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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优北师大版（2024）
第一章 丰富的图形世界 1.1 生活中的立体图形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．我们可以用不同的方式来表达一个数或数量与数量的关系，下面表述正确的有(　　)个。
①一个图形表示“1”，阴影部分可以表示为1.9； ②图中阴影部分的面积是20%公顷； ③大正方形和小正方形面积的比是3：2； ④算盘上的珠子表示的数是647103021。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．三棱柱的顶点个数是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．下列几何体中，含有曲面的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
4．下列几何体中与其余三个不属于同一类几何体的是（ ）
A． B．
C． D．
5．把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画出朵数不等的花，各面上的颜色与花朵的朵数情况列表如下：现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体，如图所示，那么长方体的下底面共有花朵数是（　　）
颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿
花朵数 1 2 3 4 5 6
A．11 B．13 C．15 D．17
6．如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（　　）
A．球 B．圆柱 C．半球 D．圆锥
7．将下列选项中的平面图形绕直线l旋转一周，可得到如图所示立体图形（　　）
A． B． C． D．
8．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（　　）
A．白 B．红 C．黄 D．黑
9．下列说法不正确的是（　　）
A．五棱柱有10个顶点
B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形
C．“天空划过道流星”能说明“点动成线”
D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的
10．在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（　　）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对
二、填空题
11．一个六棱柱如图所示，它一共有　 　条棱.
12．如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为　 　．
13．下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这说明　 　；圆规在纸上划过会留下一个封闭的圆，这说明　 　；在桌面上飞快的旋转一枚硬币就会看到一个球，这说明　 　．
14．一个棱柱有12个顶点，那么它由 　 　个面围成．
15．一个直棱柱有21条棱，那么这个棱柱的底面的形状是　 　．
16．十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（ ），面数（ ），棱数（ ）之间存在一个有趣的数量关系： ，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点都有3条棱，设该多面体外表面三角形个数是 个，八边形的个数是 ，则x+y=　 　．
三、计算题
17．我们知道，将一个长方形绕它的一边旋转一周得到的几何体是圆柱，现有一个长是5cm，宽是3cm的长方形，分别绕它的长和宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱几何体，分别求出它们的体积．
四、解答题
18． 一个长方体如图所示。
（1）它有多少个面 多少条棱（线段） 多少个顶点
（2）从它的表面上，你观察到哪些平面图形
19．一个正方体的体积是16cm3，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的边长及其表面积．
20．把一个长、宽、高分别为50cm，8cm，20cm的长方体锻造成一个立方体铁块，问锻造的立方体铁块的棱长是多少 cm
21．把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当的裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．
(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．
22．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形
⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C 若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．
23．用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a， 宽 为b(a>b) 的四个相同的长方形拼成的一个大正方形。
（1）用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到(a-b)2、(a+b)2、ab 三者之间的等量关系式：
利用上面所得的结论解答：已知a-b=5，，求a+b 的值。
（2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： (a+b)3=　 　。
②利用上面所得的结论解答：a+b=6，ab=7，求 a3+b3 的值。
参考答案及试题解析
1．B
【解答】解：A、 一个图形表示 “1”，同时一个图形分为了10份，所以一小份为0.1，则图中阴影部分为1.9，A正确；
B、图中整体为5公顷，整体的为5×=1公顷，且 面积单位不能用 “%” 表示，B错误；
C、S大=30×30=900 cm2 ；S小=20×20=400 cm2；所以，C错误；
D、算盘上面每一株为5，下面每一株为1，因此算盘上的数是647103021，D正确；
综上所述，正确选项共有2个，所以选择B.
故答案为：B.
【分析】涉及数的表示、面积单位的正确使用、图形面积比的计算以及算盘读数等知识点，逐一分析每个表述是否正确，考查对不同数学概念和表示方法的理解.
2．B
【解答】解：∵三棱柱的上下底面都是三角形，侧面是平行四边形，
∴三棱柱的顶点个数是6个，
故答案为：B．
【分析】根据三棱柱的顶点进行求解即可。
3．D
【解答】解：观察几何体可知，含有曲面的是②球和④圆柱．故选：D．
【分析】此题主要考查了认识立体图形，根据平面和曲面的特征，分析判断，即可求解.
4．C
5．D
【解答】解：由题意可得，右一的立方体的下侧为白色，右二的立方体的下侧为绿色，右三的为黄色，左一的为紫色，
那么长方体的下底面共有花数4＋6＋2＋5＝17朵.
故长方体的下底面共有17朵花.
故答案为：D.
【分析】由图形先得出右一的立方体的下侧为白色，左边为绿色，后边为紫色，按此规律可得：右二的立方体的下侧为绿色，右三的为黄色，左一的为紫色，然后代入朵数计算即可.
6．A
【解答】解：将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是球，
故选：A．
【分析】根据半圆绕直径旋转一周，结合几何体的特点可得答案．
7．B
【解答】解：A、圆柱上面加一个圆锥，故A错误；
B、圆台，故B正确；
C、圆柱上面加一个圆锥，故C错误；
D、两个圆锥，故D错误；
故选：B．
【分析】根据直角梯形绕高旋转是圆台，可得答案．
8．C
【解答】解：∵涂有绿色一面的邻边是白，黑，红，蓝，
∴涂成绿色一面的对面的颜色是黄色，
故选C．
【分析】根据图形可得涂有绿色一面的邻边是白，黑，红，蓝，即可得到结论．本题考查了正方体相对两个面上的文字问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上图案，再确定对面上的图案，可以培养动手操作能力和空间想象能力．
9．B
10．A
【解答】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线，
故答案为：A．
【分析】根据点动成线可得答案。
11．18
【解答】∵六棱柱有6条侧棱，每个底有6条边，
∴六棱柱有18条棱，
故答案为18.
