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第十三章　三角形(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2025·哈尔滨质检)图中三角形的个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
2.现有两根长度分别为20 cm和30 cm的木条,要选择第三根木条,把它们钉成一个三角形木架,则第三根木条的长度可以是( )
A.10 cm
B.25 cm
C.50 cm
D.55 cm
3.下列四个图形中,线段BE是△ABC中AC边上的高的是( )
4.一天,李明和爸爸一起到建筑工地去,看见了一个如图所示的人字架,爸爸说:“李明,我考考你!若这个人字架中的∠3=110°,你能求出∠1比∠2大多少吗 ”请你帮李明计算一下,正确的答案是( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
5.如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=16 cm2,则S阴影等于( )
A.8 cm2
B.4 cm2
C.2 cm2
D.1 cm2
6.(2024·德阳中考)如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图,其中AB∥CD,DE⊥BC,∠ABC=70°,则∠EDC等于( )
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
7.下列说法正确的是( )
A.过三角形的顶点和它对边中点的直线,是三角形的中线
B.三角形的角平分线其实就是角的平分线
C.三角形的高就是顶点到对边的垂线
D.三角形的三条中线的交点叫作重心,重心一定在三角形内部
8.(2025·武汉质检)如图,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,BF分别交AE,AD于G,H,∠C>∠ABC.在下列结论:①∠AGB=90°+∠C;②∠BFC+∠AEC=180°;③∠C-∠ABC=2∠EAD;④∠AGB+∠BHD-∠EAD=180°中,正确的是( )
A.①②
B.①③④
C.②④
D.①②③④
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的依据是 .
10.已知△ABC的三边长分别为a,b,c.若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,则△ABC是 三角形.
11.如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是边AC上的高,则∠DBC的度数是 .
12.(2025·杭州质检)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=70°,∠C=30°,则∠DAE= °.
13.如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,边BC上的高AD=3,则边AB上的高CE= .
14.如图,在△ABC中,AD是中线,AB=10 cm,AC=6 cm,点E在边AB上,连接ED,若△BDE与四边形ACDE的周长相等,则线段AE的长为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,已知钝角△ABC.
(1)请你画出AC边上的高BD,BC边上的高AE;
(2)在(1)的前提下求证:∠CBD=∠CAE.
16.(8分)如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,BF为△ABE中AE边上的高.
(1)若AE=BE,BD=DE,请写出图中的等边三角形,等腰三角形;
(2)若△ABC的面积为24,AE=3,求BF的长.
17.(8分)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,CD交边AB于点E,在边AE上取点F,连接DF,使∠1=∠D.
(1)求证:DF∥BC;
(2)当∠A=36°,∠DFE=34°时,求∠2的度数.
18.(8分)如图所示,P是△ABC内一点,延长BP交AC于点D,连接PC.
(1)∠1,∠2,∠A的大小关系是:________ >________ >________ ;
(2)若∠3=25°,∠A=67°,∠4=40°,嘉嘉想求∠1的度数,请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解.
思路一 先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数,再利用三角形内角和求出∠1的度数. 思路二 先利用三角形外角求出∠2的度数,再利用三角形外角求出∠1的度数.
19.(8分)如图,四边形ABCD的内角∠DCB的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F.
(1)若∠ABC=76°,∠DCF=26°,试判断BF和CD的位置关系,并说明理由.
(2)若∠A=120°,∠D=130°,求∠F的度数.
20.(12分)如图1,在平面直角坐标系中,点A、点M在y轴的正半轴上(点M在点A的上方),点B在x轴的正半轴上,AC平分∠MAB,AC的反向延长线交∠ABO的平分线于点D,BD交y轴于点E.
(1)当∠ABO=52°时,求∠ABD和∠D的度数.
(2)如图2所示,若点A、点B分别在y轴、x轴的正半轴上任意运动,请判断∠D的大小是否变化,并说明理由.
