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第十四章　全等三角形(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列各组图形中是全等图形的是( )
2.(2025·福州质检)如图,下列四个三角形中,是全等三角形的是( )
A.②③
B.②④
C.①②
D.③④
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠C=70°,则∠BAD的度数是( )
A.20°
B.45°
C.60°
D.70°
4.已知:线段a,c,∠α.
求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=α.
下面是作图示范:
正确作图顺序为( )
A.①②③④
B.①③②④
C.①③④②
D.①②④③
5.如图,在3×3的正方形方格中,每个小正方形方格的边长都为1,则∠1和∠2的关系是( )
A.∠2=2∠1　　　
B.∠2-∠1=90°　　　
C.∠1+∠2=90°　　　
D.∠1+∠2=180°
6.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是经过A点的一条直线,且B,C在AE的两侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E,CE=2,BD=6,则DE的长为( )
A.2
B.3
C.5
D.4
7.(2025·自贡质检)如图,在△ABC中,已知CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于( )
A.5
B.6
C.8
D.10
8.如图,在△ABC中,AD为中线,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F.在DA延长线上取一点G,连接GC,使∠G=∠BAD.下列结论中正确的个数为( )
①BE=CF;②AG=2DE;③S△ABD+S△CDF=S△GCF;④S△AGC=2S△BDE.
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·成都中考)如图,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为 .
10.如图,小明与小红玩跷跷板游戏,支点O是跷跷板的中点,两人分别坐在跷跷板的两端(即OF=OG),点O至地面的距离是60 cm,当小明从水平位置CD上升
15 cm时,小红距地面的高度是 cm.
11.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E在AD上,EF⊥BD,垂足为F,若∠BAD=28°,
AB=CF,BD=EF,则∠CED的度数为 .
12.(2024·湖南中考)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM= .
13.如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴正半轴于点M,交y轴正半轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第一象限交于点H,画射线OH,若H,则a= .
14.如图,AB=4 cm,BC=6 cm,∠B=∠C,如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q从C点出发沿射线CD运动.若经过t s后,△ABP与△CQP全等,则t的值是 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,点E,F分别在AB,BC上,BE=CD,BF=CA,∠B=∠1,连接EF.
(1)求证:∠2=∠D;
(2)若EF∥AC,∠D=80°,求∠BAC的度数.
16.(8分)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求证:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
17.(8分)如图,点D,点F在△ABC外,连接AF,AD,BD,且AF∥BC,∠ABD=
∠CAF,BD=AC.
(1)尺规作图:作∠ABC的平分线,其与AF相交于点E.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)求证:AD=CE.
18.(8分)(2025·盐城质检)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)求证:△ACD≌△ABD;
(2)过点C作CE⊥AB于点E,CE交AD于点F,若CE=AE,求证:AF=2CD.
19.(8分)小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小丽时,求小丽距离地面的高度.
20.(12分)【发现问题】数学活动课上,王老师提出了如下问题:如图1,AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.
【探究方法】第一小组经过合作交流,得到了如下的解决方法:
①延长AD到E,使得DE=AD;
②连接BE,通过证明△BDE≌△CDA,把AB,AC,2AD转化到△ABE中;
③利用三角形的三边关系可得AB-BE解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑倍长中线构造全等三角形.
(1)请用以上方法解决王老师提出的问题.
【问题解决】
(2)如图2,AD是△ABC的中线,AE是△ADC的中线,AC=CD,求证:∠BAD=
∠EAD.
【变式拓展】
(3)如图3,在四边形ABCD中,∠B=∠D,AB=6,CD=4,延长BC交AD于点E.若CE⊥AD,AE=ED,求四边形ABCD的面积.
附加题(10分)
【初步探索】(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,∠BAD =120°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中BE,EF,FD之间的数量关系.小芮同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明:△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是________________.
【灵活运用】(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,∠BAD= 120°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,(1)中的结论是否仍然成立 说明理由.
【拓展延伸】(3)如图3,在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足EF=BE+FD,请判断∠EAF与
∠DAB的数量关系,并证明你的结论.第十四章　全等三角形(90分钟　100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列各组图形中是全等图形的是(A)
2.(2025·福州质检)如图,下列四个三角形中,是全等三角形的是(D)
A.②③
B.②④
C.①②
D.③④
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠C=70°,则∠BAD的度数是(A)
A.20°
B.45°
C.60°
D.70°
4.已知:线段a,c,∠α.