【分析】根据几棱柱，可得有几条棱，每个底面有几条边，可得棱柱有几条棱.
12．
【解答】解：由题意可得：几何体的表面积为：，
故答案为：.
【分析】利用圆锥的表面积和侧面积公式计算求解即可。
13．线动成面；点动成线；面动成体
【解答】下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这说明线动成面；圆规在纸上划过会留下一个封闭的圆，这说明点动成线；在桌面上飞快的旋转一枚硬币就会看到一个球，这说明面动成体．
故答案为：线动成面，点动成线，面动成体．
【分析】根据点动成线，面动成体解答即可.
14．8
【解答】这个棱柱有12个顶点，
这是一个六棱柱，
它有8个面，
故答案为：8.
【分析】根据该棱柱有12个顶点，求出该棱柱为六棱柱，进一步可求解.
15．七边形
【解答】解：设这个棱柱为n棱柱，
∵一个直n棱柱有3n条棱，
∴21÷3=7，
七棱柱的底面形状为七边形，
故答案为：七边形．
【分析】根据 一个直棱柱有21条棱 ，进行计算求解即可。
16．14
【解答】解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+f-36=2，解得f=14，
∴x+y=14．
故答案为：14．
【分析】得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．
17．【解答】解：分两种情况：①绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×32×5=45π（cm3）；②绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×52×3=75π（cm3）．故它们的体积分别为45πcm3或75πcm3．
【分析】根据圆柱体的体积=底面积×高求解，注意底面半径和高互换得圆柱体的两种情况．
18．（1）解：长方体有6个面，12条棱，8个顶点.
（2）解：从它的表面上可以看到长方形（或正方形）.
【分析】根据长方体的形体特征，分析其面、棱、顶点的数量以及表面的平面图形类型.
19．解：∵一个正方体的体积是16cm3，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，
∴另一个正方体的体积为16×4=64，
∴另一个正方体的边长为；
其表面积为4×4×6=96.
答：另一个正方体的边长为4cm，其表面积为96cm2
【分析】利用已知条件：另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，可求出另一个正方体的体积，利用正方体的体积等于边长的立方，可求出另一个立方体的边长；然后求出另一个立方体的表面积.
20．解：
答：立方体铁块的棱长是20cm.
【分析】利用长方体的体积等于长×宽×高，可得到长方体的体积，再根据把一个长、宽、高分别为50cm，8cm，20cm的长方体锻造成一个立方体铁块，可得到立方体铁块的体积=长方体的体积，然后开方可求出立方体铁块的棱长.
21．解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm，
则(40－2x)2＝484，
即40－2x＝±22，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9.
②侧面积有最大值．
设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，
则y与x的函数关系式为y＝4(40－2x)x，
即y＝－8x2＋160x，
改写为y＝－8(x－10)2＋800，∴当x＝10时，y最大＝800.
(2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为x cm，
2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，
解得x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15.
∴剪掉的正方形的边长为15 cm.
答：(1)剪掉的正方形的边长为9 cm；
(2)当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm2.
(3)此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.
【分析】考查一元二次方程的应用。
22．解：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6．
∴AH=2，AD=2．
∵AP=x，
∴PH=x﹣2，
情况①：当AP=AD时，即x=2．
情况②：当AD=PD时，则AH=PH．
∴2=x﹣2，解得x=4．
情况③：当AP=PD时，
则Rt△DPH中，x2=42+（x﹣2）2，解得x=5．
∵2＜x＜8，
∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形．
（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．
∴∠HDP=∠EPB．
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴=，
∴=．
整理得：y=（x﹣2）（8﹣x）=﹣x2+x﹣4；
（3）存在．
设BC=a，则由（2）得△DPH∽△PEB，
∴=，
∴y=，
当y=a时，
（8﹣x）（x﹣2）=a2
x2﹣10x+（16+a2）=0，
∴△=100﹣4（16+a2），
∵△≥0，
∴100﹣64﹣4a2≥0，
4a2≤36，
又∵a＞0，
∴a≤3，
∴0＜a≤3，
∴满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过C．
【分析】（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP为等腰三角形，则分三种情况：①当AP=AD时，x=AP=AD，②当AD=PD时，有AH=PH，故x=AH+PH，③当AP=PD时，则在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
（2）易证：△DPH∽△PEB ，即，故可求得y与x的关系式．
（3）利用△DPH∽△PEB，得出，进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可．
23．（1）解：整体大正方形的面积为：（a+b）2 四个长方形的面积与小正方形的面积为：（b-a）2+4ab
∴（a+b）2=（b-a）2+4ab
∵ a-b=5，
∴（a+b）2=25+4×=36
∴a+b>0
∴a+b=6
（2）解：①.②由①可知：∴∵ a+b=6，ab=7∴
【解答】（2）①由图可知：大正方形的体积为 (a+b)3
八个小长方体体积之和为：
因此：
故答案为：.
【分析】（1）先计算大大正方形的面积为：（a+b）2，再计算四个长方形的面积与小正方形的面积为：（b-a）2+4ab，因此可得：a+b）2=（b-a）2+4ab，然后把已知条件代入即可.
（2）①先计算大正方体的体积为：(a+b)3，再计算八个小正方体的体积和为：
因此可得：.
②根据，变形出：，再把a+b=6，ab=7代入可得：.
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