增 ）判断第次数据；
C、根据规律推算第次的和；D、建立与的关系式，代入求 即可.
9．【答案】3
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：已知三角形两条边为和，设第三边为，则：
，即 ，
因为边长为整数，所以可以取、、、、中任意一个，比如取 ，
故答案为：3或4或5或6或7.
【分析】利用“三角形三边关系：两边之差第三边两边之和”，先列出第三边的取值范围，再结合“边长为整数”的条件，确定满足要求的数值即可.
10．【答案】12
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：已知平分，点到的距离为，根据角平分线的性质，点到的距离等于点到的距离，所以点到的距离是.
故答案为：12.
【分析】识别出是的角平分线后，直接运用“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，将点到的距离转化为点到的距离求解即可.
11．【答案】35°
【知识点】三角形外角的概念及性质；邻补角
【解析】【解答】解：因为，所以 ，在中，是外角（或用内角和 ），，已知，，则 .
故答案为：35°.
【分析】先利用邻补角互补求出与相关的内角；再依据三角形外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 ），通过已知的和求出的，计算 即可.
12．【答案】1.5
【知识点】全等三角形的实际应用；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AM⊥OE于M，过点C作CN⊥OE于N，则四边形ADEM，四边形EFCN是矩形，
∴ME=AD=0.7m，CN=EF=2m，AM=DE=1.2m，CF=EN，
∵∠AOC=∠AMO=∠ONC=90°，所以∠AOM=∠OCN=90°-∠CON，
在△AOM和△OCN中，
△AOM≌△OCN(AAS)，
∴OM=CN=2m，AM=ON=1.2m，所以MN=OM-ON=0.8m，
∴CF=EN=MN+ME=1.5m.
故答案为：1.5.
【分析】通过作辅助线构造矩形和全等三角形，利用矩形及全等三角形的性质，将已知线段长度进行转化和运算，从而求出点C距离地面的高度即可.
13．【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用；全等三角形的实际应用；勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
因为正方形和正方形的面积和为，根据正方形面积公式，可得 ，
由于、、三点共线且，即，也就是 ，
对根据完全平方公式展开， 。
已知，所以；又因为，将其代入上式可得：
，
通过移项得：
，则 .
观察图形可知，阴影部分面积可转化为两个直角三角形面积之和（或通过图形拼接分析 ），实际阴影部分面积等于的倍，即 ，把代入，可得阴影部分面积 .
故答案为：10.
【分析】首先通过设正方形边长为未知数，将几何图形的边长和面积关系转化为代数等式， 然后利用完全平方公式，建立已知的边长和（ ）、面积和（ ）与未知的之间的联系，求出的值 ，最后结合图形特征，确定阴影部分面积与的数量关系，进而算出阴影部分面积.
14．【答案】（1）解：原式=a6-a6+4a6
= 4a6
（2）解：原式=1-3+1
=-1
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；幂的乘方运算
【解析】【分析】 （1）通过幂的运算法则逐步化简后合并同类项.
（2）依据特殊幂的定义分别计算各项后进行加减，若指数为202（偶数 ），结果为-1，据此计算即可.
15．【答案】解：原式 =
当时，原式=
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】解题关键是熟练运用乘法公式展开整式，通过去括号、合并同类项化简式子，最后代入求值，体现了 “先化简再求值” 的解题思路，可简化计算过程，避免直接代入的繁琐运算，核心考查整式运算的基本技能与公式应用能力.
16．【答案】（1）
（2）解：因为转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、、的最小公倍数，方便计算 )，
①的概率是，则①对应的份数：份 ；②的概率是，则②对应的份数：份；③的概率是；则③对应的份数：份；④的概率：，所以④对应的份数也是份（与③概率相同，份数相同 ）.分配扇形内容：按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占份，③占份，④占份，
如图：
【知识点】概率的意义；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）因为共有张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同，所以总情况数 ，又因为“①”是其中张刮刮卡，即抽中“①”的情况数，根据概率公式（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ），可得抽中“①”的概率.
故答案为：.
【分析】（1）先确定总情况数，再确定抽中“①”的情况数，最后直接套用概率公式计算概率即可.
（2）通过计算各奖项对应份数，按份数在转盘标记“①②③④”，实现概率设定，关键是掌握概率与份数的转化及基本计算.
17．【答案】（1）时间；离家距离
（2）1500；2700
（3）解：点A的实际意义是“骑行6分钟时，离家距离为1200米”。
（4）解：1200÷6=200（米/分钟)，
1500÷200＝（分钟)；
答：以往常的速度从家到学校需要分钟。
【知识点】通过函数图象获取信息；自变量、因变量
【解析】【解答】解：（1）自变量是在变化过程中主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量， 观察图象，横轴是时间，纵轴是离家距离，时间变化引起离家距离变化，所以自变量是时间，因变量是离家距离.
故答案为：时间；离家距离.
（2）亮家到学校的距离看图象终点纵轴值，为1500米，计算骑行总路程：先到A处：1200米；返回书店：1200 - 600 = 600米；从书店到学校：1500 - 600 = 900米，总路程=1200 + 600+900 = 2700米 .
故答案为：2700.
【分析】（1）识别自变量与因变量：依据“自变量主动变，因变量随变”的定义，结合图象横纵轴代表的量判断，核心是理解变量间的因果关系.
（2）终点纵轴值对应家到学校距离；总路程需分段（去A处、返回书店、去学校）累加，关键是拆分运动阶段，利用图象数据计算.
