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第十七章　因式分解(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列从左到右的变形中,是因式分解的是 ( )
A.m2-9=(m-3)2 B.m2-m+1=m(m-1)+1
C.(m+1)2=m2+2m+1 D.m2+2m=m(m+2)
2.下列因式分解正确的是 ( )
A.x2+9=(x+3)2 B.a2+2a+4=(a+2)2　
C.a3-4a2=a2(a-4) D.1-4x2=(1+4x)(1-4x)
3.当n为自然数时,(n+1)2-(n-3)2一定能被下列哪个数整除 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
4.(2025·德阳期末)如果多项式x2+1加上一个单项式后,能够直接用完全平方公式进行因式分解,则添加的单项式不可以是 ( )
A.2x B.-2x C.x4 D.-x4
5.如图,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部分拼成一个梯形,利用这两幅图形的面积可以验证的公式是 ( )
A.a2+b2=(a-b)(a+b)
B.a2-b2=(a-b)(a+b)
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.(a+b)2=a2+2ab+b2
6.(2025·重庆期末)若关于x的多项式x3+x2-7x-3可以分解为(x2+nx-1)(x+3),则n3的值是 ( )
A.8 B.-8 C.6 D.-6
7.已知a,b,c为△ABC的三边长,且a2+ac=b2+bc,则△ABC是 ( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
8.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“和谐数”,比如8=32-12,16=52-32,即8,16均为“和谐数”.在不超过2 023的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( )
A.255 024 B.253 008 C.257 048 D.255 054
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.多项式12ab2c+8a2b的公因式是 .
10.(2024·盐城中考)分解因式:x2+2x+1= .
11.计算21×3.14+79×3.14的结果为 .
12.若x2+x-2=0,则x3+2x2-x+2 026等于 .
13.若+=192,则n的值为 .
14.若实数a,b满足方程组,则a2b-ab2的值为 .
三、解答题(共52分)
15.(6分)已知y-x=-1,xy=2,求代数式-x3y+x2y2-xy3的值.
16.(8分)因式分解:
(1)6x2-3x;　　　　　　　　(2)16m3-mn2;
(3)25m2-10mn+n2; (4)9a2(x-y)+4b2(y-x).
19. (10分)如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的全等小长方形,且m>n.(以上长度单位:cm)
(1)观察图形,可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为________________ ;
(2)若每块小长方形的面积为10 cm2,四个正方形的面积和为58 cm2,试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
20.(12分)要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它的前两项分成组,并提出a,把它的后两项分成组,并提出b,从而得am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n).这时,由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n),于是可提公因式(m+n),从而得到(m+n)(a+b),因此有:
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).
这种因式分解的方法叫作分组分解法,如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.
(1)ab-ac+bc-b2=(ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)-b(b-c)=________ ;
(2)因式分解:x2-(p+q)x+pq;
(3)因式分解:x2y-4y-2x2+8.
【附加题】(10分)
已知a,b,c为△ABC的三条边的长.
(1)证明:a2-2ac+c2-b2<0;
(2)当a,b,c满足条件a2+2ac-b2-2bc=0时,请判断△ABC的形状,并说明理由.第十七章　因式分解(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列从左到右的变形中,是因式分解的是 (D)
A.m2-9=(m-3)2 B.m2-m+1=m(m-1)+1
C.(m+1)2=m2+2m+1 D.m2+2m=m(m+2)
2.下列因式分解正确的是 (C)
A.x2+9=(x+3)2 B.a2+2a+4=(a+2)2　
C.a3-4a2=a2(a-4) D.1-4x2=(1+4x)(1-4x)
3.当n为自然数时,(n+1)2-(n-3)2一定能被下列哪个数整除 (D)
A.5 B.6 C.7 D.8
4.(2025·德阳期末)如果多项式x2+1加上一个单项式后,能够直接用完全平方公式进行因式分解,则添加的单项式不可以是 (D)
A.2x B.-2x C.x4 D.-x4
5.如图,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部分拼成一个梯形,利用这两幅图形的面积可以验证的公式是 (B)
A.a2+b2=(a-b)(a+b)
B.a2-b2=(a-b)(a+b)
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.(a+b)2=a2+2ab+b2
6.(2025·重庆期末)若关于x的多项式x3+x2-7x-3可以分解为(x2+nx-1)(x+3),则n3的值是 (B)
A.8 B.-8 C.6 D.-6
7.已知a,b,c为△ABC的三边长,且a2+ac=b2+bc,则△ABC是 (D)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
8.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“和谐数”,比如8=32-12,16=52-32,即8,16均为“和谐数”.在不超过2 023的正整数中,所有的“和谐数”之和为 (A)
A.255 024 B.253 008 C.257 048 D.255 054
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.多项式12ab2c+8a2b的公因式是　4ab　.