求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=α.
下面是作图示范:
正确作图顺序为(B)
A.①②③④
B.①③②④
C.①③④②
D.①②④③
5.如图,在3×3的正方形方格中,每个小正方形方格的边长都为1,则∠1和∠2的关系是(D)
A.∠2=2∠1　　　
B.∠2-∠1=90°　　　
C.∠1+∠2=90°　　　
D.∠1+∠2=180°
6.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是经过A点的一条直线,且B,C在AE的两侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E,CE=2,BD=6,则DE的长为(D)
A.2
B.3
C.5
D.4
7.(2025·自贡质检)如图,在△ABC中,已知CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于(A)
A.5
B.6
C.8
D.10
8.如图,在△ABC中,AD为中线,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F.在DA延长线上取一点G,连接GC,使∠G=∠BAD.下列结论中正确的个数为(D)
①BE=CF;②AG=2DE;③S△ABD+S△CDF=S△GCF;④S△AGC=2S△BDE.
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·成都中考)如图,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为　100°　.
10.如图,小明与小红玩跷跷板游戏,支点O是跷跷板的中点,两人分别坐在跷跷板的两端(即OF=OG),点O至地面的距离是60 cm,当小明从水平位置CD上升
15 cm时,小红距地面的高度是　45　cm.
11.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E在AD上,EF⊥BD,垂足为F,若∠BAD=28°,
AB=CF,BD=EF,则∠CED的度数为　34°　.
12.(2024·湖南中考)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM=　6　.
13.如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴正半轴于点M,交y轴正半轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第一象限交于点H,画射线OH,若H,则a=　2　.
14.如图,AB=4 cm,BC=6 cm,∠B=∠C,如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q从C点出发沿射线CD运动.若经过t s后,△ABP与△CQP全等,则t的值是　1或　.
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,点E,F分别在AB,BC上,BE=CD,BF=CA,∠B=∠1,连接EF.
(1)求证:∠2=∠D;
(2)若EF∥AC,∠D=80°,求∠BAC的度数.
【解析】(1)∵在△BEF和△CDA中,
∴△BEF≌△CDA(SAS),∴∠2=∠D.
(2)∵∠2=∠D,∠D=80°,
∴∠2=∠D=80°.
∵EF∥AC,
∴∠BAC=∠2=80°.
16.(8分)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求证:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
【解析】(1)在△ACE和△BDF中,∴△ACE≌△BDF(AAS).
(2)由(1)知△ACE≌△BDF,∴AC=BD=2,∵AB=8,∴CD=AB-AC-BD=4.
17.(8分)如图,点D,点F在△ABC外,连接AF,AD,BD,且AF∥BC,∠ABD=
∠CAF,BD=AC.
(1)尺规作图:作∠ABC的平分线,其与AF相交于点E.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)求证:AD=CE.
【解析】(1)如图:
(2)连接CE,∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE.
∵AF∥BC,∴∠CBE=∠AEB,∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB.
∵∠ABD=∠CAF,BD=AC,∴△ACE≌△BDA(SAS),∴AD=CE.
18.(8分)(2025·盐城质检)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)求证:△ACD≌△ABD;
(2)过点C作CE⊥AB于点E,CE交AD于点F,若CE=AE,求证:AF=2CD.
【证明】(1)∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC,
在Rt△ACD和Rt△ABD中,∴Rt△ACD≌Rt△ABD(HL).
(2)∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠ADB=∠AEF=∠CEB=90°,
∴∠EAF+∠B=90°,∠B+∠BCE=90°,
∴∠EAF=∠BCE.
在△AEF和△CEB中,
∴△AEF≌△CEB(ASA),
∴BC=AF.
∵Rt△ACD≌Rt△ABD,
∴CD=BD,
∴BC=2CD,
∴AF=2CD.
19.(8分)小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小丽时,求小丽距离地面的高度.
【解析】由题意可知∠CEO=∠BDO=90°,OB=OC,
∵∠BOC=90°,∴∠COE+∠BOD=∠OBD+∠BOD=90°,∴∠COE=∠OBD,
在△COE和△OBD中,
∴△COE≌△OBD(AAS),
∴CE=OD,OE=BD,
∵BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,
∴DE=OD-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4(m),
∵AD=1 m,∴AE=AD+DE=1.4 m,
答:此时小丽距离地面的高度为1.4 m.