（3）图象上点的坐标(x，y)，对应x时间时，y距离，直接结合横纵轴含义表述.
（4）先由图象中“往常路段：家到A处，用“速度=路程÷时间”求速度，再用“时间=路程÷速度”算往常到学校时间，体现行程问题基本公式（路程、速度、时间关系）的应用，通过图象提取有效数据代入公式求解.
18．【答案】（1）解：①：CD=C'D'，②： SSS
（2）解：作∠BCA=∠α（用尺规作角等于已知角的方法：以已知角顶点为圆心画弧交两边，再在新作角顶点画等半径弧，平移截取等长弧长确定两边 ），截取（用圆规量取线段的长度，以为圆心画弧交点为 ），截取（同理，量取长度，以为圆心画弧交点为 ），连接，则即为所求（满足，， ），如图：
（3）解：如图
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）①由尺规作图（作一个角等于已知角 ）的步骤，以、为圆心，相同半径画弧，得到；
故答案为：.
②因为，，，三边对应相等，根据SSS（边边边 ）全等判定，可得.
故答案为：SSS.
【分析】（1）本题考查尺规作等角的原理，核心是利用SSS全等判定，通过尺规作图保证三边对应相等，从而构造全等三角形，依据“全等三角形对应角相等”得到所作角与已知角相等，体现“以全等证等角”的几何逻辑，
（2）本题是“边角边（SAS ）”作图应用，先作已知角确定“角”的条件，再截取已知长度的边确定“边”的条件，通过“先角后边”的顺序，利用尺规基本操作（作角、截取线段 ）构造符合条件的三角形，体现尺规作图按“条件分解 - 分步构造 - 组合成形”的解题思路.
（3）要使，已知，为公共边，需满足（即作的角平分线，与的交点即为 ），或通过等判定构造（本题因，作角平分线可利用判定：，， .
19．【答案】（1）解：由题意可知这个两位数为（10m+5)
（10m+5)2 =（10m)2+2·10m-5+52，
=100m2+100m+25，
∴猜想正确。
（2）解：①： 7221；
②满足(10a+b)(10a+10-b) =100a(a+1)+b(10-b)即可，如23×27=621。··
③由题意可知，两个两位数分别是(10a+b)，(10a+10-b)，
结果可表示为100a(a+1)+b(10-b)，
即规律为(10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b)， ·
(10a+b)(10a+10-b)=100a2+100a-10ab+10b-b2=100a2+100a+10b-b2
100a(a+1)+b(10-b)=100a2+100a+10b-62
∴(10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b)，
即②中规律是正确的。
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：（2）①按照规律：十位数字相同（都是8）、个位数字和为，积的前两位：；积的后两位：，所以.
故答案为：7221.
②延续 “十位相同、个位和为 10” 的规律，先选定十位数字a和一个个位数字b ，确定另一数个位为10 - b，再拆分 “前两位(a×(a + 1)） + 后两位(b×(10 - b)）” 构造等式，本质是规律的直接应用与模仿构造，通过固定十位、搭配个位的方式生成新例子 ，如23×27=621（答案不唯一，符合规律即可 ）
故答案为：23×27=621.（答案不唯一，符合规律即可 ）
【分析】（1）用代数表示数（将个位为5的两位数表示为 ），结合完全平方公式展开，通过分析展开式中项的倍数特征（是100的倍数），验证猜想，核心是代数化表示与公式运算；
（2）①通过观察已知等式规律（十位同、个位和为10），直接套用规律计算结果；
②构造符合规律的数（确定十位与个位数字），生成新等式；
③用代数表示数（和 ），通过多项式乘法展开左右两边，验证等式成立，核心是规律的观察归纳与代数证明.
20．【答案】（1）100°；∠A=∠D
（2）解：证明：∵，
∴.
∵
∴
在和中
（3）解：20°或40°
（4）解：(法 1) ， 在 BD 上截 ，
由（1）可知，由 得 ，
，
在 和 中
，
。
（法2），过点B作BN\perp DE交ED延长线于点N，
由得，，在和中
，
，
。
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（1）①在中，根据三角形内角和为，，
因为与是对顶角，所以，
在中， ，
故答案为：100°.
②在中，；在中，，
又（对顶角相等），若，则.
故答案为：
（3）设，则，。
（外角），（外角）。
情况1：
→ 。
（内角和），
（外角），
。
情况2：
→ 。
，
，
。
∴的度数为或 。
【分析】（1）利用三角形内角和定理（）和对顶角相等，建立两个三角形内角的关联，通过角度代换推导关系，核心是“内角和 + 对顶角”的基础角度运算.
（2）通过垂直定义得直角，对顶角相等找角的等量关系，再结合AAS全等判定定理（角角边）证明三角形全等，关键是挖掘垂直、对顶角条件，转化为全等所需的角相等.
（3）涉及折叠性质（对应角、边相等）、等腰三角形分类讨论（分三种边相等情况），结合三角形内角和与外角定理计算角度，难点是分类全面性和角度关系的复杂推导，需熟练运用折叠产生的等量关系.
（4）通过面积公式计算基础面积，截长补短法构造全等三角形，利用角度代换（同角余角相等、对顶角相关）证角相等，再用SAS全等判定转化面积，核心是“构造全等 + 面积转化”，将未知面积差转化为可计算的全等三角形面积.
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