10.(2024·盐城中考)分解因式:x2+2x+1=　(x+1)2　.
11.计算21×3.14+79×3.14的结果为　314　.
12.若x2+x-2=0,则x3+2x2-x+2 026等于　2 028　.
13.若+=192,则n的值为　2　.
14.若实数a,b满足方程组,则a2b-ab2的值为　15　.
三、解答题(共52分)
15.(6分)已知y-x=-1,xy=2,求代数式-x3y+x2y2-xy3的值.
【解析】因为y-x=-1,所以x-y=1,-x3y+x2y2-xy3=-xy(x2-2xy+y2)=-xy(x-y)2=-×2×1=-1.
16.(8分)因式分解:
(1)6x2-3x;　　　　　　　　(2)16m3-mn2;
(3)25m2-10mn+n2; (4)9a2(x-y)+4b2(y-x).
【解析】(1)6x2-3x=3x(2x-1).
(2)16m3-mn2=m(16m2-n2)=m(4m-n)(4m+n).
(3)25m2-10mn+n2=(5m-n)2.
(4)9a2(x-y)+4b2(y-x)=9a2(x-y)-4b2(x-y)=(x-y)(9a2-4b2)
=(x-y)(3a-2b)(3a+2b).
17.(8分)利用因式分解计算:
(1)2012-1992. (2)(-2)2 028+(-2)2 027.
(3)1022-102×98. (4)2022+202×196+982.
【解析】(1)原式=(201+199)(201-199)=400×2=800.
(2)原式=(-2)2 027×(-2)+(-2)2 027×1=(-2)2 027×(-2+1)=(-2)2 027×(-1)=-22 027×(-1)=22 027.
(3)原式=102×(102-98)=102×4=408.
(4)原式=2022+2×202×98+982=(202+98)2=3002=90 000.
18.(8分)设n为正整数,试说明:52·32n+1·2n-62·3n·6n能被13整除.
【解析】原式=52·3n+1·3n·2n-(3×2)2·3n·6n=52·3n+1·6n-22×3·3n+1·6n=3n+1·6n·(52-22×3)=13·3n+1·6n,
∴52·32n+1·2n-62·3n·6n能被13整除.
19. (10分)如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的全等小长方形,且m>n.(以上长度单位:cm)
(1)观察图形,可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为________________　;
(2)若每块小长方形的面积为10 cm2,四个正方形的面积和为58 cm2,试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
【解析】(1)2m2+5mn+2n2可以因式分解为(m+2n)(2m+n).
答案:(m+2n)(2m+n)
(2)依题意得:2m2+2n2=58,mn=10,∴m2+n2=29,∴(m+n)2=m2+n2+2mn=49,∴m+n=7,
∴图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为6m+6n=6(m+n)=6×7=42(cm).
20.(12分)要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它的前两项分成组,并提出a,把它的后两项分成组,并提出b,从而得am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n).这时,由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n),于是可提公因式(m+n),从而得到(m+n)(a+b),因此有:
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).
这种因式分解的方法叫作分组分解法,如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.
(1)ab-ac+bc-b2=(ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)-b(b-c)=________　　　;
(2)因式分解:x2-(p+q)x+pq;
(3)因式分解:x2y-4y-2x2+8.
【解析】(1)ab-ac+bc-b2=(ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)-b(b-c)=(a-b)(b-c).
答案:(a-b)(b-c)
(2)x2-(p+q)x+pq=x2-px-qx+pq=x(x-p)-q(x-p)=(x-p)(x-q).
(3)x2y-4y-2x2+8=y(x2-4)-2(x2-4)=(y-2)(x2-4)=(y-2)(x+2)(x-2).
【附加题】(10分)
已知a,b,c为△ABC的三条边的长.
(1)证明:a2-2ac+c2-b2<0;
(2)当a,b,c满足条件a2+2ac-b2-2bc=0时,请判断△ABC的形状,并说明理由.
【解析】(1)a2-2ac+c2-b2=(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b),
∵a,b,c为△ABC的三条边的长,∴a-c+b>0,a-c-b<0,
∴a2-2ac+c2-b2=(a-c+b)(a-c-b)<0;
(2)∵a2+2ac-b2-2bc=0,∴a2-b2+2ac-2bc=(a+b)(a-b)+2c(a-b)=(a+b+2c)(a-b)=0,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形.

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