(3)当∠ABO等于多少度时,∠DAE=∠DEA
【附加题】(10分)
　已知∠MON=40°,OE平分∠MON,点A,B,C分别是射线OM,OE,ON上的动点(A,B,C不与点O重合),连接AB,连接AC交射线OE于点D,设∠BAC=α.
(1)如图1,若AB∥ON,
①∠ABO的度数是________ ;
②当∠BAD=∠ABD时,∠OAC的度数是________ ;
当∠BAD=∠BDA时,∠OAC的度数是________.
(2)在一个四边形中,如果存在一个内角是它的对角的2倍,那么我们称这样的四边形为“完美四边形”.如图2所示,若AB⊥OM,延长AB交射线ON于点F,当四边形DCFB为“完美四边形”时,求α的值.第十三章　三角形(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2025·哈尔滨质检)图中三角形的个数是(B)
A.4
B.5
C.6
D.7
2.现有两根长度分别为20 cm和30 cm的木条,要选择第三根木条,把它们钉成一个三角形木架,则第三根木条的长度可以是(B)
A.10 cm
B.25 cm
C.50 cm
D.55 cm
3.下列四个图形中,线段BE是△ABC中AC边上的高的是(C)
4.一天,李明和爸爸一起到建筑工地去,看见了一个如图所示的人字架,爸爸说:“李明,我考考你!若这个人字架中的∠3=110°,你能求出∠1比∠2大多少吗 ”请你帮李明计算一下,正确的答案是(C)
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
5.如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=16 cm2,则S阴影等于(B)
A.8 cm2
B.4 cm2
C.2 cm2
D.1 cm2
6.(2024·德阳中考)如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图,其中AB∥CD,DE⊥BC,∠ABC=70°,则∠EDC等于(B)
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
7.下列说法正确的是(D)
A.过三角形的顶点和它对边中点的直线,是三角形的中线
B.三角形的角平分线其实就是角的平分线
C.三角形的高就是顶点到对边的垂线
D.三角形的三条中线的交点叫作重心,重心一定在三角形内部
8.(2025·武汉质检)如图,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,BF分别交AE,AD于G,H,∠C>∠ABC.在下列结论:①∠AGB=90°+∠C;②∠BFC+∠AEC=180°;③∠C-∠ABC=2∠EAD;④∠AGB+∠BHD-∠EAD=180°中,正确的是(B)
A.①②
B.①③④
C.②④
D.①②③④
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的依据是　三角形具有稳定性　.
10.已知△ABC的三边长分别为a,b,c.若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,则△ABC是　等边　三角形.
11.如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是边AC上的高,则∠DBC的度数是　18°　.
12.(2025·杭州质检)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=70°,∠C=30°,则∠DAE=　20　°.
13.如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,边BC上的高AD=3,则边AB上的高CE= 　.
14.如图,在△ABC中,AD是中线,AB=10 cm,AC=6 cm,点E在边AB上,连接ED,若△BDE与四边形ACDE的周长相等,则线段AE的长为　2 cm　.
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,已知钝角△ABC.
(1)请你画出AC边上的高BD,BC边上的高AE;
(2)在(1)的前提下求证:∠CBD=∠CAE.
【解析】(1)如图所示,BD,AE即为所求.
(2)∵BD⊥AC,AE⊥BC,∴∠CBD+∠BCD=90°,∠CAE+∠ACE=90°.
又∵∠BCD=∠ACE,∴∠CBD=∠CAE.
16.(8分)如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,BF为△ABE中AE边上的高.
(1)若AE=BE,BD=DE,请写出图中的等边三角形,等腰三角形;
(2)若△ABC的面积为24,AE=3,求BF的长.
【解析】(1)∵BE为△ABD的中线,∴AE=DE.
∵AE=BE,BD=DE,∴BE=DE=BD,∴△BDE是等边三角形.
∵AE=BE,∴△AEB是等腰三角形.