20.(12分)【发现问题】数学活动课上,王老师提出了如下问题:如图1,AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.
【探究方法】第一小组经过合作交流,得到了如下的解决方法:
①延长AD到E,使得DE=AD;
②连接BE,通过证明△BDE≌△CDA,把AB,AC,2AD转化到△ABE中;
③利用三角形的三边关系可得AB-BE解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑倍长中线构造全等三角形.
(1)请用以上方法解决王老师提出的问题.
【问题解决】
(2)如图2,AD是△ABC的中线,AE是△ADC的中线,AC=CD,求证:∠BAD=
∠EAD.
【变式拓展】
(3)如图3,在四边形ABCD中,∠B=∠D,AB=6,CD=4,延长BC交AD于点E.若CE⊥AD,AE=ED,求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)由题意得AD=DE,∵AD是BC边上的中线,∴DC=DB.
在△ADC和△EDB中,∴△ADC≌△EDB(SAS),∴AC=BE=4.
∵AB=6,∴6-4(2)如图,延长AE至H,使EH=AE,连接DH,
∵AE是△ADC的中线,
∴DE=EC.
又∵∠AEC=∠DEH,AE=EH,
∴△AEC≌△HED(SAS),
∴AC=DH,∠ACD=∠HDC.
∵AC=CD,∴∠CAD=∠CDA,
∵∠ADB=∠DAC+∠ACD,
∠ADH=∠ADC+∠CDH,
∴∠ADB=∠ADH.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
∵AC=CD,
∴BD=DC=AC=DH.
又∵AD=AD,
∴△ADB≌△ADH(SAS),
∴∠BAD=∠EAD.
(3)延长CE到K使EK=CE,连接AK,
∵∠AEK=∠DEC,AE=DE,
∴△AKE≌△DCE(SAS),
∴AK=CD=4,∠KAE=∠D.
∵∠D=∠B,
∴∠KAE=∠B.
∵BE⊥AD,
∴∠B+∠BAE=90°,
∴∠KAE+∠BAE=90°,
∴S△ABK=AB·AK=×6×4=12.
∵△AKE≌△DCE,
∴S△AKE=S△DCE,
∴S四边形ABCD=S△ABK=12.
附加题(10分)
【初步探索】(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,∠BAD =120°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中BE,EF,FD之间的数量关系.小芮同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明:△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是________________.
【灵活运用】(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,∠BAD= 120°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,(1)中的结论是否仍然成立 说明理由.
【拓展延伸】(3)如图3,在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足EF=BE+FD,请判断∠EAF与
∠DAB的数量关系,并证明你的结论.
【解析】(1)BE+FD=EF.理由如下:
∵∠ADC=90°,
∴∠ADG=180°-∠ADC=90°,
∴∠B=∠ADG.
在△ABE与△ADG中,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴∠BAE=∠DAG,AE=AG.
∵∠BAD=120°,∠EAF=60°,
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°,
∴∠DAG+∠DAF=60°,即∠GAF=60°,
∴∠GAF=∠EAF.
在△AEF与△AGF中,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=GF.
∵GF=DG+DF,
∴EF=BE+DF.
答案:BE+FD=EF
(2)(1)中的结论仍成立,理由如下:
如图,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,
∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,
∴∠B=∠ADG.
又∵AB=AD,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴∠BAE=∠DAG,AE=AG.
∵∠BAD=120°,∠EAF=60°,
∴∠BAE+∠DAF=60°,
∴∠DAG+∠DAF=60°,
∴∠GAF=∠EAF=60°.
又∵AF=AF,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG=DG+DF=BE+DF.
(3)∠EAF=180°-∠DAB.
证明如下:如图,延长DC到点G,使DG=BE,连接AG,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABE=180°,
∴∠ADC=∠ABE.
在△ABE与△ADG中,
∴△ADG≌△ABE(SAS),
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE.
∵EF=BE+FD,
∴EF=DG+FD,
∴EF=GF.
在△AEF与△AGF中,
∴△AEF≌△AGF(SSS),
∴∠FAE=∠FAG.
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°,
∴2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°,
∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°,
即2∠FAE+∠DAB=360°,
∴∠EAF=180°-∠DAB.

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