(2)∵AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,∴S△ABD=S△ABC,S△ABE=S△ABD,
∴S△ABE=S△ABC.
∵△ABC的面积为24,AE=3,BF为△ABE中AE边上的高,
∴S△ABE=AE·BF=×3·BF=×24,解得BF=4.
17.(8分)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,CD交边AB于点E,在边AE上取点F,连接DF,使∠1=∠D.
(1)求证:DF∥BC;
(2)当∠A=36°,∠DFE=34°时,求∠2的度数.
【解析】(1)∵CD平分∠ACB,∴∠DCB=∠1.
∵∠1=∠D,∴∠DCB=∠D,∴DF∥BC.
(2)∵DF∥BC,∠DFE=34°,
∴∠B=∠DFE=34°.
在△ABC中,∵∠A=36°,∠B=34°,
∴∠ACB=180°-36°-34°=110°.
∵CD平分∠ACB,∴∠1=∠ACB=55°,
∴∠2=180°-36°-55°=89°.
18.(8分)如图所示,P是△ABC内一点,延长BP交AC于点D,连接PC.
(1)∠1,∠2,∠A的大小关系是:________ >________ >________ ;
(2)若∠3=25°,∠A=67°,∠4=40°,嘉嘉想求∠1的度数,请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解.
思路一 先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数,再利用三角形内角和求出∠1的度数. 思路二 先利用三角形外角求出∠2的度数,再利用三角形外角求出∠1的度数.
【解析】(1)∵∠2是△ABD的外角,∠1是△CDP的外角,∴∠2=∠3+∠A,∠1=
∠2+∠4,
又∵∠3>0,∠4>0,∴∠1>∠2>∠A.
答案:∠1　∠2　∠A
(2)(思路一)在△ABC中,∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+∠4=180°,
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠A-∠3-∠4=180°-67°-25°-40°=48°.
在△PBC中,∠1+∠PBC+∠PCB=180°,∴∠1=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-48°=132°;
(思路二)∵∠2是△ABD的外角,∴∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°,∵∠1是△CDP的外角,
∴∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°.
19.(8分)如图,四边形ABCD的内角∠DCB的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F.
(1)若∠ABC=76°,∠DCF=26°,试判断BF和CD的位置关系,并说明理由.
(2)若∠A=120°,∠D=130°,求∠F的度数.
【解析】(1)BF∥CD,理由:
∵∠ABC=76°,∴∠ABE=180°-∠ABC=180°-76°=104°.
∵BF,CF分别平分∠ABE,∠DCB,
∴∠FBE=∠ABF=∠ABE=52°,∠FCE=∠DCF=26°,
∴∠F=∠FBE-∠FCE=52°-26°=26°=∠DCF,∴BF∥CD.
(2)∵ABCD是四边形,∴∠ABC+∠DCB=360°-∠A-∠D=360°-120°-130°=110°,
∴∠ABC=110°-∠DCB,∴∠ABE=180°-∠ABC=180°-(110°-∠DCB)=70°+∠DCB.
又∵BF,CF分别平分∠ABE,∠DCB,
∴∠FBE=∠ABE=35°+∠DCB,∠FCE=∠DCB,
∴∠F=∠FBE-∠FCE=35°+∠DCB-∠DCB=35°.
20.(12分)如图1,在平面直角坐标系中,点A、点M在y轴的正半轴上(点M在点A的上方),点B在x轴的正半轴上,AC平分∠MAB,AC的反向延长线交∠ABO的平分线于点D,BD交y轴于点E.
(1)当∠ABO=52°时,求∠ABD和∠D的度数.
(2)如图2所示,若点A、点B分别在y轴、x轴的正半轴上任意运动,请判断∠D的大小是否变化,并说明理由.
(3)当∠ABO等于多少度时,∠DAE=∠DEA
【解析】(1)∵∠ABO=52°,BD平分∠ABO,∴∠ABD=∠ABO=26°.
∵∠AOB=90°,∴∠BAM=∠ABO+∠AOB=142°.
∵AC平分∠MAB,∴∠BAC=∠BAM=71°.
∵∠BAC=∠D+∠ABD,∴∠D=∠BAC-∠ABD=71°-26°=45°.
(2)∠D的大小不变化,理由如下:
∵BD平分∠ABO,
∴设∠ABD=∠OBD=α,
∴∠ABO=2α.
∵∠AOB=90°,
∴∠BAM=∠ABO+∠AOB=90°+2α.
∵AC平分∠MAB,
∴∠BAC=∠BAM=(90°+2α)=45°+α.
∵∠BAC=∠D+∠ABD,
∴45°+α=∠D+α,
∴∠D=45°,∴∠D的大小不变化.
(3)∵BD平分∠ABO,
∴设∠ABD=∠OBD=α,则∠ABO=2α.
∵∠AOB=90°,
∴∠OEB=90°-∠OBD=90°-α,
∴∠DEA=∠OEB=90°-α,
∴∠DAE=∠DEA=90°-α.
∵由(2)可知,∠D的度数始终是45°,
∴在△DAE中,90°-α+90°-α+45°=180°,
解得:α=22.5°,
∴∠ABO=2α=45°,
∴当∠ABO=45°时,∠DAE=∠DEA.
【附加题】(10分)
　已知∠MON=40°,OE平分∠MON,点A,B,C分别是射线OM,OE,ON上的动点(A,B,C不与点O重合),连接AB,连接AC交射线OE于点D,设∠BAC=α.
(1)如图1,若AB∥ON,
①∠ABO的度数是________　;
②当∠BAD=∠ABD时,∠OAC的度数是________　;
当∠BAD=∠BDA时,∠OAC的度数是________.
(2)在一个四边形中,如果存在一个内角是它的对角的2倍,那么我们称这样的四边形为“完美四边形”.如图2所示,若AB⊥OM,延长AB交射线ON于点F,当四边形DCFB为“完美四边形”时,求α的值.
【解析】(1)①∵∠MON=40°,OE平分∠MON,∴∠AOB=∠BON=20°.∵AB∥ON,
∴∠ABO=∠BON=20°.
②当∠BAD=∠ABD时,∵∠ABO=∠AOB=20°,∴∠BAD=20°,
∠BAO=180°-20°-20°=140°,
∴∠OAC=∠BAO-∠BAD=120°.当∠BAD=∠BDA时,∵∠ABO=20°,
∴∠BAD=∠BDA=80°.∵∠AOB=20°,
∴∠OAC=∠BDA-∠AOB=60°.
答案:①20°　②120°　60°
(2)①当∠BDC=2∠BFC时,如图,
∵AB⊥OM,∠MON=40°,
∴∠BFC=50°,
∴∠BDC=2∠BFC=100°.
∵∠ABO=∠BFC+∠BON=50°+20°=70°,
∴∠BAC=∠BDC-∠ABO=100°-70°=30°,∴α=30°.
②当点C在F左边,∠DBF=2∠DCF时,
∵AB⊥OM,∠AOB=20°,∠MON=40°,
∴∠DBF=∠AOB+∠OAB=20°+90°=110°,∠BFC=50°,
∴∠DCF=∠DBF=55°,
∴∠BAC=180°-∠BFC-∠ACF=180°-50°-55°=75°,
∴α=75°.
③当点C在F右边,∠DBF=2∠DCF时,
∵AB⊥OM,∠AOB=20°,∠MON=40°,
∴∠DBF=∠ABO=90°-∠AOB=90°-20°=70°,
∠AFO=50°,
∴∠DCF=∠DBF=35°,∠AFC=130°,
∴∠BAC=180°-∠DCF-∠AFC=180°-35°-130°=15°,
∴α=15°.
综上所述,当四边形DCFB为“完美四边形”时,α的值是30°或75°或15°.

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